Изогональное сопряжение: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Bezik (обсуждение | вклад) обозначения как на иллюстрации, определение в первом предложении тоже нужно чуть более многословное |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Isogonal Conjugate.svg| |
[[Файл:Isogonal Conjugate.svg|мини|Точки <math>P</math> и <math>P^*</math> изогонально сопряжены]] |
||
[[Файл:Isogonal_Conjugate_transform.svg| |
[[Файл:Isogonal_Conjugate_transform.svg|мини|Преобразование над точками внутри треугольника]] |
||
'''Изогона́льное сопряже́ние''' — геометрическое преобразование. |
'''Изогона́льное сопряже́ние''' — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного [[треугольник]]а относительно [[Биссектриса|биссектрис]] углов треугольника. |
||
== Определение == |
== Определение == |
||
Точки P и |
Точки <math>P</math> и <math>P^*</math> называются ''изогонально сопряжёнными'' (устаревшие названия — изогональными, обратными<ref>Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902</ref>) в треугольнике <math>\triangle ABC</math>, если <math>\angle ABP = \angle CBP^*</math>, <math>\angle BAP = \angle CAP^*</math>, <math>\angle BCP = \angle ACP^*</math>. Корректность данного определения можно доказать через [[Теорема Чевы|теорему Чевы]] в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является [[Биекция|взаимно-однозначным отображением]]. |
||
== Свойства |
== Свойства == |
||
* Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры [[Вписанная окружность|вписанной]] и [[Вневписанная окружность|вневписанных окружностей]]. |
* Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры [[Вписанная окружность|вписанной]] и [[Вневписанная окружность|вневписанных окружностей]]. |
||
* Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — [[Бесконечно удалённая точка|бесконечно удалённая]]. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно [[Прямая Симсона|прямой Симсона]] исходной точки. |
* Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — [[Бесконечно удалённая точка|бесконечно удалённая]]. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно [[Прямая Симсона|прямой Симсона]] исходной точки. |
||
* Если точки <math>P_a</math>, <math>P_b</math>, <math>P_c</math> симметричны точке <math>P</math> относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности <math>P_aP_bP_c</math> изогонально сопряжён точке <math>P</math>. |
* Если точки <math>P_a</math>, <math>P_b</math>, <math>P_c</math> симметричны точке <math>P</math> относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности <math>P_aP_bP_c</math> изогонально сопряжён точке <math>P</math>. |
||
* Если в треугольник вписан [[эллипс]], то его фокусы изогонально сопряжены. |
* Если в треугольник вписан [[эллипс]], то его фокусы изогонально сопряжены. |
||
* Проекции изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное). Центр этой окружности |
* Проекции изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное). Центр этой окружности — середина отрезка между сопряжёнными точками. Частный случай — [[окружность девяти точек]]. |
||
* Образ прямой при изогональном сопряжении — [[коническое сечение|коника]], описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и [[описанная окружность]], [[прямая Эйлера]] и [[гипербола Енжабека]], [[ось Брокара]] и [[гипербола Киперта]], линия центров вписанной и описанной окружности и [[гипербола Фейербаха]]. |
* Образ прямой при изогональном сопряжении — [[коническое сечение|коника]], описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и [[описанная окружность]], [[прямая Эйлера]] и [[гипербола Енжабека]], [[ось Брокара]] и [[гипербола Киперта]], линия центров вписанной и описанной окружности и [[гипербола Фейербаха]]. |
||
* Если коника <math>\alpha</math> изогонально сопряжена прямой <math>l</math>, то [[Трилинейная поляра|трилинейные поляры]] всех точек на <math>\alpha</math> будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу <math>l</math>. |
* Если коника <math>\alpha</math> изогонально сопряжена прямой <math>l</math>, то [[Трилинейная поляра|трилинейные поляры]] всех точек на <math>\alpha</math> будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу <math>l</math>. |
||
Строка 24: | Строка 24: | ||
== Координатная запись == |
== Координатная запись == |
||
В [[Барицентрические координаты|барицентрических координатах]] изогональное сопряжение записывается как <math>(x:y:z)\ \mapsto \left(\frac{a^2}{x}:\frac{b^2}{y}:\frac{c^2}{z}\right)\,</math>, |
В [[Барицентрические координаты|барицентрических координатах]] изогональное сопряжение записывается как: |
||
: <math>(x:y:z)\ \mapsto \left(\frac{a^2}{x}:\frac{b^2}{y}:\frac{c^2}{z}\right)\,</math>, |
|||
где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — длины сторон треугольника. В [[Трилинейные координаты|трилинейных координатах]] его запись имеет форму: |
|||
: <math>(x:y:z)\ \mapsto (\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z})</math>, |
|||
поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка. |
|||
== Вариации и обобщения == |
== Вариации и обобщения == |
||
Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет. |
Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет. |
||
Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению |
Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению<ref>[http://cor.edu.27.ru/catalog/res/9d9fe1df-4584-9398-0575-3b4680b74cea/view/ Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях]</ref>. |
||
== Следствия == |
== Следствия == |
Версия от 13:20, 31 октября 2015
Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного треугольника относительно биссектрис углов треугольника.
Определение
Точки и называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными[1]) в треугольнике , если , , . Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.
Свойства
- Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
- Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
- Если точки , , симметричны точке относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности изогонально сопряжён точке .
- Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.
- Проекции изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное). Центр этой окружности — середина отрезка между сопряжёнными точками. Частный случай — окружность девяти точек.
- Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха.
- Если коника изогонально сопряжена прямой , то трилинейные поляры всех точек на будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу .
Пары изогонально сопряжённых точек
- Центр описанной окружности и ортоцентр.
- Точка пересечения медиан и точка Лемуана.
- Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
- Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
- Точки Брока́ра
- Точка Аполлония и точка Торричелли.
Координатная запись
В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как:
- ,
где , , — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму:
- ,
поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.
Вариации и обобщения
Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.
Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению[2].
Следствия
- Из изогонального сопряжения можно вывести теорему Паскаля.
Примечания
- ↑ Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
- ↑ Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях