Гармоническое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гармоническое число H_{n,1}, где n=\lfloor{x}\rfloor (красная линия) и его асимптотический предел \gamma+\ln(x) (синяя линия).

В математике nгармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

 H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определения[править | править вики-текст]

  • Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
     \begin{cases}
  H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n} \\
  H_1 = 1
\end{cases}

Дополнительные представления[править | править вики-текст]

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках отличных от точек натурального ряда):

  • Интегральные представления:
     H_x = \int_0^1 \frac{-1 + t^x}{-1 + t} dt, \quad Re(x) > -1
     H_x = \int_0^\infty \frac{1 - e^{tx}}{-1 + e^t} dt, \quad Re(x) > -1
  • Предельные представления:
     H_x = \lim_{n \to \infty} \left( \ln(n) - \sum_{k=0}^n \frac{1}{x + k + 1} \right) + \gamma
     H_x = x \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k + 1)(x + k + 1)}

Производящая функция[править | править вики-текст]

 \sum_{k=1}^\infty H_k z^k = -\frac{\ln(1-z)}{1-z}

Свойства[править | править вики-текст]

Значения от нецелого аргумента[править | править вики-текст]

  •  H_{1/2} = 2 - 2\ln2
  •  H_{1/3} = 3 - \frac{3 \ln3}{2} - \frac{\pi}{2 \sqrt{3}}
  •  H_{1/4} = 4 - 3\ln2 - \frac{\pi}{2}
  •  H_{1/5} = 5 - \frac{5 \ln5}{4} - \frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}} } \pi - \frac{\sqrt{5}}{2} \ln\varphi,
где  \varphi  — золотое сечение.
  • H_{1/7} = 7 - \ln14 - \frac{\pi}{2} \mathrm{ctg}\frac{\pi}{7} 
  - 2 \cos\left(\frac{ \pi}{ 7}\right) \ln\left(\cos\frac{ \pi}{14}\right) + 2 \sin\left(\frac{3\pi}{14}\right) \ln\left(\sin\frac{ \pi}{ 7}\right)
  - 2 \sin\left(\frac{ \pi}{14}\right) \ln\left(\cos\frac{3\pi}{14}\right)

Суммы, связанные с гармоническими числами[править | править вики-текст]

  •  \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k} = \infty
  •  \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2} = 2 \zeta(3)
  •  \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^3} = \frac{1}{2} \zeta(2)^2 = \frac{5}{4} \zeta(4) = \frac{\pi^4}{72}
  •  \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^4} = 3 \zeta(5) - \zeta(2)\zeta(3) = 3 \zeta(5) - \frac{\pi^2}{6}\zeta(3)


Тождества, связанные с гармоническими числами[править | править вики-текст]

  • (H_n)^3 = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^1\frac{1}{ijk}
  • \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=j+1}^1\frac{1}{ijk}=\frac{1}{2}H_n(H_n^2-\zeta_n(2)), где \zeta_{n}(2) = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}
  • \zeta_{n}(2) = (H_{n})^2-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2H_k}{k+1}-1, где \zeta_{n}(2) = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}
  •  H_{n^2} + 1 = (H_n)^2 + \sum_{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^2-1} - \frac{2H_{k}}{k+1} - H_{k^2}\right)

Приближенное вычисление[править | править вики-текст]

С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:

H_n = \ln n + \gamma +\frac{1}{2n}+\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}}-\theta _{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}},

где 0<\theta _{m,n} < 1, \gamma — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений[каких?], а B_k — числа Бернулли.

Теоретико-числовые свойства[править | править вики-текст]

Приложения[править | править вики-текст]

В 2002 году Lagarias доказал,[1] что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

 \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}

верно при всех целых n \ge 1 со строгим неравенством при n > 1, где  \sigma(n)  — сумма делителей числа n.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Jeffrey Lagarias An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543.