Однородная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Однородная функция степени q — числовая функция f:\R^n\to\R такая, что для любого \mathbf{v}\in\R^n и \lambda \in\R выполняется равенство:

 f(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^q f(\mathbf{v})  \qquad\qquad (*)

причём q называют порядком однородности.

Различают также

  • положительно однородные функции, для которых равенство (*) выполняется только для положительных \lambda (\lambda > 0 )
  • абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
         f(\lambda \mathbf{v}) = |\lambda|^q f(\mathbf{v})
  • ограниченно однородные функции, для которых равенство (*) выполняется только для некоторых выделенных значений \lambda
  • комплексные однородные функции f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C} для которых равенство (*) справедливо при \mathbf{v}\in\mathbb{C}^n и \lambda \in\R или \lambda \in\mathbb{C} (а также для комплексных показателей q \in\mathbb{C} )

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Если функция  f  является многочленом от  n  переменных, то она будет однородной функцией степени  q  в том и только в том случае, когда  f — однородный многочлен степени  q.  В частности в этом случае  q  должно быть целым.
  2. Функция   f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1)  , где   h(t_2,t_3,...,t_n)  — функция   (n-1)   переменных, является однородной функцией с порядком однородности   q.   Функция   f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),   где   h(t_2,t_3,...,t_n)  — функция   (n-1)   переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности   q.  
  3. Однородная функция в нуле равна нулю, если она там определена:   f(\mathbf{0}) = 0.  Получается при подстановке в равенство (*) значения  \lambda=0. 
  4. Соотношение Эйлера: для однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:   \mathbf{v} \cdot \nabla f(\mathbf{v}) = qf(\mathbf{v})  или, в эквивалентной записи,   \sum x_k f'_{x_k} = qf.  Получается при дифференцировании равенства (*) по  \lambda  при  \lambda=1. 
  5. Если  f(x_1,x_2,...,x_n) — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  q , то её первые частные производные  f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) — это однородные функции c порядком однородности  q-1.  Для доказательства достаточно продифференцировать по  x_k  правую и левую части тождества  f(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^q f(x_1, x_2, \ldots, x_n)  и получить тождество  f'_{x_k}(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^{q-1} f'_{x_k}(x_1, x_2, \ldots, x_n). 


Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности  q может быть представлена в форме

      f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),  

где   h(t_2,t_3,...,t_n)  — некоторая функция   (n-1)   переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности   q   может быть представлена как

   f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),  

где   h(t_2,t_3,...,t_n)  — некоторая функция   (n-1)   переменных.

Доказательство. Сделаем взаимно-однозначную замену переменных   x_1,x_2,...,x_n \to x_1,t_2,...,t_n,   где   t_k = x_k/x_1,   так что   f(x_1,x_2,...,x_n)  = g(x_1,t_2,...,t_n).   Тогда   g(\lambda x_1,t_2,...,t_n) = \lambda^q g(x_1,t_2,t_3,...,t_n).   «Заморозим»   t_2,...,t_n.   Сделаем замену   y= \log |x_1|,   так что   g(x_1,t_2,t_3,...,t_n)\to G(y,t_2,...,t_n)   и   g(\lambda x_1,t_2,t_3,...,t_n)\to G(y+\log\lambda,t_2,...,t_n).   После логарифмирования получим равенство   \log G(y+\log\lambda,...)=q\log\lambda+\log G(y,...).   Единственным решением функционального уравнения    \forall y,\mu \; \varphi(y+\mu) = \varphi(y)+q\mu   является функция   \varphi(y) = qy+const   (следует из дифференцирования этого функционального уравнения по  \mu   при  \mu=0).  Поскольку в нашем случае   const = const(t_2,...,t_n)=\log h(t_2,...,t_n),   после потенцирования (операция, обратная логарифмированию), получим требуемый результат:   f(x_1,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,...,x_n/x_1).  


Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы функция   f(x_1,x_2,...,x_n)   была однородной функцией с порядком однородности   q,   необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

  \sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).  

Доказательство. Необходимость получается из дифференцирования равенства (*) при   \lambda=1.   Для доказательства достаточности возьмём функцию   \varphi(\lambda) = \lambda^{-q} f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)  при «замороженных»   x_1,x_2,...,x_n.  Продифференцируем её по  \lambda: 

  \varphi'(\lambda) = -q \lambda^{-q-1}f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) + \lambda^{-q}\sum f'_{x_k}(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) x_k. 

