Факторпространство по подпространству

Факторпространство по подпространству в линейной алгебре — важный частный случай факторпространств.

Определение

Пусть $(X,\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ — векторное пространство, а $(X_{0},\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ — его подпространство. Определим отношение эквивалентности как

$x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_{0}.$

Тогда $X/\,{\overset {}{\sim }}$ называют факторпространством $X$ по $X_{0}$ и обозначают $X/X_{0}$.

Факторотображение

Отображение $\varphi \colon X\mapsto X/X_{0}$, сопоставляющее каждому элементу из $X$ класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на $X/X_{0}$ векторную структуру, задав операции $\langle +,\;\cdot \rangle$ следующим образом:

• $x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{1},\;x_{2}\in X/X_{0};$
• $\lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .$

Факторотображение на таком пространстве линейно.

Свойства факторотображения:

1. $\varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0});$
2. $\mathrm {im} \,{\varphi }=X/X_{0}$, то есть $\varphi$ — эпиморфизм;
3. $\ker \varphi =X_{0}$, что эквивалентно $\varphi ^{-1}(0)=X_{0}$.

Связанные определения

Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:

• кообраз линейного отображения $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coim} \,T=X/\ker T$;
• коядро линейного отображения $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {im} \,T$, при условии что $\mathrm {im} \,T\in \mathrm {Lat} (Y)$.
• коразмерность $X_{0}\in \mathrm {Lat} (X)\colon \mathrm {codim} \,X_{0}=\dim X/X_{0}$;
• Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая полунормой $p\colon \forall w\in X/X_{0}\quad p_{X/X_{0}}(w)=\inf p(\varphi ^{-1}(w))$.

Сопутствующие теоремы

• Существование снижения на кообраз:

$\forall T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\,\exists {!}\,T_{c}\in {\mathcal {L}}(\mathrm {coim} \,T,\;Y)\colon T=T_{c}\varphi ,\;\ker T_{c}=\{0\}.$

• Теоремы об изоморфизме:

$\mathrm {coim} \,T\simeq \mathrm {im} \,T$

$X_{0},\,X_{1}\in \mathrm {Lat} (X):X=X_{0}\oplus X_{1}\Rightarrow X/X_{0}\simeq X_{1};\,X/X_{1}\simeq X_{0}$

• Теорема о непрерывности факторотображения:

$\varphi \in {\mathcal {B}}(X,\;X/X_{0}).$

• $\varphi ^{-1}(\ker p_{X/X_{0}})=\mathrm {cl} \,X_{0}.$
• $(X/X_{0},\;p_{X/X_{0}})$ — хаусдорфово $\Leftrightarrow X_{0}=\mathrm {cl} \,X_{0}$.

Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет^{[уточнить]} определить на нём норму, а по норме и метрику.

• Признак полноты $X\colon X_{0},\;X/X_{0}$ — полны $\Rightarrow X$ — полно.
• $X_{0}$ — гиперплоскость $\Leftrightarrow \mathrm {codim} \,X_{0}=1$.
• Неравенства для подчинённой фактор-полунормы:

$\forall w\in X/X_{0},\;\forall x\in \varphi ^{-1}(w)\;p_{X/X_{0}}(w)\leqslant p(x);$

$\forall w\in X/X_{0},\;\forall \varepsilon >0\;\exists x\in \varphi ^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant (1+\varepsilon )p_{X/X_{0}}(w).$

• Лемма о снежинке.

См. также

• Непрерывное отображение
• Замкнутое множество
• Ядро линейного отображения
• Образ отображения

Литература

• Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 200. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..