Гомоморфизм

Не следует путать с гомеоморфизм.

Гомоморфизм (от греч. homós — равный, одинаковый и morphe — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения.

Например, рассмотрим группы $(G_{1},*)$, $(G_{2},\times )$. Отображение $f\colon G_{1}\to G_{2}$ называется гомоморфизмом групп $G_{1}$ и $G_{2}$, если оно одну групповую операцию переводит в другую: $f(a*b)=f(a)\times f(b)$.

Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма предложена известной группой французских математиков N. Bourbaki в их книге "Теория множеств" ( Глава 4).

Связанные определения

• Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
• Ядро гомоморфизма
  • для гомоморфизма абелевых групп (в частности для колец, векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля,
  • для общих групп — прообраз единицы.

Типы гомоморфизмов

• Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
• Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
• Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм

• Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
• Автоморфизм — взаимно однозначный гомоморфизм в само множество

См. также

• Факторгруппа

Литература

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, стр. 332.