Однородная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Однородная функция степени q — числовая функция f:\R^n\to\R такая, что для любого \mathbf{v}\in\R^n и \lambda \in\R выполняется равенство:

 f(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^q f(\mathbf{v}),  \qquad\qquad (*)

причём q называют порядком однородности.

Различают также

  • положительно однородные функции, для которых равенство (*) выполняется только для положительных \lambda (\lambda > 0),
  • абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
         f(\lambda \mathbf{v}) = |\lambda|^q f(\mathbf{v}),
  • ограниченно однородные функции, для которых равенство (*) выполняется только для некоторых выделенных значений \lambda,
  • комплексные однородные функции f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C} для которых равенство (*) справедливо при \mathbf{v}\in\mathbb{C}^n и \lambda \in\R или \lambda \in\mathbb{C} (а также для комплексных показателей q \in\mathbb{C} ).

Альтернативное определение однородной функции[править | править вики-текст]

В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения f(\lambda\mathbf{v})=g(\lambda)f(\mathbf{v}) с заранее неопределённой функцией g(\lambda) и лишь потом доказывается, что g(\lambda)=\lambda^q. Для единственности решения g(\lambda)=\lambda^q нужно дополнительное условие, что функция f(\mathbf{v}) не равна тождественно нулю и что функция g(\lambda) принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция f(\mathbf{v}) непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то g(\lambda) должна быть непрерывной функцией при всех значениях \lambda, и тем самым для широкого класса функций f(\mathbf{v}) случай g(\lambda)\equiv\lambda^q — единственно возможный.

Обоснование:

Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению f(\lambda\mathbf{v})=g(\lambda)f(\mathbf{v}) при любом выборе функции g(\lambda), однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.

Если же в какой-то точке \mathbf{v}_0 значение f(\mathbf{v}_0)\ne0, то:

  1. g(\lambda_1\lambda_2)f(\mathbf{v}_0)=f(\lambda_1\lambda_2 \mathbf{v}_0)=g(\lambda_1)f(\lambda_2 \mathbf{v}_0)=g(\lambda_1)g(\lambda_2) f(\mathbf{v}_0), откуда \forall\lambda_1,\lambda_2: g(\lambda_1\lambda_2)=g(\lambda_1)g(\lambda_2);
  2. g(\lambda_1\lambda_2)=g(\lambda_1)g(\lambda_2) \Leftrightarrow G(\mu_1+\mu_2)=G(\mu_1) + G(\mu_2), где \mu=\log\lambda, G(\mu)=\log g(\exp(\mu)).

Функциональное уравнение Коши G(\mu_1+\mu_2)=G(\mu_1) + G(\mu_2) имеет решение в виде линейной функции: G(t)=q \cdot t, причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что g(\lambda) непрерывная или монотонная функция, то g(\lambda)\equiv\lambda^q.

