Предел (математика)

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

История

Обоснование термина

Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось ещё учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов в первой половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Символ предела

Общепринятый символ предела $\lim _{x\to a}f(x)$ был предложен Симоном Люилье (1787 год) в следующем формате: $\operatorname {lim.} x:a;$ это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после lim вскоре исчезла. Близкое к современному обозначение предела ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства: $\operatorname {Lim} _{x=a}$. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков.

Обозначения для одностороннего предела вида $\lim _{x\to a+0}f(x)$ первым предложил Дирихле (1837) в виде: $f(a+0),f(a-0).$ Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде: $\lim \sup$ и $\lim \inf$ соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения: $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$ введенные Альфредом Прингсхаймом в 1898 году.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом порядкового номера.

Число $a$ называется пределом последовательности $x_{1},x_{2},...,x_{n},...$, если

$\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{, }}\exists {\text{ }}N(\varepsilon ){\text{, }}\forall {\text{ }}n>N(\varepsilon ){\text{ }}{\text{ }}|x_{n}-a|<\varepsilon$.

• $\forall$ — квантор всеобщности;
• $\exists$ — квантор существования.

Предел последовательности обозначается $\lim _{n\to +\infty }x_{n}$. Допускается обозначение $\lim x_{n}$.

Свойства:

• Если предел последовательности существует, то он единственный.
• $\lim c=c$$,\,c={\rm {const}}.$
• $\lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}$ (если оба предела существуют)
• $\lim(qx_{n})=q\lim x_{n}$ $,\,q={\rm {const}}.$
• $\lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}$ (если оба предела существуют)
• $\lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}$ (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
• Если $a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n$ и $\lim a_{n}=\lim b_{n}$ , то $\lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}$ (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функции

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен $L$.

Основная статья: Предел функции

Функция $f(x)$ имеет предел $A$ в точке $x_{0}$, если для всех значений $x$, достаточно близких к $x_{0}$, значение $f(x)$ близко к $A$.

Число b называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если $\forall \varepsilon >0$ существует $\delta >0$, такое что $\forall x,0<|x-a|<\delta$ выполняется $|f(x)-b|<\varepsilon$.

Для пределов функций справедливы свойства, аналогичные пределам последовательностей, например, $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)$ — предел суммы равен сумме пределов, если все пределы существуют.

Понятие предела последовательности на языке окрестностей

Пусть $X$ — некоторое множество, на котором определено понятие окрестности $U$ (например, метрическое пространство). Пусть $x_{i}\in X$ — последовательность точек (элементов) этого множества. Говорят, что $x\in X$ есть предел этой последовательности, если вне любой окрестности точки $x$ лежит конечное число членов последовательности, или $\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists {\text{ }}n,{\text{ }}\forall {\text{ }}i>n{\text{ }}{\text{ }}x_{i}\in U(x)$

Замечательные пределы

Основная статья: Замечательные пределы

Замечательные пределы — термины, использующиеся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:

• Первый замечательный предел:

  $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$

• Второй замечательный предел:

  $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Замечательные пределы и их следствия используются при раскрытии неопределённостей для нахождения других пределов.

Вариации и обобщения

• Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности  метрических пространств и последовательности функций на них. Эта конструкция часто используется, чтобы избежать многократного перехода к подпоследовательности. Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.

См. также

• Частичный предел
• Фундаментальная последовательность
• Ряд
• Неопределённости пределов
• Сравнение бесконечно малых величин
• Последовательность
• Список пределов

Литература

• Предел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4.