Биекция: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Jukier (обсуждение | вклад) |
Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Bijection.svg|thumb|200px|Биективная функция.]] |
[[Файл:Bijection.svg|thumb|200px|Биективная функция.]] |
||
'''Биекция''' — это отображение, которое является одновременно и [[Сюръекция|сюръективным]], и [[Инъекция (математика)|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё '''взаимно-однозначным отображением''' (соответствием), '''одно-однозначным отображением'''. |
'''Биекция''' — это [[отображение]], которое является одновременно и [[Сюръекция|сюръективным]], и [[Инъекция (математика)|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё '''взаимно-однозначным отображением''' (соответствием), '''одно-однозначным отображением'''. |
||
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются '''[[Мощность множества|равномощными]]'''. С точки зрения [[Теория множеств|теории множеств]], равномощные множества неразличимы. |
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются '''[[Мощность множества|равномощными]]'''. С точки зрения [[Теория множеств|теории множеств]], равномощные множества неразличимы. |
Версия от 15:16, 26 сентября 2012
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.
Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).
Определение
Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:
- Переводит разные элементы множества в разные элементы множества (инъективность). Иными словами,
- .
- Любой элемент из имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
- .
Примеры
- Тождественное отображение на множестве биективно.
- — биективные функции из в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из в себя.
- — биективная функция из в .
- не является биективной функцией, если считать её определённой на всём .
Свойства
- Функция является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция такая, что
- и
- Если функции и биективны, то и композиция функций биективна, в этом случае . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если биективна, то мы можем утверждать лишь, что инъективна, а сюръективна.
Применения
В информатике
Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.
Примечания
См. также
Литература
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
- Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. . Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.