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Если f_1,f_2,\dots — однородные функции одного и того же порядка q, то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка q.
  2. Если f_1,f_2,\dots — однородные функции с порядками q_1,q_2,\dots, то их произведение будет однородной функцией с порядком q=q_1+q_2+\dots.
  3. Если f — однородная функция порядка q, то её m-ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если m — целое число, или если значение f положительно), будет однородной функцией порядка m q на соответствующей области определения. В частности, если f — однородная функция порядка q, то 1/f будет однородной функцией порядка (-q) и областью определения в точках, где f определена и не равна нулю.
  4. Если f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) — однородная функция порядка p, а h_k\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right) — однородные функции порядка q, то суперпозиция функций F\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right)=f\left(h_1,h_2,\dots,h_n\right) будет однородной функцией порядка pq.
  5. Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю.
  6. Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
  7. Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
  8. Если имеется непрерывная или монотонная функция g(y), причём g\left(f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right) —— однородная функция, где f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) —— однородная функция ненулевого порядка, то g(y)=c y^m —— степенная функция во всех точках y, в которых уравнение y=f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) имеет решение. В частности, f(x)=c x^q —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка q . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция g(y) —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для g(y), см. статью «Базис Гамеля».)
  9. Если функция  f  является многочленом от  n  переменных, то она будет однородной функцией степени  q  в том и только в том случае, когда  f — однородный многочлен степени  q.  В частности, в этом случае порядок однородности q  должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} с одинаковыми порядками однородности k_j=i_1+i_2+\dots+i_n, подставить результат в равенство (*) и использовать тот факт, что степенные функции \lambda^{k_1},\lambda^{k_2},\dots с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} с нецелочисленными индексами.
  10. Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом. (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} с минимальным и максимальным порядками однородности k=i_1+i_2+\dots+i_n. Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} с нецелочисленными индексами.
  11. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции f=\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)} являются являются однородными многочленами, функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены. Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} с нецелочисленными индексами.
  12. Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена:   f(\mathbf{0}) = 0.  (Получается при подстановке в равенство (*) значения  \lambda=0  либо, в случае отрицательной степени однородности, значения \mathbf{v}=0.) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение.
  13. Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием  \mathbf{v'} = \lambda \mathbf{v} можно любую точку \mathbf{v} сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке \mathbf{v} через её значение в точке \mathbf{0} с помощью соотношения  \lim_{\lambda\to0} \lambda^q f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{0}).)
  14. Если однородная функция f в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом (однородным многочленом). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора, сгруппировать вместе члены ряда Тейлора c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} с одинаковыми порядками однородности k_j=i_1+i_2+\dots+i_n, подставить результат в равенство (*) и использовать, что степенные функции \lambda^{k_1},\lambda^{k_2},\dots с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.)
  15. Функция   f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1)  , где   h(t_2,t_3,...,t_n)  — функция   (n-1)   переменных, является однородной функцией с порядком однородности   q.   Функция   f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),   где   h(t_2,t_3,...,t_n)  — функция   (n-1)   переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности   q.  
  16. Соотношение Эйлера: для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:   \mathbf{v} \cdot \nabla f(\mathbf{v}) = qf(\mathbf{v})  или, в эквивалентной записи,   \sum x_k f'_{x_k} = qf.  Получается при дифференцировании равенства (*) по  \lambda  при  \lambda=1. 
  17. Если  f(x_1,x_2,...,x_n) — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  q , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) — это однородные функции c порядком однородности  q-1.  Для доказательства достаточно продифференцировать по  x_k  правую и левую части тождества  f(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^q f(x_1, x_2, \ldots, x_n)  и получить тождество  f'_{x_k}(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^{q-1} f'_{x_k}(x_1, x_2, \ldots, x_n). 
  18. Если  f(x_1,x_2,...,x_n) — однородная функция c порядком однородности  q , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля F(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1}f(t,x_2,...,x_n)dt  — это однородные функции c порядком однородности  q+1. Доказательство: F(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=\int_0^{\lambda x_1}f(t,\lambda x_2,...,\lambda x_n)dt=\lambda \int_0^{x_1}f(\lambda t',\lambda x_2,...,\lambda x_n)dt'=\lambda^{q+1} \int_0^{x_1}f(t',x_2,...,x_n)dt'=\lambda^{q+1} F(x_1,x_2,...,x_n) (здесь сделана замена переменной интегрирования t=\lambda t').
  19. Если  f(x_1,x_2,...,x_n) — однородная функция c порядком однородности  q , то её дробная производная (дифферинтеграл) порядка \alpha, вычисляемая как G(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dx_1^n}\int_0^{x_1} (x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,x_2,...,x_n)\,dt по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать n>\alpha) — это однородные функции c порядком однородности  q-\alpha. Рассмотрим функцию H(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1} (x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,x_2,...,x_n)\,dt . Тогда H(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=\int_0^{\lambda x_1} (\lambda x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,\lambda x_2,...,\lambda x_n)\,dt=\lambda \int_0^{x_1} (\lambda x_1-\lambda t')^{n-\alpha-1}f(\lambda t',\lambda x_2,...,\lambda x_n)\,dt'=\lambda^{q+n-\alpha} \int_0^{x_1}(x_1-t')^{n-\alpha-1}f(t',x_2,...,x_n)dt'=\lambda^{q+n-\alpha} H(x_1,x_2,...,x_n) (здесь сделана замена переменной интегрирования t=\lambda t'). После n-кратного дифференцирования по переменной x_1 однородная функция H(x_1,x_2,...,x_n) порядка q+n-\alpha становится однородной функцией c порядком однородности  q-\alpha .
  20. Если  f(x_1,x_2,...,x_n) — однородная функция c порядком однородности  q , то её n-мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как H(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (x_1^{k_1}-t_1^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(x_n^{k_n}-t_n^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)\,dt_1\dots dt_n (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности  q+\mu_1+\dots+\mu_n . Доказательство: H(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=\int_0^{\lambda x_1}\dots\int_0^{\lambda x_n} (\lambda^{k_1} x_1^{k_1}-t_1^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(\lambda^{k_n} x_n^{k_n}-t_n^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)\,dt_1\dots dt_n=\lambda^n \int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (\lambda^{k_1} x_1^{k_1}-\lambda^{k_1} t_1'^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(\lambda^{k_n} x_n^{k_n}-\lambda^{k_n} t_n'^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(\lambda t_1',...,\lambda t_n')\,dt_1'\dots dt_n'=\lambda^{q+\mu_1+\dots+\mu_n} \int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (x_1^{k_1}-t_1'^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(x_n^{k_n}-t_n'^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1',...,t_n')\,dt_1'\dots dt_n'=\lambda^{q+\mu_1+\dots+\mu_n} H(x_1,x_2,...,x_n) , где сделана замена переменных интегрирования t_k=\lambda t_k' . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)


Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности  q может быть представлена в форме

      f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),  

где   h(t_2,t_3,...,t_n)  — некоторая функция   (n-1)   переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности   q   может быть представлена как

   f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),  

где   h(t_2,t_3,...,t_n)  — некоторая функция   (n-1)   переменных.

Следствие. Любая однородная функция степени q (абсолютно-однородная функция степени q) может быть представлена в форме

     f(x_1,x_2,...,x_n)=\phi(x_1,x_2,...,x_n)\cdot h(\phi_1(x_1,x_2,...,x_n),\phi_2(x_1,x_2,...,x_n),...,\phi_{n-1}(x_1,x_2,...,x_n)), 

где  h(t_1,t_2,...,t_{n-1}) — некоторая подходящая функция   (n-1)   переменных, \phi(x_1,x_2,...,x_n) — фиксированная однородная функция степени q (фиксированная абсолютно-однородная функция степени q), а \phi_1(x_1,x_2,...,x_n), \phi_2(x_1,x_2,...,x_n)), ..., \phi_{n-1}(x_1,x_2,...,x_n)) — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций \phi,\phi_1,\phi_2,...,\phi_{n-1} это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями f(x_1,x_2,...,x_n) степени q от n переменных и функциями h(t_1,t_2,...,t_{n-1}) от (n-1) переменных.


Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы дифференцируемая функция   f(x_1,x_2,...,x_n)   была однородной функцией с порядком однородности   q,   необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

  \sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).  

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности (*) справедливо в некотором интервале значений  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]\sub \left[0,\infty\right),  то оно справедливо для всех  \lambda>0. 

Лямбда-однородные функции[править | править вики-текст]

Пусть задан вектор   \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n).   Функция n переменных  f(x_1,x_2,...,x_n)  называется \lambda-однородной c порядком однородности  q , если при любых  t>0  и любых   \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\in {\R}^n   справедливо тождество

 f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^qf(x_1,x_2,...,x_n).


При  \lambda_k=1  \lambda-однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  q  вводят степень однородности  m,  определяемую из соотношения

 f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^{m\frac{|\mathbf{\lambda}|}{n}}f(x_1,x_2,...,x_n),

где   |\mathbf{\lambda}|=\sum|\lambda_k|.   Для обычных однородных функций порядок однородности  q  и степень однородности  m  совпадают.