В силу условия   \sum (\lambda x_k)\cdot f'_{x_k}(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)  = q f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)   получаем   \varphi'(\lambda) = 0   и   \varphi(\lambda) = c = const.   Константу  c  определяем из условия   \varphi(1) = f(x_1,x_2,...,x_n).   В результате   \lambda^q\varphi(\lambda) = f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) = \lambda^{q} f(x_1,x_2,...,x_n).  


Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности (*) справедливо в некотором интервале значений  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]\sub \left[0,\infty\right),  то оно справедливо для всех  \lambda>0. 

Доказательство. Продифференцируем соотношение (*) по  \lambda  в точке  \lambda=\lambda_0: 

  \sum x_k f'_{x_k}(\lambda_0 x_1, \lambda_0 x_2, ..., \lambda_0 x_n) = q \lambda_0^{q-1} f(x_1, x_2, ..., x_n) =  \frac{q}{\lambda_0} f(\lambda_0 x_1, \lambda_0 x_2, ..., \lambda_0 x_n).  

Это значит, что в точке   y_k=\lambda_0 x_k   выполнено соотношение Эйлера, причём в силу произвольности точки   (x_1, x_2, ..., x_n)   точка   (y_1, y_2, ..., y_n)   тоже произвольна. Повторив приведённое выше доказательство теоремы Эйлера об однородной функции, мы получим, что в точке   (y_1, y_2, ..., y_n)   выполнено соотношение однородности, причём для произвольного  \lambda > 0.  Точку   (x_1, x_2, ..., x_n)   можно выбрать так, чтобы точка   (y_1, y_2, ..., y_n)  совпала с любой наперед заданной точкой пространства. Следовательно, в каждой точке пространства соотношение (*) выполняется при любом  \lambda > 0. 

Лямбда-однородные функции[править | править вики-текст]

Пусть задан вектор   \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n).   Функция n переменных  f(x_1,x_2,...,x_n)  называется \lambda-однородной c порядком однородности  q , если при любых  t>0  и любых   \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\in {\R}^n   справедливо тождество

 f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^qf(x_1,x_2,...,x_n).


При  \lambda_k=1  \lambda-однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  q  вводят степень однородности  m,  определяемую из соотношения

 f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^{m\frac{|\mathbf{\lambda}|}{n}}f(x_1,x_2,...,x_n),

где   |\mathbf{\lambda}|=\sum|\lambda_k|.   Для обычных однородных функций порядок однородности  q  и степень однородности  m  совпадают.


Если частные производные  f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n)  непрерывны в \R^n, то для \lambda-однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  \lambda-однородности в точке  t=1:

 \sum \lambda_x x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция  f(x_1,x_2,...,x_n)  была \lambda-однородной функцией с вектором    (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)   и порядком однородности  q.  Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию   \varphi(t) = t^{-q} f(t^{\lambda_1} x_1,t^{\lambda_2} x_2,...,t^{\lambda_n} x_n)  и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что  \varphi(t) \equiv \varphi(1).


Если  f(x_1,x_2,...,x_n) — \lambda-однородная функция с вектором   \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)  и порядком однородности  q,  то она же является \lambda-однородной функцией с вектором  \mathbf{\lambda} = (\alpha\lambda_1,\alpha\lambda_2,...,\alpha\lambda_n)  и порядком однородности  \alpha q  (следует из подстановки в тождество для \lambda-однородности нового параметра  t'\to t^{\alpha}). В силу этого при рассмотрении \lambda-однородных функций достаточно ограничиваться случаем   \sum|\lambda_k|=const.   В частности, нормировка   \sum|\lambda_k|  может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности  q  был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что   \lambda_k \neq 0.  


При замене переменных   x_k=y_k^{\lambda_k}  \lambda-однородная функция  f(x_1,x_2,...,x_n)  с вектором   \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)  и порядком однородности  q  переходит в обычную однородную функцию  g(y_1,y_2,...,y_n)  с порядком однородности  q.  Отсюда следует, что общее представление для \lambda-однородных функций с вектором   \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)  и порядком однородности  q  имеет вид:

 f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^{q/\lambda_1}\cdot h(x_2^{1/\lambda_2}/x_1^{1/\lambda_1}, x_3^{1/\lambda_3}/x_1^{1/\lambda_1}, \ldots, x_n^{1/\lambda_n}/x_1^{1/\lambda_1}),

где  h(t_2,t_3,...,t_n)  — некоторая функция  (n-1) переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (http://www.sernam.ru/lect_math2.php), раздел 8.8.4.

