Вписанная окружность

Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

В многоугольнике

• Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

• Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру

$r=\frac{S}{p}$

В треугольнике

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
• Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
• Радиус вписанной в треугольник окружности равен

$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

• Если AB — основание равнобедренного $\triangle ABC$, то окружность, касающаяся сторон $\angle ACB$ в точках A и B, проходит через точку О.
• Формула Эйлера: $R^2-2Rr=|OI|^2$, где $R$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности, $r$ — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.
• Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A₁ и B₁, то $A_1B_1=A_1B+AB_1$.
• Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками — получается треугольник T₁
  • биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T₁
  • Пусть T₂ — ортотреугольник T₁. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
  • Пусть T₃ — серединный треугольник T₁. Тогда биссектрисы T являются высотами T₃.
  • Пусть T₄ — ортотреугольник T₃, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T₄.
• Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен $\frac{a+b-c}{2}$.
• Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны равно $d=\frac{a+b-c}{2}=p-c$.
• Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности равно $l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}$, где r — радиус вписаной окружности, а γ — угол вершины C.
• Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности может так же быть найдено по формуле $l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2}$
• Теорема о трезубце или о трилистнике: Если $W$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью, а $I$ — центр вписанной окружности, то $|WI|=|WB|=|WC|$.
• Лемма Вертера: пусть окружность $V$ касается сторон $AB$, $AC$ и дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда точки касания окружности $V$ со сторонами и центр вписанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. Это утверждение — частный случай леммы Накаямы.

В четырёхугольнике

Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.

В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$.

Если в четырёхугольник вписана окружность, то площадь такого четырёхугольника можно вычислить по формуле: $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр вписанной в четырёхугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

• Тангенс радиуса вписанной в сферический треугольник окружности равен^:73-74

$\operatorname{tg}r=\sqrt{\frac{\sin (p-a)\sin (p-b)\sin (p-c)}{\sin p}}\,$

• Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника^:20-21.

См. также

• Окружность
• Вневписанная окружность
• Описанная окружность
• Единичная окружность
• Окружность Аполлония
• Теорема Мансиона

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0