Преобразование Ханкеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, преобразование Ханкеля порядка ν функции f(r) задаётся формулой:


F_\nu(k) = \int\limits_0^\infty f(r)J_\nu(kr)\,r\,dr

где Jνфункция Бесселя первого рода порядка ν и ν ≥ −1/2. Обратным преобразованием Ханкеля функции Fν(k) называют следующее выражение:


f(r) =\int\limits_0^\infty  F_\nu(k)J_\nu(kr) k~dk

которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже. Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя-Фурье.

Область определения[править | править исходный текст]

Преобразование Ханкеля функции f(r) верно для любых точек на интервале (0, ∞), в которых функция f(r) непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл


\int\limits_0^\infty |f(r)|\,r^{1/2}\,dr

конечен.

Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например, f(r)=r).

Ортогональность[править | править исходный текст]

Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом r:


\int\limits_0^\infty J_\nu(kr)J_\nu(k'r)r~dr = \frac{\delta (k-k')}{k}

для k и k' больше чем ноль.

Преобразование Ханкеля некоторых функций[править | править исходный текст]

f(r)\, F_0(k)\,
1\, \delta(k)\,
r\, -1/k^3\,
r^3\, 9/k^5\,
r^{m}\, \frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma(-m/2)}\, для нечётных m

0\, ??? для четных m.

e^{iar}\, \frac{-ia\sqrt{k^2-a^2}}{(k^2-a^2)^2}\,
e^{a^2r^2/2}\, \frac{-e^{k^2 / 2a^2}}{a^2}

См[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Gaskill, Jack D., «Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics», John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5
  • Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4