Оператор Эйлера[править | править вики-текст]

Дифференциальный оператор

x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Аналогичным образом для дифференциального оператора

\lambda_1 x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}

собственными функциями являются \lambda-однородные функции с вектором  (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)   и только они, причём собственным значением является порядок однородности \lambda-однородной функции.

Источник: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler’s theorem on homogeneous functions (PlanetMath.org)

Ограниченно однородные функции[править | править вики-текст]

Функция  f(x_1,x_2,\ldots,x_n): \R^n\to\R  называется ограниченно однородной с показателем однородности  q  относительно множества положительных вещественных чисел  \Lambda  (называемого множеством однородности), если для всех  \vec x\in \R^n  и для всех  \lambda \in \Lambda  справедливо тождество

 f(\lambda \vec x) = \lambda^q f(\vec x).

Множество однородности  \Lambda  всегда содержит в себе единицу. Множество однородности  \Lambda  не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right] — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых  \Lambda \neq \{ 1 \}   и у которых множество однородности  \Lambda  сугубо дискретно.

Пример 1. Функция  f(x)=x^q\sin(\log |x|)  является ограниченно однородной с показателем однородности  q  относительно множества  \Lambda=\{e^{2\pi m}\},  где  m — целые числа.

Пример 2. Функция  f(x,y,z)=(x^2+2y^2+3z^2)^{q/2}\cos(\log \sqrt{x^2-xy+y^2})  является ограниченно однородной с показателем однородности  q  относительно множества  \Lambda=\{e^{2\pi k}\},  где  k — целые числа.

Теорема. Чтобы функция   f(x_1,x_2,...,x_n),  определённая при  x_1>0,  была ограниченно однородной с порядком однородности  q,  необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

  f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log x_1,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1), 

где   H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n) — функция, периодическая по переменной  y  с по крайней мере одним периодом, не зависящим от   t_2,t_3,\ldots,t_n.  В таком случае множество однородности  \Lambda  состоит из чисел  \{e^{Y_k}\},   где  Y_k — периоды функции   H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),  не зависящие от   t_2,t_3,\ldots,t_n. 

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

  x_1,x_2,...,x_n \to x_1,t_2,...,t_n,  где   t_k = x_k/x_1,  

так что   f(x_1,x_2,...,x_n)  = g(x_1,t_2,...,t_n).   Если теперь рассмотреть функцию   h(x_1,t_2,...,t_n)  = g(x_1,t_2,...,t_n)/x_1^q,   то из условия однородности получаем для всех допустимых  x_1  равенство

  h(\lambda x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,t_3,...,t_n),  

которое будет справедливым, когда  \lambda\in\Lambda.  Если только множество  \Lambda  не состоит из одной лишь единицы, то после замены   x_1 = \exp(y)   функция

  H(y,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,...,t_n)  

оказывается периодической по переменной  y  с ненулевым периодом  \log\lambda  для любого выбранного фиксированным образом  \lambda\in\Lambda,  поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

  H(\log x_1 + \log\lambda,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n).  

Очевидно, что выбранное фиксированное значение \log\lambda  будет периодом функции   H(y,t_2,...,t_n)  сразу при всех   t_2,...,t_n.  

Следствия:

