Статистика Бозе — Эйнштейна

В статистической механике статистика Бо́зе — Эйнште́йна определяет распределение тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (таковыми являются, например, фотоны и атомы гелия-4) по энергетическим уровням в состоянии термодинамического равновесия. Предложена в 1924 году Шатьендранатом Бозе для описания фотонов. В 1924—1925 годах Альберт Эйнштейн обобщил её на системы атомов с целым спином.

Статистика Бозе-Эйнштейна (так же как и статистика Ферми-Дирака) связана с квантовомеханическим принципом неразличимости тождественных частиц. Статистикам Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна подчиняются системы тождественных частиц, в которых нельзя пренебречь квантовыми эффектами. Квантовые эффекты проявляются при значениях концентрации частиц (N/V) ≥ n_q, где n_q — это т. н. квантовая концентрация, при которой среднее расстояние между частицами равно средней волне де Бройля для идеального газа при заданной температуре. При концентрации n_q волновые функции частиц «касаются» друг друга, но практически не перекрываются. Статистике Ферми — Дирака подчиняются т. н. фермионы (частицы, для которых справедлив принцип запрета Паули), а статистике Бозе — Эйнштейна — бозоны. Поскольку квантовая концентрация растёт с увеличением температуры, большинство физических систем при высоких температурах подчиняется классической статистике Максвелла — Больцмана. Исключениями являются системы с очень высокой плотностью, например, белые карлики. В пределе высокой температуры или низкой концентрации частиц обе статистики переходят в классическую статистику Максвелла — Больцмана.

Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя так называемый конденсат Бозе — Эйнштейна.

Вывод и описание

Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов отдельных частиц. Собственные функции гамильтониана системы представляются как произведение собственных функций гамильтонианов отдельных частиц. А собственные значения (энергия) гамильтониана системы равна сумме энергий (собственных значений гамильтонианов) отдельных частиц. Если на данном энергетическом уровне $e_{l}$ находится $n_{l}$ частиц, то энергия системы есть взвешенная сумма $E=\sum _{l=0}^{\infty }n_{l}e_{l}$, а волновая функция системы есть произведение

$\psi (r)=\psi (r_{1},r_{2},...,r_{n})=\psi _{l_{1}}(r_{1})\psi _{l_{2}}(r_{2})...\psi _{l_{n}}(r_{n})$

где $\psi _{l_{i}}$ - волновая функция для энергетического уровня $e_{l_{i}}$.

Необходимо учесть, что произвольная линейная комбинация волновых функций тоже является решением уравнения Шредингера. В силу тождественности частиц, то есть их неразличимости, необходимо выбрать такую линейную комбинацию, чтобы перестановка координат не меняла волновую функцию, то есть

$\psi =\sum _{P}P\psi$

где $P$ - операция перестановки координат частиц. Кроме того, по теореме Паули для бозонов волновые функции симметричны, то есть умножение на минус единицу координат, также не меняет волновую функцию. Такие волновые функции описывают невырожденные состояния.

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии i, равняется

$n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}$

где $\varepsilon _{i}>\mu$, n_i  — количество частиц в состоянии i, g_i  — вырождение уровня i, ε_i  — энергия состояния i, μ — химпотенциал системы, k — постоянная Больцмана, T — абсолютное значение температуры.

В пределе $kT\ll \varepsilon _{i}-\mu$ статистика Бозе-Эйнштейна переходит в статистику Максвелла — Больцмана, а в пределе $kT\gg \varepsilon _{i}-\mu$ — в распределение Рэлея:

$n_{i}={\frac {g_{i}kT}{\varepsilon _{i}-\mu }}$.

Литература

• Бозе — Эйнштейна статистика // Бари — Браслет. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 3).

Cм. также

• Статистика Ферми — Дирака
• Распределение Максвелла
• Конденсат Бозе — Эйнштейна