Если частные производные  f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n)  непрерывны в \R^n, то для \lambda-однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  \lambda-однородности в точке  t=1:

 \sum \lambda_x x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция  f(x_1,x_2,...,x_n)  была \lambda-однородной функцией с вектором    (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)   и порядком однородности  q.  Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию   \varphi(t) = t^{-q} f(t^{\lambda_1} x_1,t^{\lambda_2} x_2,...,t^{\lambda_n} x_n)  и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что  \varphi(t) \equiv \varphi(1).


Если  f(x_1,x_2,...,x_n) — \lambda-однородная функция с вектором   \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)  и порядком однородности  q,  то она же является \lambda-однородной функцией с вектором  \mathbf{\lambda} = (\alpha\lambda_1,\alpha\lambda_2,...,\alpha\lambda_n)  и порядком однородности  \alpha q  (следует из подстановки в тождество для \lambda-однородности нового параметра  t'\to t^{\alpha}). В силу этого при рассмотрении \lambda-однородных функций достаточно ограничиваться случаем   \sum|\lambda_k|=const.   В частности, нормировка   \sum|\lambda_k|  может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности  q  был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что   \lambda_k \neq 0.  


При замене переменных   x_k=y_k^{\lambda_k}  \lambda-однородная функция  f(x_1,x_2,...,x_n)  с вектором   \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)  и порядком однородности  q  переходит в обычную однородную функцию  g(y_1,y_2,...,y_n)  с порядком однородности  q.  Отсюда следует, что общее представление для \lambda-однородных функций с вектором   \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)  и порядком однородности  q  имеет вид:

 f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^{q/\lambda_1}\cdot h(x_2^{1/\lambda_2}/x_1^{1/\lambda_1}, x_3^{1/\lambda_3}/x_1^{1/\lambda_1}, \ldots, x_n^{1/\lambda_n}/x_1^{1/\lambda_1}),

где  h(t_2,t_3,...,t_n)  — некоторая функция  (n-1) переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (http://www.sernam.ru/lect_math2.php), раздел 8.8.4.

Оператор Эйлера[править | править вики-текст]

Дифференциальный оператор

x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Соответственно, функциями, обращающими оператор Эйлера в константу, являются логарифмы однородных функций и только они. Функциями, обращающими оператор Эйлера в ноль, являются однородные функции нулевого порядка и только они (логарифм однородной функции нулевого порядка сам является однородной функцией нулевого порядка).

Аналогичным образом для дифференциального оператора

\lambda_1 x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}

собственными функциями являются \lambda-однородные функции с вектором  (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)   и только они, причём собственным значением является порядок однородности \lambda-однородной функции. В константу же этот дифференциальный оператор обращают логарифмы \lambda-однородных функций с вектором  (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) , и никакие другие функции.

Дальнейшим обобщением оператора Эйлера служит дифференциальный оператор

\lambda_1 x_1^{\mu_1}\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2^{\mu_2}\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n^{\mu_n}\frac{\partial f}{\partial x_n},

который сводится к оператору Эйлера y_1\frac{\partial f}{\partial y_1} + y_2\frac{\partial f}{\partial y_2} + \ldots + y_n\frac{\partial f}{\partial y_n} заменой y_k=\exp\left(\frac{x^{1-\mu_k}}{\lambda_k\left(1-\mu_k\right)}\right) при \mu_k\ne1; y_k=x^{1/\lambda_k} при \mu_k=1. Также к оператору Эйлера с помощью замены y_k=\exp\left(\int_{a_k}^x\frac{dt}{h_k(t)}\right) сводятся все дифференциальные операторы вида h_1(x_1)\frac{\partial f}{\partial x_1} + h_2(x_2)\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + h_n(x_n)\frac{\partial f}{\partial x_n} .


Источник: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler’s theorem on homogeneous functions (PlanetMath.org)

Ограниченно однородные функции[править | править вики-текст]

Функция  f(x_1,x_2,\ldots,x_n): \R^n\to\R  называется ограниченно однородной с показателем однородности  q  относительно множества положительных вещественных чисел  \Lambda  (называемого множеством однородности), если для всех  \vec x\in \R^n  и для всех  \lambda \in \Lambda  справедливо тождество

 f(\lambda \vec x) = \lambda^q f(\vec x).

