Теорема Вейерштрасса — Стоуна

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов. В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результат, распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T₂-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.

Позднее найдены и другие обобщения результата.

Теорема Вейерштрасса

Пусть $f$ — непрерывная функция, определённая на отрезке $[a,b]$. Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует такой многочлен $p$ с вещественными коэффициентами, что для всех $x$ из $[a,\;b]$ одновременно выполнено условие $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$.

Если $f(x)$ непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома $p$ следует считать комплексными числами и к полиномам следует добавить их комплексные сопряжения.

Схема доказательства Вейерштрасса

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году как следствие более общего утверждения: для вещественной непрерывной на $\mathbb {R}$ ограниченной функции $f$ и четной положительной функции $\psi$ со сходящимся интегралом

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi (x)dx$

при всех $x\in \mathbb {R}$ имеет место равенство

$f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy$.

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен $f(x)$, но и что сходимость равномерная по $x$, меняющемся на любом конечном отрезке.

В случае, когда $\psi (x)=e^{-x^{2}}$, каждая функция из семейства:

$F_{k}(x)={\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy,\ k>0,$

вполне определена при всех комплексных $x$ и является целой. Поэтому её можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (теорема Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить многочленами на любом конечном интервале.

Если к тому же $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T$, то функции $F_{k}(x)$ являются целыми периодическими функциями. Но тогда:

$F_{k}\left({\frac {T}{2\pi i}}\ln z\right)$

является однозначной и голоморфной функцией в области $z\not =0$ и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

$F_{k}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp {\left({\frac {2\pi }{T}}inx\right)}$,

поэтому $F_{k}(x)$, а значит и $f(x)$ можно приблизить тригонометрическими многочленами.

Значение результата Вейерштрасса

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а формирующийся на базе интегрального и дифференциального исчисления анализ занимался произвольными функциями, так, Герман Ханкель особо отмечал: «о функции $y$ от $x$ говорят, когда каждому значению переменной $x$, [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение $y$; при этом не существенно, зависит ли $y$ от $x$ во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций», подчёркивая, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция есть предел многочленов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Топологические следствия

Согласно теореме Вейерштрасса пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

Обобщение Стоуна

В 1935 году Стоун доказал, что всякую функцию из кольца $C(K)$ непрерывных на хаусдорфовом компакте $K$ вещественнозначных функций можно равномерно приблизить функциями специального класса — составляющими алгебру Стоуна, то есть любая алгебра Стоуна $C_{0}$ является всюду плотной в пространстве непрерывных функций на компакте: ${\overline {C_{0}}}=C(K)$. В качестве нормы равномерной сходимости на $C(K)$ берётся $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$, а алгебра Стоуна определяется как подалгебра $C_{0}\subseteq C(K)$, элементы которой разделяют точки $K$.

Более точно, алгебра Стоуна $C_{0}$ — это множество функций из кольца $C(K)$, удовлетворяющее следующим условиям:

1. вместе с любыми её элементами $f,g\in C_{0}$ в алгебру Стоуна входят элементы: $cf$ ($c\in \mathbb {R}$), $f+g$, $fg$;
2. алгебра Стоуна содержит постоянную функцию $1$;
3. для каждой пары различных точек $x_{1},x_{2}\in K$ найдётся хотя бы одна функция $f\in C_{0},$ такая, что $f(x_{1})\neq f(x_{2})$.

Дальнейшие обобщения

Существует серия обобщений теоремы Вейерштрасса — Стоуна в различных направлениях. Например, по теореме Мергеляна всякую функцию, непрерывную на всяком компакте со связным дополнением на комплексной плоскости и голоморфную в его внутренних точках можно равномерно приблизить комплексными многочленами. Также были найдены обобщения, позволяющие вместо хаусдорфова компакта рассматривать функции, непрерывные на произвольном тихоновском пространстве.

См. также

• Многочлен Бернштейна

Литература

• Вейерштрасса — Стоуна теорема — статья из Математической энциклопедии. В. И. Пономарев
• Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977. — 512 с.