  1. Если имеется наименьший положительный период  Y>0,  не зависящий от   t_2,t_3,\ldots,t_n,  то множество однородности  \Lambda  имеет вид  \{e^{mY}\},  где  m=0,\pm1,\pm2,\dots — произвольные целые числа. (Если  Y — наименьший положительный период функции   H(y,...),   то и все  Y_m=mY — её периоды, поэтому числа  \{e^{mY}\}   будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности  \lambda_{*}=e^{Y_{*}},  что  e^{mY} < e^{Y_{*}} < e^{(m+1)Y},   то   Y_{*} - mY   окажется положительным периодом, не зависящим от   t_2,...,t_n,   который будет меньше, чем  Y. )
  2. Если функция   H(y,\ldots)  — это константа по переменной  y,  то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае   H(y,\ldots)   не зависит от переменной  y,  и функция
         f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1) 
    — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности  \Lambda  в этом случае — вся положительная полуось  \lambda>0  (по меньшей мере).
  3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции   H(y,...)   не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности   \Lambda   может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений   t_2,t_3,\ldots,t_n  у периодической функции   H(y,...)   есть предел по переменной   y  хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной  y. 
  4. Ограниченно однородные функции, определённые при  x<0,  имеют вид
         f(x_1,x_2,...,x_n) = (-x_1)^q \cdot H(\log (-x_1),x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1) 
    с надлежащим образом выбранной функцией   H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),  периодической по переменной  y. 
  5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки  x=0,  имеют вид
         f(x_1,x_2,...,x_n) = |x_1|^q \cdot H_{\pm}(\log |x_1|,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1), 
    с надлежащим образом выбранной функцией   H_{\pm}(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),  периодической по переменной  y  (где обозначение   H_{\pm}(\ldots)  подчёркивает, что для интервала значений  x>0  и для интервала значений  x<0  выбираются, вообще говоря, разные периодические функции, но имеющие один и тот же период).
  6. Формула   f(x_1,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log |x_1|,x_2/x_1,\ldots,x_n/x_1),  является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию   H(y,t_2,\dots,t_n\ldots)   как   G\left(w\cdot y+\log W(t_2,\dots,t_n),t_2,\dots,t_n\right),  где период функции   G\left(t,t_2,\dots,t_n\right)  равен   2\pi,  нормировочный множитель   w  не зависит от  t_2,\dots,t_n,  а функция  W(t_2,\dots,t_n)  выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
         f(x_1,...,x_n) = F(\log Q(x_1,\ldots,x_n), x_1,\ldots,x_n), 
    где   F(y, x_1,x_2,\ldots,x_n) — однородная функция с показателем однородности   q   по переменным   x_1,x_2,\ldots,x_n  и периодическая с периодом   2\pi  по переменной   y,     Q(x_1,x_2,\ldots,x_n), — фиксированная однородная функция с показателем однородности   w   по переменным   x_1,x_2,\ldots,x_n,  а множество однородности имеет вид   \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},  где   m=0,\pm1,\pm2,\dots — произвольные целые числа.
  7. Разлагая периодическую функцию   F(y, x_1,\ldots,x_n)  из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
         A_0(x_1,\ldots,x_n)+\sum A_k(x_1,\ldots,x_n)\cos k \log Q(x_1,\ldots,x_n)+B_k(x_1,\ldots,x_n)\sin k \log Q(x_1,\ldots,x_n), 
    где   A_k(x_1,\ldots,x_n)  и   B_k(x_1,\ldots,x_n) — произвольные однородные функции с показателем однородности   q,     Q(x_1,\ldots,x_n) — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности   w,   а множество однородности   \Lambda=\{e^{mY}\},  записано как   \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},  где   m — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности   q   и множеством однородности   \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}.  В частности, замена фиксированной функции   Q(x_1,\ldots,x_n)  на набор произвольных однородных функций   Q_k(x_1,\ldots,x_n)  не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.


Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function (PlanetMath.org).

Присоединённые однородные функции[править | править вики-текст]

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функции[править | править вики-текст]

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями[править | править вики-текст]

1. Пусть

 f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C\left(\lambda\right)f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) 

при некоторой функции  C\left(\lambda\right)  на интервале  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right].  Какова должна быть функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)? 

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по  \lambda.  Получим

  x_1\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_n}  = \frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda} f (x_1,\dots,x_n). 

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по  x_k,  получим соотношения

 \lambda \frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_k} = C\left(\lambda\right) \frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}. 

Отсюда

  \frac{1}{f(x_1,\dots,x_n)}\left(x_1\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1}+\dots+x_n\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_n}\right) = \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}. 

Правая часть зависит только от  \lambda,  левая часть зависит только от  x_1,x_2,\dots,x_n  Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через  q.  Из условия  \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}=q  и условия  C\left(1\right)=1  следует, что  C\left(\lambda\right)=\lambda^q.  Следовательно,  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) — однородная функция с параметром однородности q.  Вырожденные случаи C\left(\lambda\right)\equiv 0  и f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\equiv 0  рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие  C\left(1\right)=1,  вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию  C\left(\lambda\right)  за пределами интервала  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]. . Из равенства

 \frac{1}{f}\left(x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}\right) = q 

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) — однородная функция с параметром однородности q.  Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала  \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right],  то оно справедливо при всех  \lambda>0. 