Множество однородности  \Lambda  всегда содержит в себе единицу. Множество однородности  \Lambda  не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right] — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых  \Lambda \neq \{ 1 \}   и у которых множество однородности  \Lambda  сугубо дискретно.

Пример 1. Функция  f(x)=x^q\sin(\log |x|)  является ограниченно однородной с показателем однородности  q  относительно множества  \Lambda=\{e^{2\pi m}\},  где  m — целые числа.

Пример 2. Функция  f(x,y,z)=(x^2+2y^2+3z^2)^{q/2}\cos(\log \sqrt{x^2-xy+y^2})  является ограниченно однородной с показателем однородности  q  относительно множества  \Lambda=\{e^{2\pi k}\},  где  k — целые числа.

Теорема. Чтобы функция   f(x_1,x_2,...,x_n),  определённая при  x_1>0,  была ограниченно однородной с порядком однородности  q,  необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

  f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log x_1,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1), 

где   H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n) — функция, периодическая по переменной  y  с по крайней мере одним периодом, не зависящим от   t_2,t_3,\ldots,t_n.  В таком случае множество однородности  \Lambda  состоит из чисел  \{e^{Y_k}\},   где  Y_k — периоды функции   H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),  не зависящие от   t_2,t_3,\ldots,t_n. 

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

  x_1,x_2,...,x_n \to x_1,t_2,...,t_n,  где   t_k = x_k/x_1,  

так что   f(x_1,x_2,...,x_n)  = g(x_1,t_2,...,t_n).   Если теперь рассмотреть функцию   h(x_1,t_2,...,t_n)  = g(x_1,t_2,...,t_n)/x_1^q,   то из условия однородности получаем для всех допустимых  x_1  равенство

  h(\lambda x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,t_3,...,t_n),  

которое будет справедливым, когда  \lambda\in\Lambda.  Если только множество  \Lambda  не состоит из одной лишь единицы, то после замены   x_1 = \exp(y)   функция

  H(y,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,...,t_n)  

оказывается периодической по переменной  y  с ненулевым периодом  \log\lambda  для любого выбранного фиксированным образом  \lambda\in\Lambda,  поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

  H(\log x_1 + \log\lambda,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n).  

Очевидно, что выбранное фиксированное значение \log\lambda  будет периодом функции   H(y,t_2,...,t_n)  сразу при всех   t_2,...,t_n.  

Следствия:

