Биекция: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Нет описания правки |
|||
Строка 11: | Строка 11: | ||
[[Функция (математика)|Функция]] <math>f:X\to Y</math> называется '''биекцией''' (и обозначается <math>f:X\leftrightarrow Y</math>), если она: |
[[Функция (математика)|Функция]] <math>f:X\to Y</math> называется '''биекцией''' (и обозначается <math>f:X\leftrightarrow Y</math>), если она: |
||
# Переводит разные элементы [[множество|множества]] <math>X</math> в разные элементы множества <math>Y</math> ([[Инъекция (математика)|инъективность]]). Иными словами, |
# Переводит разные элементы [[множество|множества]] <math>X</math> в разные элементы множества <math>Y</math> ([[Инъекция (математика)|инъективность]]). Иными словами, |
||
#* <math>\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in |
#* <math>\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in Y\;(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2)</math>. |
||
# Любой элемент из <math>Y</math> имеет свой прообраз ([[Сюръекция|сюръективность]]). Иными словами, |
# Любой элемент из <math>Y</math> имеет свой прообраз ([[Сюръекция|сюръективность]]). Иными словами, |
||
#* <math>\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y</math>. |
#* <math>\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y</math>. |
||
<!-- Биекцию также называют '''взаимно-однозначным отображением''' (взаимно-однозначным соответствием <ref name="Дегтярёв">{{книга |автор=Дегтярёв Ю. И. |заглавие=Исследование операций |издание=Учеб. для вузов по спец. АСУ |место=М. |издательство=Высш. шк. |год=1986 |страниц=21}}</ref>).--> |
<!-- Биекцию также называют '''взаимно-однозначным отображением''' (взаимно-однозначным соответствием <ref name="Дегтярёв">{{книга |автор=Дегтярёв Ю. И. |заглавие=Исследование операций |издание=Учеб. для вузов по спец. АСУ |место=М. |издательство=Высш. шк. |год=1986 |страниц=21}}</ref>).--> |
||
== Примеры == |
== Примеры == |
Версия от 20:00, 30 сентября 2012
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.
Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).
Определение
Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:
- Переводит разные элементы множества в разные элементы множества (инъективность). Иными словами,
- .
- Любой элемент из имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
- .
Примеры
- Тождественное отображение на множестве биективно.
- — биективные функции из в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из в себя.
- — биективная функция из в .
- не является биективной функцией, если считать её определённой на всём .
Свойства
- Функция является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция такая, что
- и
- Если функции и биективны, то и композиция функций биективна, в этом случае . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если биективна, то мы можем утверждать лишь, что инъективна, а сюръективна.
Применения
В информатике
Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.
Примечания
См. также
Литература
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
- Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. . Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.