2. Пусть

 f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) 

при некоторых фиксированных значениях   C \neq 0,    \lambda \ne 1  и произвольных   x_1, x_2, \dots, x_n.   Какова должна быть функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)? 

Решение. Если   x_1 = 0,   то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

 f\left(0, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(0, x_2, \dots, x_n\right),  

пока не сведётся к случаю  f\left(0, 0, \dots, 0\right)=C f\left(0, 0, \dots, 0\right)  с очевидным ответом f\left(0, 0, \dots, 0\right)=0.  Поэтому далее можно рассматривать только случай   x_1 \neq 0.  

Сделаем замену переменных  x_1=y,   x_2=t_2 \cdot y,   x_3=t_3 \cdot y,   x_n=t_n \cdot y.  Тогда  f(x_1,x_2,\dots,x_n)\to F(y,t_2,\dots,t_n)  и функциональное уравнение принимает вид

 F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(y, t_2, \dots, t_n\right). 

Следует отдельно рассматривать случаи  C>0  и  C<0,   \lambda>0  и  \lambda<0,   y>0  и  y<0.  Пусть  C>0,   \lambda>0  и  y>0.  Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены  \log y \to t ,   \log F(y,\dots) \to \Phi (t,\dots)  получаем условие

 \Phi\left(t+\log\lambda, \dots\right)=\log C + \Phi\left(t, \dots\right), 

откуда следует, что  \Phi\left(t, \dots\right)  имеет вид  \Omega\left(t, \dots\right) + \frac{\log C}{\log \lambda}t,  где  \Omega\left(t, \dots\right) — функция, периодическая по переменной  t  с периодом  \log \lambda.  Обратное очевидно: функция

 f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log x_1, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right), 

где  \Omega\left(t, \dots\right) — функция, периодическая по переменной  t  с периодом  \log \lambda,  удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для  x_1>0. 

Для полуоси  x_1<0  используется замена  \log (-y) \to t  и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если   x_1 > 0   то   f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{+}\left(\log (+x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (+x_1)}{\log \lambda}\right), 
б) если  x_1 < 0  то  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{-}\left(\log (-x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (-x_1)}{\log \lambda}\right), 

или, в сокращённой форме

 f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right), 

где обозначение  \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \dots\right)  подчёркивает, что при  x_1>0  и при  x_1<0   \Omega_{\pm}\left(t,\dots\right) — это, вообще говоря, две разные периодические функции с областью определения  t\in(-\infty,+\infty). 

Случай  C<0,   \lambda>0  упрощается тем, что из цепочки соотношений

 F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right) 

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)  может быть записана как

 f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right), 

где  \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) — некоторая функция, периодическая по переменной  t  с периодом  2\log \lambda.  Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что  \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) — не просто периодическая функция с периодом  2\log \lambda,  но анти-периодическая с периодом  \log \lambda: 

 \Omega_{\pm}\left(t+\log\lambda, \dots\right)=-\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) 

(очевидным образом анти-периодичность с периодом  \log \lambda  влечёт за собой периодичность с периодом  2\log \lambda). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией  \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)  удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай  \lambda<0  имеет дополнительную особенность, что полуоси  y<0  и  y>0  влияют друг на друга. Рассмотрим случай y>0.  Тогда из цепочки соотношений

 F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right) 

следует, что при  x_1>0  функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)  должна иметь вид

 f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right), 

где  \Omega\left(t, \dots\right) — функция, периодическая по переменной  t  с периодом  2\log |\lambda|  и областью определения  t\in(-\infty,+\infty).  Поскольку  \lambda<0,  то каждой положительной точке  x_1>0  взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка  \lambda x_1 <0   со значением функции, равным  C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right). . В результате с учётом периодичности функции  \Omega\left(t, \dots\right)  функция  f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)  вычисляется как

а) при  x_1>0:   f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right), 
б) при  x_1<0:   f(x_1,x_2,\dots,x_n)=sign(C) \cdot \Omega\left(\log |x_1| + \log|\lambda|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right) \exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right), 

где  \Omega\left(t, \dots\right) — функция, периодическая по переменной  t  с периодом  2\log |\lambda|.  Как легко проверить, определённая подобным образом функция  f(x_1,x_2,\dots,x_n)  для случая  \lambda<0  действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при  x_1>0,  так и при  x_1<0. 