  1. Если имеется наименьший положительный период  Y>0,  не зависящий от   t_2,t_3,\ldots,t_n,  то множество однородности  \Lambda  имеет вид  \{e^{mY}\},  где  m=0,\pm1,\pm2,\dots — произвольные целые числа. (Если  Y — наименьший положительный период функции   H(y,...),   то и все  Y_m=mY — её периоды, поэтому числа  \{e^{mY}\}   будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности  \lambda_{*}=e^{Y_{*}},  что  e^{mY} < e^{Y_{*}} < e^{(m+1)Y},   то   Y_{*} - mY   окажется положительным периодом, не зависящим от   t_2,...,t_n,   который будет меньше, чем  Y. )
  2. Если функция   H(y,\ldots)  — это константа по переменной  y,  то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае   H(y,\ldots)   не зависит от переменной  y,  и функция
         f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1) 
    — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности  \Lambda  в этом случае — вся положительная полуось  \lambda>0  (по меньшей мере).
  3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции   H(y,...)   не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности   \Lambda   может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений   t_2,t_3,\ldots,t_n  у периодической функции   H(y,...)   есть предел по переменной   y  хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной  y. 
  4. Ограниченно однородные функции, определённые при  x<0,  имеют вид
         f(x_1,x_2,...,x_n) = (-x_1)^q \cdot H(\log (-x_1),x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1) 
    с надлежащим образом выбранной функцией   H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),  периодической по переменной  y. 
  5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки  x=0,  имеют вид
         f(x_1,x_2,...,x_n) = |x_1|^q \cdot H_{\pm}(\log |x_1|,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1), 
    с надлежащим образом выбранной функцией   H_{\pm}(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),  периодической по переменной  y  (где обозначение   H_{\pm}(\ldots)  подчёркивает, что для интервала значений  x_1>0  и для интервала значений  x_1<0  выбираются, вообще говоря, разные периодические функции H(y), каждая с областью определения y\in(-\infty,+\infty), но обязательно имеющие при этом один и тот же период).
  6. Формула   f(x_1,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log |x_1|,x_2/x_1,\ldots,x_n/x_1),  является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию   H(y,t_2,\dots,t_n\ldots)   как   G\left(w\cdot y+\log W(t_2,\dots,t_n),t_2,\dots,t_n\right),  где период функции   G\left(t,t_2,\dots,t_n\right)  равен   2\pi,  нормировочный множитель   w  не зависит от  t_2,\dots,t_n,  а функция  W(t_2,\dots,t_n)  выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
         f(x_1,...,x_n) = F(\log Q(x_1,\ldots,x_n), x_1,\ldots,x_n), 
    где   F(y, x_1,x_2,\ldots,x_n) — однородная функция с показателем однородности   q   по переменным   x_1,x_2,\ldots,x_n  и периодическая с периодом   2\pi  по переменной   y,     Q(x_1,x_2,\ldots,x_n), — фиксированная однородная функция с показателем однородности   w   по переменным   x_1,x_2,\ldots,x_n,  а множество однородности имеет вид   \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},  где   m=0,\pm1,\pm2,\dots — произвольные целые числа.
  7. Разлагая периодическую функцию   F(y, x_1,\ldots,x_n)  из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
         A_0(x_1,\ldots,x_n)+\sum A_k(x_1,\ldots,x_n)\cos k \log Q(x_1,\ldots,x_n)+B_k(x_1,\ldots,x_n)\sin k \log Q(x_1,\ldots,x_n), 
    где   A_k(x_1,\ldots,x_n)  и   B_k(x_1,\ldots,x_n) — произвольные однородные функции с показателем однородности   q,     Q(x_1,\ldots,x_n) — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности   w,   а множество однородности   \Lambda=\{e^{mY}\},  записано как   \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},  где   m — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности   q   и множеством однородности   \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}.  В частности, замена фиксированной функции   Q(x_1,\ldots,x_n)  на набор произвольных однородных функций   Q_k(x_1,\ldots,x_n)  не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.


Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function (PlanetMath.org).

Присоединённые однородные функции[править | править вики-текст]

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функции[править | править вики-текст]

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями[править | править вики-текст]

1. Пусть

 f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C\left(\lambda\right)f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) 

при некоторой функции  C\left(\lambda\right)  на интервале  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right].  Какова должна быть функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)? 

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по  \lambda.  Получим

  x_1\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_n}  = \frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda} f (x_1,\dots,x_n). 

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по  x_k,  получим соотношения

 \lambda \frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_k} = C\left(\lambda\right) \frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}. 

Отсюда

  \frac{1}{f(x_1,\dots,x_n)}\left(x_1\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1}+\dots+x_n\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_n}\right) = \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}. 

Правая часть зависит только от  \lambda,  левая часть зависит только от  x_1,x_2,\dots,x_n  Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через  q.  Из условия  \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}=q  и условия  C\left(1\right)=1  следует, что  C\left(\lambda\right)=\lambda^q.  Следовательно,  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) — однородная функция с параметром однородности q.  Вырожденные случаи C\left(\lambda\right)\equiv 0  и f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\equiv 0  рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие  C\left(1\right)=1,  вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию  C\left(\lambda\right)  за пределами интервала  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]. . Из равенства

 \frac{1}{f}\left(x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}\right) = q 

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) — однородная функция с параметром однородности q.  Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right],  то оно справедливо при всех  \lambda>0. 


2. Пусть

 f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) 

при некоторых фиксированных значениях   C \neq 0,    \lambda \ne 1  и произвольных   x_1, x_2, \dots, x_n.   Какова должна быть функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)? 

