Случайное компактное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пусть \mathcal{K} множество всех компактных подмножеств \mathbb{R}^2. На \mathcal{K} определяется хаусдорфова метрика h:

h(K_1, K_2) = \inf\left\{\varepsilon > 0 : K_1 \subseteq K_2 \bigoplus b(0,\varepsilon),K_2 \subseteq K_1 \bigoplus b(0, \varepsilon)\right\}.

С метрикой h, \mathcal{K} — полное сепарабельное метрическое пространство. Соответствующие открытые подмножества порождают \sigma-алгебру, борелевскую \sigma-алгебру \mathfrak{B}_K множества \mathcal{K}.

Случайное компактное множество — это измеримая функция из вероятностного пространства (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) в измеримое пространство (\mathcal{K}, \mathfrak{B}_K). Случайные коммпактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона [Matheron, 1975]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

\mathbf{P}(X \cap K = \emptyset), \ \ \ K \in \mathcal{K}.

Продолжая, заметим, что распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения \mathbf{P}(X \subset K).

Для K=\{x\} определена вероятность  \mathbf{P}(x \in X) , которая удовлетворяет соотношению:

 \mathbf{P}(x \in X) = 1-\mathbf{P}(x \not\in X).

Таким образом функция покрытия дается формулой

 p_X(x) = \mathbf{P}(x \in X), \ \ \ x \in \mathbb{R}^2.

Разумеется,  p_X(x) может также интерпретироваться, как среднее индикаторной функции \mathbf{1}_X(x):

 p_X(x) = \mathbf{E} \mathbf{1}_X(x).

Функция покрытия принимает значения между  0 и  1 . Множество  b_X всех  x \in \mathbb{R}^2 с  p_X(x)>0 называется базой  X. Множество  k_X всех  x \in \mathbb{R}^2 с  p_X(x)=1 называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом  e(X) . Если  X_1, X_2, \ldots — это последовательность н.о.р. случайных компактных множеств, то почти наверное

 \bigcap_{i=1}^\infty X_i = e(X)

и  \bigcap_{i=1}^\infty X_i сходится почти наверное к  e(X).

Литература[править | править исходный текст]

  • Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
  • Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.