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых  C_0, \lambda_0,  то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений  \left(C,\lambda\right).  Так, для случая  C_0>0, \lambda_0>0  множеством таких пар будут  \lambda_k=\lambda_{0}^{k/m},    C_k=C_0^{k/m}  при любых ненулевых целочисленных значениях  k=\pm1,\pm2,\dots,  где целое число  m  выбрано так, чтобы величина  |\log\lambda_{0}|/m  была наименьшим положительным периодом для функции  \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right).  Введя обозначение  q=\log C_0/\log \lambda_0  так что  C_0=\lambda_0^q,  получим условие  C_k\equiv\left(\lambda_k\right)^q,   соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена  \exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right)\to x_1^q  приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.

Однородные обобщённые функции[править | править вики-текст]

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство  \mathbb{S}  функций  \varphi(x)=\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n),  имеющих производные любого порядка и при  \left|x\right|\to\infty  убывающих быстрее любой степени  \frac{1}{\left|x\right|}.  При этом любой обычной функции f(x),  интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

 T_f \left[\varphi\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)dx,

определённый в пространстве  \varphi\in\mathbb{S}  и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т. д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как  \delta-функция и её производные.


Для обычных интегрируемых функций  f(x_1,\dots,x_n),  являющихся однородными с показателем однородности  q,  справедливо легко проверяемое тождество

 T_f \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_f \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right]. \qquad\qquad\qquad (**)

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности  q  (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве  \varphi\in\mathbb{S}  и удовлетворяющий тождеству (**).


Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция  T_k\left[\varphi\right]  порядка  k  с показателем однородности  q — это линейный непрерывный функционал, для всякого  \lambda>0  удовлетворяющий соотношению

 T_k \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_k \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right] + \lambda^{q+n}\log\lambda \cdot T_{k-1} \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right],

где  T_{k-1}\left[\varphi\right] — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция  (k-1) —го порядка с показателем однородности  q.  Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка  с показателем однородности  q — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности  q. 


Пример. Обобщённая функция  \delta(x_1,x_2,\dots,x_n) — однородная обобщённая функция с показателем однородности  (-n)  поскольку  \delta[\varphi({x_{1}}/\lambda,{x_{2}}/\lambda,\dots,{x_{n}}/\lambda)]=\varphi(0,0,\dots,0)=\delta[\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n)]. 


Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию  T^{+}_{q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx.   Этот функционал определён при  Re(q) > -1   и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности  q.  Величину   T^{+}_{q}   при фиксированном выборе пробной функции   \varphi\left(x\right)  можно рассматривать как функцию комплексного переменного  q  и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

 \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx +  \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}, 

аналитичны по переменной   q   и тождественно равны друг другу при  Re (q) > -1.   Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при  Re (q) > -n.   В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для  Re (q) > -n.   Как результат, равенство

 T^{+}_{q}[\varphi(x)] = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx +  \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}, 

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала   T^{+}_{q}   вплоть до значений  Re (q) > -n.   Формулы для  Re (q) > -n   и для  Re (q) > -m   дают один и тот же результат при одинаковых значениях  q,   при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция   T^{+}_{q},   определённая теперь для всех   q,  , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью  T^{+}_{q}\left[\varphi\right]  определятся регуляризированные значения интеграла  \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx,   имеющие смысл при любых комплексных  q.  Исключениями являются целочисленные значения  q=-1,-2,\dots,-n,\dots,  где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал  T^{+}_{q}\left[\varphi\right]  как функция переменной  q  в точке  q=-n  имеет простой полюс с вычетом  \varphi^{(n-1)}(0)/(n-1)!. 

По той же схеме может быть аналитически продолжена для  Re (q) \le -1   присоединённая однородная функция  T^{+}_{p,q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx.   С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов  \int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx,   имеющие смысл при  Re (q) \le -1.  


Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая   n   переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т. д.


Библиография: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. также[править | править вики-текст]