Решение. Если   x_1 = 0,   то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

 f\left(0, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(0, x_2, \dots, x_n\right),  

пока не сведётся к случаю  f\left(0, 0, \dots, 0\right)=C f\left(0, 0, \dots, 0\right)  с очевидным ответом f\left(0, 0, \dots, 0\right)=0.  Поэтому далее можно рассматривать только случай   x_1 \neq 0.  

Сделаем замену переменных  x_1=y,   x_2=t_2 \cdot y,   x_3=t_3 \cdot y,   x_n=t_n \cdot y.  Тогда  f(x_1,x_2,\dots,x_n)\to F(y,t_2,\dots,t_n)  и функциональное уравнение принимает вид

 F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(y, t_2, \dots, t_n\right). 

Следует отдельно рассматривать случаи  C>0  и  C<0,   \lambda>0  и  \lambda<0,   y>0  и  y<0.  Пусть  C>0,   \lambda>0  и  y>0.  Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены  \log y \to t ,   \log F(y,\dots) \to \Phi (t,\dots)  получаем условие

 \Phi\left(t+\log\lambda, \dots\right)=\log C + \Phi\left(t, \dots\right), 

откуда следует, что  \Phi\left(t, \dots\right)  имеет вид  \Omega\left(t, \dots\right) + \frac{\log C}{\log \lambda}t,  где  \Omega\left(t, \dots\right) — функция, периодическая по переменной  t  с периодом  \log \lambda.  Обратное очевидно: функция

 f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log x_1, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right), 

где  \Omega\left(t, \dots\right) — функция, периодическая по переменной  t  с периодом  \log \lambda,  удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для  x_1>0. 

Для полуоси  x_1<0  используется замена  \log (-y) \to t  и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если   x_1 > 0   то   f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{+}\left(\log (+x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (+x_1)}{\log \lambda}\right), 
б) если  x_1 < 0  то  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{-}\left(\log (-x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (-x_1)}{\log \lambda}\right), 

или, в сокращённой форме

 f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right), 

где обозначение  \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \dots\right)  подчёркивает, что при  x_1>0  и при  x_1<0 это, вообще говоря, две разные периодические функции  \Omega_{+}\left(t,\dots\right) и  \Omega_{-}\left(t,\dots\right), каждая с областью определения  t\in(-\infty,+\infty) и разными значениями для этой области, но при этом с одинаковым периодом. 

Случай  C<0,   \lambda>0  упрощается тем, что из цепочки соотношений

 F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right) 

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)  может быть записана как

 f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right), 

где  \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) — некоторая функция, периодическая по переменной  t  с периодом  2\log \lambda.  Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что  \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) — не просто периодическая функция с периодом  2\log \lambda,  но анти-периодическая с периодом  \log \lambda: 

 \Omega_{\pm}\left(t+\log\lambda, \dots\right)=-\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) 

(очевидным образом анти-периодичность с периодом  \log \lambda  влечёт за собой периодичность с периодом  2\log \lambda). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией  \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)  удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай  \lambda<0  имеет дополнительную особенность, что полуоси  y<0  и  y>0  влияют друг на друга. Рассмотрим случай y>0.  Тогда из цепочки соотношений

 F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right) 

следует, что при  x_1>0  функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)  должна иметь вид

 f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right), 

где  \Omega\left(t, \dots\right) — функция, периодическая по переменной  t  с периодом  2\log |\lambda|  и областью определения  t\in(-\infty,+\infty).  Поскольку  \lambda<0,  то каждой положительной точке  x_1>0  взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка  \lambda x_1 <0   со значением функции, равным  C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right). . В результате с учётом периодичности функции  \Omega\left(t, \dots\right)  функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)  вычисляется как

а) при  x_1>0:   f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right), 
б) при  x_1<0:   f(x_1,x_2,\dots,x_n)=sign(C) \cdot \Omega\left(\log |x_1| + \log|\lambda|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right) \exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right), 

где  \Omega\left(t, \dots\right) — функция, периодическая по переменной  t  с периодом  2\log |\lambda|.  Как легко проверить, определённая подобным образом функция  f(x_1,x_2,\dots,x_n)  для случая  \lambda<0  действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при  x_1>0,  так и при  x_1<0. 

