Поток (математика)
![]() | Эту статью предлагается удалить. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/PenduleEspaceDesPhases.png/220px-PenduleEspaceDesPhases.png)
В математике поток формализует идею движения частиц в жидкости. Потоки распространены повсеместно в науке, включая инженерию и физику. Понятие потока является базовым для изучения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек с течением времени. Более формально поток — это групповое действие действительных чисел на множестве.
Идея векторного потока, то есть потока, определяемого векторным полем, встречается в областях дифференциальной топологии, римановой геометрии и групп Ли. Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток, гамильтонов поток, поток Риччи, поток средней кривизны, и потоки Аносова. Потоки также могут быть определены для систем случайных величин и случайных процессов, и встречаться при изучении эргодических динамических систем. Пожалуй, самым знаменитым из них является поток Бернулли.
Формальное определение
[править | править код]Поток на множестве X — это групповое действие аддитивной группы действительных чисел на X. Более явно поток — это отображение
такое, что для всех x ∈ X и всех действительных чисел s и t,
Принято писать φt(x) вместо φ(x, t), так что приведённые выше уравнения можно выразить как (единичная функция) и (групповой закон). Тогда для всех t ∈ , отображение φt является биекцией с обратным φ-t . Это следует из приведённого выше определения, и действительный параметр t может быть принят как обобщенная функциональная мощность, как при итерации функции.
Обычно требуется, чтобы потоки были совместимы со структурами представленными на множестве X. В частности, если X имеет топологию, то обычно требуется, чтобы φ было непрерывным. Если X имеет дифференцируемую структуру, тогда требуется, чтобы φ было дифференцируемым. В этих случаях поток образует однопараметрическую группу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.
В определённых ситуациях можно также рассмотреть локальный поток, который определён только в некотором подмножестве. Областью потока из φ называется
Это часто имеет место с потоками векторных полей.
Альтернативные обозначения
[править | править код]Во многих областях, включая инженерию, физику и изучение дифференциальных уравнений, для потока очень распространено использование неявного обозначения. Таким образом, x(t) записывается как , и можно сказать, что переменная x зависит от времени t и начального условия x = x0. Примеры приведены ниже.
В случае потока векторного поля V на гладком многообразии X, поток часто обозначается таким образом, что его генератор становится явным. Например[1],
Орбиты
[править | править код]Учитывая x в X, множество называется орбитой x при φ. Неофициально его можно рассматривать как траекторию частицы, которая изначально была расположена в точке x. Если поток генерируется векторным полем, то его орбиты являются изображениями его интегральных кривых.
Примеры
[править | править код]Алгебраическое уравнение
[править | править код]Пусть — зависящая от времени траектория, являющаяся биективной функцией. Тогда поток может быть определён с помощью
Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
[править | править код]Пусть — независимое от времени векторное поле и решение задачи при начальных условиях
Тогда — это поток векторного поля F. Это чётко определённый локальный поток при условии, что векторное поле является непрерывным по Липшицу. Тогда также является непрерывным по Липшицу везде, где определено. В общем случае может быть трудно показать, что поток φ определён глобально, но один простой критерий заключается в том, что векторное поле F поддерживается на компакте.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, зависящие от времени
[править | править код]В случае векторных полей , зависящих от времени, обозначается где — решение
Тогда — это зависящий от времени поток F. Это не "поток" по приведённому выше определению, но его легко можно рассматривать как таковой, переставив его аргументы. А именно, отображение
действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:
Можно рассматривать зависящие от времени потоки векторных полей как частные случаи не зависящих от времени потоков с помощью следующего приема. Определить
Тогда y(t) является решением задачи о "не зависящем от времени" начальном значении
тогда и только тогда, когда x(t) является решением исходной задачи о начальных значениях, зависящих от времени. Кроме того, тогда отображение φ — это в точности поток "независимого от времени" векторного поля G.
Потоки векторных полей на многообразиях
[править | править код]Потоки не зависящих от времени векторных полей определяются на гладких многообразиях точно так же, как они определены в евклидовом пространстве и их локальное поведение такое же. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом в дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как "пространства параметров".
Формально: пусть — дифференцируемое многообразие. обозначим касательное пространство точки Пусть будет полным касательным многообразием, то есть Пусть — зависящее от времени векторное поле на ; то есть f является гладкой картой, такой, что для каждого и , имеется , то есть карта сопоставляет каждую точку элементу её собственного касательного пространства. Для подходящего интервала , содержащего 0, поток f — это функция , которая удовлетворяет
Решения уравнения теплопроводности
[править | править код]Решения волнового уравнения
[править | править код]Поток Бернулли
[править | править код]См. также
[править | править код]- Уравнение Абеля
- Итерированная функция
- Уравнение Шредера
- Бесконечные композиции аналитических функций
Ссылки
[править | править код]- Д.В. Аносов (2001), "Continuous flow", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Д.В. Аносов (2001), "Measureable flow", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Д.В. Аносов (2001), "Special flow", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Примечания
[править | править код]- ↑ Новиков С. П., Тайманов И. А., Современные геометрические структуры и поля, МЦНМО, 2005, §8.3. Векторные поля