Планковская длина

Планковская длина (обозначаемая $\ell _{P}\$) — единица длины в планковской системе единиц, равная в Международной системе единиц (СИ) примерно 1,6⋅10⁻³⁵ метров. Планковская длина — естественная единица длины, поскольку в неё входят только фундаментальные константы: скорость света, постоянная Планка и гравитационная постоянная.

Планковская длина равна:

$\ell _{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$ ≈ 1,616 229(38)⋅10⁻³⁵ м,

где:

• ħ — постоянная Планка (h/2π);
• G — гравитационная постоянная;
• c — скорость света в вакууме.

Две последние цифры в скобках означают неопределённость (стандартное отклонение) последних двух разрядов.

Примерный радиус наблюдаемой Вселенной (13,6 миллиардов световых лет или 1,3⋅10²⁶ м) равен 8,1⋅10⁶⁰ планковских длин.

С точностью до множителя π, планковская масса равна массе чёрной дыры, радиус Шварцшильда которой равен её комптоновской длине волны. Радиус такой чёрной дыры будет по порядку величины равен планковской длине.

Планковская длина и евклидова геометрия

Гравитационное поле совершает нулевые колебания, и связанная с ним геометрия тоже колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения: чем меньше масштаб, тем большими становятся отклонения от евклидовой геометрии. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совсем не похожей на евклидову. Степень отклонения $\zeta$ геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала $\varphi$ и квадрата скорости света $c$ : $\zeta =\varphi /c^{2}$. Когда $\zeta \ll 1$, геометрия близка к евклидовой; при $\zeta \sim 1$ всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба $l$ равна $E=\hbar \nu \sim \hbar c/l$ ($c/l$ — порядок частоты колебаний). Гравитационный потенциал, создаваемый массой $m$, на такой длине есть $\varphi =Gm/l$, где $G$ — постоянная всемирного тяготения. Вместо $m$ следует подставить массу, которой, согласно формуле Эйнштейна, соответствует энергия $E$ ($m=E/c^{2}$). Получаем $\varphi =GE/l\,c^{2}=G\hbar /l^{2}c$. Разделив это выражение на $c^{2}$, получим величину отклонения $\zeta =G\hbar /c^{3}l^{2}=\ell _{P}^{2}/l^{2}$. Приравняв $\zeta =1$, найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия. Она равна планковской длине $\ell _{P}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}\approx 10^{-35}$ м.

Связь комптоновской длины волны с радиусом Шварцшильда

Частица массой $m$ имеет приведённую комптоновскую длину волны

${\overline {\lambda }}_{C}={\frac {\lambda _{C}}{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}$

С другой стороны радиус Шварцшильда той же частицы равен

$r_{g}={\frac {2Gm}{c^{2}}}=2\,{\frac {G}{c^{3}}}\,mc$

Произведение этих величин всегда постоянно и равно

$r_{g}{\overline {\lambda }}_{C}=2\,{\frac {G}{c^{3}}}\,\hbar =2\ell _{P}^{2}$

Соответственно, соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда частицы и комптоновской длиной волны частицы будет иметь вид

$\Delta r_{g}\Delta {\overline {\lambda }}_{C}\geq {\frac {G}{c^{3}}}\,\hbar =\ell _{P}^{2}$

что является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе. Действительно, подставляя сюда выражение для радиуса Шварцшильда, получим

$\Delta \left(2\,{\frac {G}{c^{3}}}\,mc\right)\Delta {\overline {\lambda }}_{C}\geq {\frac {G}{c^{3}}}\,\hbar$

Сокращая одинаковые константы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга

$\Delta \left(mc\right)\Delta {\overline {\lambda }}_{C}\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Обоснование

Указанные соотношения неопределенностей можно получить, исходя из уравнений Эйнштейна

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

где $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }$ — тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор, $R_{\mu \nu }$ — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени $R_{abcd}$ посредством свёртки его по паре индексов, $R$ — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, $g_{\mu \nu }$ — метрический тензор, $\Lambda$ — космологическая постоянная, а $T_{\mu \nu }$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, $\pi$ — число пи, $c$ — скорость света в вакууме, $G$ — гравитационная постоянная Ньютона).