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых  C_0, \lambda_0,  то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений  \left(C,\lambda\right).  Так, для случая  C_0>0, \lambda_0>0  множеством таких пар будут  \lambda_k=\lambda_{0}^{k/m},    C_k=C_0^{k/m}  при любых ненулевых целочисленных значениях  k=\pm1,\pm2,\dots,  где целое число  m  выбрано так, чтобы величина  |\log\lambda_{0}|/m  была наименьшим положительным периодом для функции  \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right).  Введя обозначение  q=\log C_0/\log \lambda_0  так что  C_0=\lambda_0^q,  получим условие  C_k\equiv\left(\lambda_k\right)^q,   соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена  \exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right)\to x_1^q  приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.


3. Дополнительные функциональные уравнения имеются в разделах «Присоединённые однородные функции» и «Взаимно однородные функции» этой статьи.

Однородные обобщённые функции[править | править вики-текст]

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство  \mathbb{S}  функций  \varphi(x)=\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n),  имеющих производные любого порядка и при  \left|x\right|\to\infty  убывающих быстрее любой степени  \frac{1}{\left|x\right|}.  При этом любой обычной функции f(x),  интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

 T_f \left[\varphi\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)dx,

определённый в пространстве  \varphi\in\mathbb{S}  и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т. д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как  \delta-функция и её производные.


Для обычных интегрируемых функций  f(x_1,\dots,x_n),  являющихся однородными с показателем однородности  q,  справедливо легко проверяемое тождество

 T_f \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_f \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right]. \qquad\qquad\qquad (**)

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности  q  (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве  \varphi\in\mathbb{S}  и удовлетворяющий тождеству (**).


Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция  T_k\left[\varphi\right]  порядка  k  с показателем однородности  q — это линейный непрерывный функционал, для всякого  \lambda>0  удовлетворяющий соотношению

 T_k \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_k \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right] + \lambda^{q+n}\log\lambda \cdot T_{k-1} \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right],

где  T_{k-1}\left[\varphi\right] — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция  (k-1) —го порядка с показателем однородности  q.  Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка  с показателем однородности  q — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности  q. 


Пример. Обобщённая функция  \delta(x_1,x_2,\dots,x_n) — однородная обобщённая функция с показателем однородности  (-n)  поскольку  \delta[\varphi({x_{1}}/\lambda,{x_{2}}/\lambda,\dots,{x_{n}}/\lambda)]=\varphi(0,0,\dots,0)=\delta[\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n)]. 


Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию  T^{+}_{q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx.   Этот функционал определён при  Re(q) > -1   и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности  q.  Величину   T^{+}_{q}   при фиксированном выборе пробной функции   \varphi\left(x\right)  можно рассматривать как функцию комплексного переменного  q  и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

 \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx +  \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}, 

аналитичны по переменной   q   и тождественно равны друг другу при  Re (q) > -1.   Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при  Re (q) > -n.   В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для  Re (q) > -n.   Как результат, равенство

 T^{+}_{q}[\varphi(x)] = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx +  \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}, 

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала   T^{+}_{q}   вплоть до значений  Re (q) > -n.   Формулы для  Re (q) > -n   и для  Re (q) > -m   дают один и тот же результат при одинаковых значениях  q,   при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция   T^{+}_{q},   определённая теперь для всех   q,  , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью  T^{+}_{q}\left[\varphi\right]  определятся регуляризированные значения интеграла  \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx,   имеющие смысл при любых комплексных  q.  Исключениями являются целочисленные значения  q=-1,-2,\dots,-n,\dots,  где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал  T^{+}_{q}\left[\varphi\right]  как функция переменной  q  в точке  q=-n  имеет простой полюс с вычетом  \varphi^{(n-1)}(0)/(n-1)!. 

По той же схеме может быть аналитически продолжена для  Re (q) \le -1   присоединённая однородная функция  T^{+}_{p,q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx.   С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов  \int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx,   имеющие смысл при  Re (q) \le -1.  


Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая   n   переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т. д.


Библиография: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. также[править | править вики-текст]