Алгебра над кольцом

Эта статья — о модуле, снабженном произведением. Об алгебраических системах с пустым множеством отношений см. Алгебра (универсальная алгебра); о разделе математики см. Алгебра.

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Определения

Пусть $K$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль $A$ над кольцом $K$, в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом $K$) $f\colon A\times A\rightarrow A$ определено произведение согласно равенству $ab=f(a,b)$, называется алгеброй над $K$ или $K$-алгеброй.

Согласно определению, для всех $k,\;l\in K$ и $a,\;b,\;c\in A$ справедливы соотношения:

1. $a(b+c)=ab+ac$
2. $(a+b)c=ac+bc$
3. $(k+l)a=ka+la$
4. $k(a+b)=ka+kb$
5. $k(la)=(kl)a$
6. $k(ab)=(ka)b=a(kb)$
7. $1a=a$, где $1$ — единица кольца $K$

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для $a$, $b\in A$ коммутатор определён равенством $[a,b]=ab-ba$. $K$-алгебра называется коммутативной, если $[a,b]=0$.

Для $a,b,c\in A$ ассоциатор определён равенством $(a,b,c)=(ab)c-a(bc)$. $K$-алгебра называется ассоциативной, если $(a,b,c)=0$.

Если существует элемент $e\in A$ такой, что $ea=ae=a$ для всех $a\in A$, то $e$ называется единицей алгебры $A$, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия $k(ab)=(ka)b=a(kb)$ требуют более слабое: $k(ab)=(ka)b$.

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $na$ (где $n$ — целое число) обычно, то есть как сумму $n$ копий $a$. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения $f$ выбрать полилинейное отображение $g:A^{n}\rightarrow A$ и определить произведение согласно правилу: $a_{1}\dots a_{n}=g(a_{1},\dots ,a_{n})$, то полученная алгебраическая структура называется $n$-алгеброй.

Свободная алгебра

Запрос «Свободная алгебра» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Не следует путать с со свободной алгеброй в универсальной алгебре.

Если алгебра $A$ над коммутативным кольцом $K$ является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом $K$. Если алгебра $A$ имеет конечный базис, то алгебра $A$ называется конечномерной.

Если $K$ является полем, то, по определению, $K$-алгебра является векторным пространством над $K$, а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают $e_{1},\dots ,e_{n}$. Если алгебра имеет единицу $e$, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают $e_{0}=e$. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

$e_{i}e_{j}=C_{ij}^{k}e_{k}$.

А именно, если $a=a^{k}e_{k}$, $b=b^{k}e_{k}$, то произведение можно представить в виде:

$ab=C_{ij}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}$.

Величины $C_{ij}^{k}\in K$ называются структурными константами алгебры $A$.

Если алгебра коммутативна, то:

$C_{ij}^{k}=C_{ji}^{k}$.

Если алгебра ассоциативна, то:

$C_{ij}^{k}C_{ml}^{j}=C_{im}^{j}C_{jl}^{k}$.

Свойства

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $K$ в качестве гомоморфного образа можно получить любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $K$.

Отображение алгебры

Возможно рассматривать алгебру $A$ над коммутативным кольцом $K$ как модуль $A$ над коммутативным кольцом $K$. Отображение $f:A\rightarrow B$ алгебры $A$ над коммутативным кольцом $K$ в алгебру $B$ над кольцом $K$ называется линейным, если:

$f(a+b)=f(a)+f(b)$,

$f(ka)=kf(a)$.

для любых $a$, $b\in A$, $k\in K$. Множество линейных отображений алгебры $A$ в алгебру $B$ обозначается символом ${\mathcal {L}}(A;B)$.

Линейное отображение $f:A\rightarrow B$ алгебры $A$ в алгебру $B$ называется гомоморфизмом, если $f(ab)=f(a)f(b)$ для любых $a,b\in A$, а также выполнено условие: если алгебры $A$ и $B$ имеют единицу, то:

$f(e_{A})=e_{B}$.

Множество гомоморфизмов алгебры $A$ в алгебру $B$ обозначается символом $H(A;B)$.

Очевидно, что $H(A;B)\subseteq {\mathcal {L}}(A;B)$.

Примеры

Общие:

• алгебры квадратных матриц
• алгебры многочленов
• алгебра формальных степенных рядов

Алгебры над полем вещественных чисел:

• комплексные числа
• двойные числа
• дуальные числа
• кватернионы

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.