В приведенной форме сущность правой стороны уравнений Эйнштейна сильно затемнена. Целесообразно переписать эти уравнения, сгруппировав константы в отдельные множители, имеющие определенный смысл

$\left({\frac {1}{4\,\pi }}\right)(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })=2\,\left({\frac {G}{c^{3}}}\right)\left({\frac {1}{c}}\,\,T_{\mu \nu }\right)$

Простая перегруппировка множителей позволяет глубже проникнуть в физическую природу явления. Видно, что множитель $(1/c)\,T_{\mu \nu }$ связан с плотностью энергии-импульса материи, а с помощью множителя $(G/c^{3})$ можно выполнить переход к планковскому масштабу, так как такой же множитель присутствует и в выражении для планковской длины $\ell _{P}={\sqrt {(G/c^{3})\,\hbar }}$.

При выводе своих уравнений Эйнштейн предположил, что физическое пространство-время является римановым, т.е. искривленным. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.

Для любого тензорного поля $N_{\mu \nu ...}$ величину $N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}$ можно назвать тензорной плотностью, где $g$ - определитель метрического тензора $g_{\mu \nu }$. Когда область интегрирования мала, $\int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат . Здесь рассматриваются только малые области. Вышесказанное справедливо и при интегрировании по трехмерной гиперповерхности $S^{\nu }$.

Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой области псевдориманова пространства-времени можно проинтегрировать по трехмерной гиперповерхности $S^{\nu }$. Имеем

${\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }=2\,\left({G \over c^{3}}\right)\,{1 \over c}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$

Так как интегрируемая область пространства-времени мала, то есть является практически плоской, получаем тензорное уравнение

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }$

где $P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ - компонента 4-импульса материи, $R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ - компонента 4-радиуса кривизны малой области пространства-времени.

Полученное тензорное уравнение можно переписать в другом виде. Так как $P_{\mu }=Mc\,U_{\mu }$ то

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}\,P_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}Mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }$

где $r_{g}$ - радиус Шварцшильда (инвариант радиуса кривизны), $U_{\mu }$ - 4-скорость, $M$ - гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл величин $R_{\mu }$ как компонент гравитационного радиуса $r_{g}$. Заметим, что здесь $R_{\mu }R^{\,\mu }=r_{g}^{2}$ (сравните, например, с $dx_{\mu }dx^{\,\mu }=dS^{2}$).

Выражение для гравитационного радиуса $r_{g}=2\,(G/c^{3})Mc$ является более удобной формой записи, чем форма $r_{g}=2\,(G/c^{2})M$. В этом случае видна преемственность между полученным тензорным уравнением и выражением для гравитационного радиуса массивного тела.

Для статического сферически симметричного поля и статического распределения материи имеем $U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)$. В этом случае получаем

$R_{0}={\frac {2G}{c^{3}}}Mc\,U_{0}={\frac {2G}{c^{3}}}\,Mc=r_{g}$

В малой области пространство-время практически плоское и тензорное уравнение можно записать в операторном виде

${\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$

где $\hbar$ - постоянная Дирака. Тогда коммутатор операторов ${\hat {R}}_{\mu }$ и ${\hat {x}}_{\mu }$ равен

$[{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}$

Откуда следуют вышеуказанные соотношения неопределенностей

$\Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}$

Подставляя сюда значения $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }$ и $\ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}$ и сокращая справа и слева одинаковые константы, приходим к соотношениям неопределенностей Гейзенберга.

$\Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Отметим, что теперь, согласно уравнению $R_{\mu }=(2G/c^{3})P_{\mu }$, наряду с выражениями для квантов энергии-импульса $P_{\mu }=\hbar \,k_{\mu }$ справедливы выражения для величины $R_{\mu }=2\ell _{P}^{2}\,k_{\mu }$, где $k_{\mu }$ - волновой 4-вектор. То есть компоненты $R_{\mu }$ квантуются, но шаг квантования чрезвычайно малый.

