Непрерывное отображение

Непреры́вное отображе́ние в математике — это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и т. п. пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и т. д.

В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.

Существование непрерывных отображений между пространствами, позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.

Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.

Определения

Наиболее общее определение даётся в топологии.

Непрерывность в топологических пространствах

Отображение $f\colon X\to Y$ топологического пространства $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ в топологическое пространство $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

$\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{-1}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}$.

Непрерывность на подпространстве

Если рассмотреть некоторое подмножество $A$ множества $X$, то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология ${\mathcal {T}}_{A}$, которую составляют всевозможные пересечения множества $A$ с множествами, входящими в топологию ${\mathcal {T}}_{X}$.

Отображение $f\colon X\to Y$, непрерывное на множестве $X$, будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.

Непрерывность в точке

Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.

Отображение $f\colon X\to Y$ называется непрерывным в точке $x$, если для любой окрестности $V$ точки $f(x)$ найдется такая окрестность $U$ точки $x$, что $f(U)\subset V$.

Отображение, непрерывное на некотором множестве, будет непрерывным в каждой точке данного множества.

• В случае, если топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, в частности для метрических пространств, непрерывность в точке эквивалентна т.н. секвенциальной непрерывности: если $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$, то $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x)$

Эквивалентные определения

Следующие ниже формулировки эквивалентны:

• прообраз всякого открытого множества открыт;
• прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
• прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
• образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
• замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.

Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.

Непрерывность в метрических и нормированных пространствах

В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):

Отображение $f\colon X\to Y$ метрического пространства $(X,\rho _{X})$ в метрическое пространство $(Y,\rho _{Y})$ называется непрерывным в точке $a$, если для всякого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$, что для всякого $x\in X$, такого, что $\rho _{X}(x,a)<\delta$, выполняется неравенство: $\rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepsilon$.

Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение дается в терминах нормы.

Пусть, $f\colon {N_{1}}\to {N_{2}}$ отображение между нормированными пространствами с нормами $\|{*}\|_{1}$ и $\|{*}\|_{2}$ соответственно. Функция $f$ непрерывна в точке $a$, если для любого числа $\varepsilon >0$ найдётся такое число $\delta >0$, что для всех точек $x\in N_{1}$, таких что $\|x-a\|_{1}<\delta$ выполнено неравенство $\|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepsilon$,

Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.

Непрерывные функции (функционалы)

В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ (или $\mathbb {C}$.), где $X$ - произвольное топологическое пространство, следующее:

Фунционал $f$, называется непрерывным в точке $a\in X$, если для любого $\varepsilon >0$ найдется окрестность $\Sigma _{a}$ этой точки, такая, что $\forall x\in \Sigma _{a}$ выполнено условие $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.

Множество непрерывных на $X$ функционалов (функций) принято обозначать $C(X)$. Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.

Непрерывная числовая функция

Основная статья: Непрерывная функция

Пусть, $f\colon \mathbb {R} \supset E\to \mathbb {R}$. (или $\mathbb {C}$.). Функция $f$ непрерывна в точке $a$, если для любого числа $\varepsilon >0$ найдётся такое число $\delta >0$, что для всех точек $x\in E$ условие $|x-a|<\delta$ влечет $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.

Другими словами, функция $f$ непрерывна в точке $a$, предельной для множества $E$, если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

$f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a)$

Функция $f$ непрерывна на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция $f$ класса $C^{0}$ и пишут: $f\in C^{0}(E)$ или, подробнее, $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$.

Свойства непрерывных отображений

• Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество

• Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.

• Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.

• Образ связного множества при непрерывном отображении - связное множество.

• (Теорема Титце.) Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства может быть продолжена до непрерывной функции на всё пространство.

• Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями.
• Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
• Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть $C(X)$- пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве $X$. Пусть $B(X)$ - подмножество $C(X)$, содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае $B(X)=C(X)$ тогда и только тогда, когда $\forall x_{1},x_{2}\in X$, существует $f\in B$, такая что $f(x_{1})\not =f(x_{2})$.

Связанные определения

• Гомеоморфизм — непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
• Равномерная непрерывность

См. также

• Пространство непрерывных функций
• Линейный непрерывный оператор
• Предел функции
• Общая топология
• Топологическое пространство
• Открытое отображение
• Равномерная непрерывность

Ссылки

Математические Этюды Мультик про непрерывность

Литература

Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.