Случайное компактное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пусть множество всех компактных подмножеств . На определяется хаусдорфова метрика

С метрикой , полное сепарабельное метрическое пространство. Соответствующие открытые подмножества порождают -алгебру, борелевскую -алгебру множества .

Случайное компактное множество — это измеримая функция из вероятностного пространства в измеримое пространство . Случайные коммпактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона [Matheron, 1975]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

Продолжая, заметим, что распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения

Для определена вероятность , которая удовлетворяет соотношению:

Таким образом функция покрытия дается формулой

Разумеется, может также интерпретироваться, как среднее индикаторной функции

Функция покрытия принимает значения между и . Множество всех с называется базой Множество всех с называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом . Если — это последовательность н.о.р. случайных компактных множеств, то почти наверное

и сходится почти наверное к

Литература[править | править вики-текст]

  • Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
  • Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.