Для статического сферически симметричного поля и статического распределения материи найденное соотношение неопределенностей принимает вид

$\Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$

где $r_{g}$ - радиус Шварцшильда, $r$ - радиальная координата. Здесь $R_{0}=r_{g}$, а $x_{0}=c\,t=r$, т.к. на планковском уровне материя движется со скоростью света.

Последнее соотношение неопределенностей позволяет выполнить некоторые оценки уравнений ОТО применительно к планковскому масштабу. Например, выражение для инвариантного интервала $dS$ в решении Шварцшильда имеет вид

$dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Подставляя сюда, согласно соотношениям неопределенностей, вместо $r_{g}$ величину $r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r$ получим

$dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Видно, что на планковском уровне $r=\ell _{P}$ инвариантный интервал $dS$ ограничен снизу планковской длиной, на этом масштабе появляется деление на ноль, что означает образование реальных и виртуальных планковских черных дыр.

Аналогичные оценки можно выполнить и для других уравнений ОТО. В макроскопической физике, встречаясь с тяжелым телом, надо прежде всего оценить отношение гравитационного радиуса к расстоянию до центра притяжения $\zeta ={r_{g}}/{r}$ и мы уже будем знать многое о величине эффектов, связанных с общей теорией относительности. Например, в макромире параметром $\zeta$ определяется масштаб изменения хода часов. Для Солнца параметр $\zeta$ составляет примерно $4\cdot 10^{-6}$ или $1,76$ угл.сек, то есть луч света, проходя вблизи края диска Солнца, отклонится на величину порядка $4\cdot 10^{-6}$ радиан. Для Меркурия этот параметр будет составлять $10^{-7}$, что за сто земных лет дает для смещения перигелия Меркурия $43$ угл.сек. Параметр $\zeta$ входит и во все остальные оценки. Но, как мы выяснили выше, параметр $\zeta =r_{g}/r$ на планковском уровне имеет вид $\sim \ell _{P}^{2}/r^{2}$, поэтому для того, чтобы сделать оценку любого соотношения, получаемого в рамках общей теории относительности применительно к планковскому масштабу, необходимо отношение $r_{g}/r$ заменить выражением $\zeta \sim \ell _{P}^{2}/r^{2}$.

Параметр $\zeta$ определяет на планковском уровне флуктуации метрики пространства-времени. Метрика пространства-времени $g_{00}\approx 1-\Delta g=1-\ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}$ флуктуирует порождая так называемую пространственно-временную квантовую пену, состоящую из виртуальных планковских черных дыр. Но эти флуктуации $\Delta g\sim \ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}$ в макромире и в мире атомов очень малы по сравнению с $1$ и становятся заметными только на планковском масштабе. Флуктуации $\Delta g$ необходимо учитывать при использовании метрики специальной теории относительности (СТО) $(+1,-1,-1,-1)$ в очень малых областях пространства и при больших импульсах. То есть выражение для инвариантного интервала $dS$ должно иметь вид

$dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{{(\Delta r)}^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{{(\Delta r)}^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Однако ввиду малости величины $\ell _{P}^{\,2}/(\Delta r)^{2}$ выражение для инвариантного интервала в СТО всегда записывается в галилеевой форме, что вообще-то не соответствует действительности. Правильное выражение должно учитывать флуктуации метрики пространства-времени и наличие виртуальных черных дыр при планковском масштабе расстояний.

Например, известно, что скорость света в некотором месте с гравитационным потенциалом $\varphi =-Gm/r$ равна $c\,'=c\,(1+2\,\varphi /c^{2})=c\,(1-r_{g}/r)$. Тогда на планковском масштабе из-за квантовых флуктуаций потенциала выражение для скорости света будет иметь вид $c\,'=c\,(1-\ell _{p}^{2}/(\Delta \lambda )^{2})$. Здесь $\lambda$ -- длина волны света, испускаемого источником. Чем большее расстояние от источника пройдет свет и чем короче его длина волны, тем сильнее будет заметна дисперсия лучей из-за накопившихся искажений. В данном случае неоднородности скорости фотонов $\Delta c=c\,\ell _{p}^{2}/(\Delta \lambda )^{2}$ определяются не планковской длиной, а её квадратом , так что эти неоднородности неизмеримо малы (порядка $10^{-56}\,c$ для $\lambda =10^{-7}$ м) и изображения удаленных источников будут резкими даже на метагалактических расстояниях.

