Однородная функция

Однородная функция степени $q$ — числовая функция $f:\R^n\to\R$ такая, что для любого $\mathbf{v}\in\R^n$ и $\lambda \in\R$ выполняется равенство:

$f(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^q f(\mathbf{v}) \qquad\qquad (*)$

причём $q$ называют порядком однородности.

Различают также

• положительно однородные функции, для которых равенство $(*)$ выполняется только для положительных $\lambda$ ($\lambda > 0$)
• абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
      $f(\lambda \mathbf{v}) = |\lambda|^q f(\mathbf{v})$

Свойства

1. Если функция $f$ является многочленом от $n$ переменных, то она будет однородной функцией степени $q$ в том и только в том случае, когда $f$ — однородный многочлен степени $q$, в частности в этом случае $q$ должно быть целым.
2. Однородная функция в нуле равна нулю, если она там определена:
       $f(\mathbf{0}) = 0 \qquad\qquad$
3. Лемма Эйлера. Однородные функции пропорциональны скалярному произведению своего градиента на вектор своих переменных с коэффициентом равным порядку однородности:
       $\mathbf{v} \cdot \nabla f(\mathbf{v}) = qf(\mathbf{v}).$
   Доказывается дифференцированием равенства (*) по $\lambda$ при $\lambda=1$.

См. также

• Однородное уравнение