Как отмечено в , "для области пространства-времени с размерами $L$ неопределенность символов Кристоффеля должна быть порядка $\ell _{P}^{2}/L^{3}$, а неопределенность метрического тензора — порядка $\ell _{P}^{2}/L^{2}$. Если $L$ — макроскопическая длина, то квантовые ограничения фантастически малы и ими можно пренебрегать даже в атомных масштабах. Если же величина $L$ сравнима с $\ell _{P}$, то сохранить прежнее (обычное) понятие пространства становится все труднее и труднее и становится очевидным влияние микрокривизны."

Выражение для флуктуаций метрики согласуется с соотношением неопределенностей Бора-Розенфельда $\Delta g\,(\Delta L)^{2}\geq 2\ell _{P}^{2}$ .

Как подчеркнуто в , "эти мелкомасштабные флуктуации говорят о том, что повсюду в пространстве все время происходит нечто похожее на гравитационный коллапс, что гравитационный коллапс по существу постоянно совершается, но постоянно совершается и обратный процесс, что кроме гравитационного коллапса Вселенной и звезды необходимо рассматривать также третий и наиболее важный уровень гравитационного коллапса при планковском масштабе расстояний."

Виртуальные планковские черные дыры важны для теории элементарных частиц. При проведении расчетов в современной квантовой теории и, в частности, при вычислении собственной энергии частиц обычно учитывают вклад промежуточных состояний с произвольно большой энергией, что приводит к появлению известных расходимостей. Учет гравитационного взаимодействия соответствующих виртуальных частиц и возможности появления виртуальных (короткоживущих) черных дыр в промежуточном состоянии должен привести к устранению этих расходимостей.

Наконец, анализ уравнения Гамильтона-Якоби в пространствах различной мерности применительно к планковскому масштабу показал, что возникновение виртуальных планковских черных дыр (квантовой пены, основы «ткани» Вселенной) энергетически наиболее выгодно в трехмерном пространстве, что, скорее всего, и предопределило трехмерность наблюдаемого пространства.

Планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6⋅10⁻³⁵ метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера. Уменьшение комптоновской длины волны частицы приведет к увеличению радиуса Шваршильда чёрной дыры. Соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда и комптоновской длиной волны порождает на планковском масштабе виртуальные черные дыры.

Квантование пространства и планковская длина

В середине прошлого века гипотеза о квантовании пространства-времени на пути объединения квантовой механики и общей теории относительности привела к предположению о том, что существуют ячейки пространства-времени с минимально возможной длиной, равной фундаментальной длине. Согласно этой гипотезе, степень влияния квантования пространства на проходящий свет зависит от размеров ячейки. Для исследования необходимо интенсивное излучение, прошедшее как можно большее расстояние. В настоящее время группа ученых воспользовалась данными съёмки гамма-вспышки GRB 041219A, осуществленной с европейского космического телескопа Integral. Гамма-вспышка GRB 041219A вошла в 1% самых ярких гамма-вспышек за весь период наблюдения, а расстояние до её источника не менее 300 миллионов световых лет. Наблюдение «Интеграла» позволило оценить размер ячейки на несколько порядков точнее, чем все предыдущие опыты такого плана.

Анализ данных показал — если зернистость пространства вообще существует, то она должна быть на уровне 10⁻⁴⁸ метров или меньше.

См. также

• Планковская эпоха
• Планковские единицы
• Петлевая квантовая гравитация
• Теория струн
• Цифровая физика

Литература

• Max Camenzind. Compact Objects in Astrophysics: White Dwarfs, Neutron Stars and Black Holes. — Springer Science & Business Media, 2007. — P. 588. — 706 p. — ISBN 3540499121, 9783540499121.

Ссылки

• Космологическое начало мира. Изменяются ли мировые постоянные?