Эта статья входит в число добротных статей

Евдокс Книдский

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Евдокс Книдский
др.-греч. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος
Дата рождения:

ок. 408 год до н. э.

Место рождения:

Книд

Дата смерти:

ок. 355 год до н. э.

Место смерти:

Книд

Страна:

Древняя Греция

Научная сфера:

математик, механик, астроном

Известные ученики:

Каллипп, Менехм, Динострат

Евдо́кс Кни́дский (др.-греч. Εὔδοξος, лат. Eudoxus; ок. 408 год до н. э. — ок. 355 год до н. э.) — древнегреческий математик, механик и астроном. Занимался также врачеванием, философией и музыкой; был известен как оратор и законовед.

Неоднократно упоминается у античных авторов. Сочинения самого Евдокса до нас не дошли, но его математические открытия изложены в «Началах» Евклида. Среди его учеников были Каллипп, Менехм и Динострат.

Научная школа Евдокса сыграла большую роль в развитии античной астрономии и математики. Историки науки относят Евдокса к числу основоположников интегрального исчисления и теоретической астрономии[1]. В частности, Евдокс создал теорию геометрических величин (античный аналог вещественных чисел), метод исчерпывания (прообраз анализа криволинейных фигур) и первую теоретическую модель движения небесных тел, переработанный вариант которой был позднее изложен в «Альмагесте» Птолемея.

В честь Евдокса названы кратеры на Луне и на Марсе.

Биография[править | править вики-текст]

О жизни Евдокса известно немного. Родился в Книде, на юго-западе Малой Азии. Учился медицине, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), затем присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии[2].

Около 368 г. до н. э. Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины. Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом. Диоген Лаэртский сообщает некоторые подробности: скончался Евдокс на 53-м году жизни, были у него три дочери и сын по имени Аристагор[3].

Астрономия[править | править вики-текст]

Система из четырёх концентрических сфер, использовавшаяся для моделирования движения планет в теории Евдокса. Цифрами обозначены сферы, отвечавшие за суточное вращение небосвода (1), за движение вдоль эклиптики (2), за попятные движения планеты (3 и 4). T — Земля, пунктирная линия изображает эклиптику (экватор второй сферы)

Евдокса можно считать создателем античной теоретической астрономии как самостоятельной науки. В Кизике им была построена обсерватория, в которой впервые в Элладе велись систематические наблюдения за небом. Школа Евдокса выпустила первый в Греции звёздный каталог[4].

Евдокс первым решил задачу Платона, предложившего астрономам построить кинематическую модель, в которой видимые движения Солнца, Луны и планет получались бы как результат комбинации равномерных круговых движений. Модель Евдокса состояла из 27 взаимосвязанных сфер, вращающихся вокруг Земли (теория гомоцентрических сфер). Согласие этой модели с наблюдениями было для того времени неплохим; исключением было движение Марса, который неравномерно движется по орбите, далёкой от круговой, и её крайне трудно приблизить равномерным вращением сфер.

Теорию Евдокса с математической точки зрения усовершенствовал Каллипп, у которого число сфер возросло до 34. Дальнейшее усовершенствование теории было связано с Аристотелем, который разработал механизм передачи вращения от наружных сфер к внутренним; при этом число сфер возросло до 56. В дальнейшем Гиппарх и Птолемей отказались от теории гомоцентрических сфер в пользу теории эпициклов, которая позволяет более точно смоделировать неравномерность видимого движения небесных тел.

Евдокс считал Землю шарообразным телом, ему приписывается одна из первых оценок длины земного меридиана в 400 000 стадиев[5] или примерно 70 000 км. Евдокс пытался определить сравнительную величину небесных тел. Он знал, что Солнце больше Луны, но ошибочно полагал, что отношение их диаметров равно 9:1[4]. Ему же приписывают определение угла между эклиптикой и небесным экватором, то есть, с современной точки зрения, наклона земной оси к плоскости земной орбиты, равного 24°.[6] Евдоксу приписывают также изобретение горизонтальных солнечных часов.

Математика[править | править вики-текст]

Евдокс получил фундаментальные результаты в различных областях математики. Например, при разработке своей астрономической модели он существенно продвинул сферическую геометрию[4]. Однако особенно большое значение имели созданные им две классические теории.

Общая теория отношений[править | править вики-текст]

Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и их отношениями (дробями, рациональными числами). Однако ещё пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть отношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Стало понятно, что пифагорейская арифметика должна быть каким-то образом расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида (Начала, книга V)[7].

В дополнение к числам Евдокс ввёл более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона.[8] Этот подход снимает проблему несоизмеримости. По существу, теория отношений Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин[9]. Признание иррациональностей как особого вида чисел произошло много позднее, под влиянием индийских и исламских математических школ[7].

В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). Однородность величин сформулирована в виде аксиомы, известной также как аксиома Архимеда: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»[7]. Сам Архимед при изложении этой аксиомы сослался на Евдокса[10].

Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет для них равенство[11]:

Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

В переводе на современный математический язык это означает, что отношения a : b и c : d равны, если для любых натуральных m, n выполняется одно из трёх соотношений:

  • либо ma < nb и mc < nd;
  • либо ma = nb и mc = nd;
  • либо ma > nb и mc > nd.

Фактически описанное свойство означает, что между a : b и c : d нельзя вставить рациональное число.

Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность, упорядоченность и т. д.

Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса a, b; дробь m/n отнесём к классу A, если ma > nb, иначе — к классу B. Тогда классы A и B определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел Q. Осталось отождествить отношение по Евдоксу b: a с этим дедекиндовым числом[12].

Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности, и ниоткуда не следует, что всякое сечение Q определяет вещественное число[12].

Метод исчерпывания[править | править вики-текст]

Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было специального названия.

Вычисление площади круга методом исчерпывания

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи[13].

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур[13][14].

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса)[13].

Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий[13]. В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем — математическим анализом.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Boyer Carl B. A History of Mathematics. — 2nd edition. — John Wiley & Sons< Inc., 1991. — P. 92. — 736 p. — ISBN 978-0471543978.
  2. История математики, том I, 1970, с. 95—96.
  3. Диоген Лаэртский, 1979
  4. 1 2 3 Башмакова И. Г., 1958, с. 306-308
  5. James Oliver Thomson. History of ancient geography. Biblo & Tannen Publishers, Cambridge: Cambridge University Press, 1948, ISBN 0-8196-0143-8, p. 116.
  6. Andrew Gregory. Eudoxus, Callippus and the Astronomy of the Timaeus, p. 23: «We do not know what value for the inclination of the ecliptic was used by Eudoxus and Callippus, though 24°, 1/15 of a circle, is commonly supposed».
  7. 1 2 3 История математики, том I, 1970, с. 96—101.
  8. Именно так определяли общее понятие числа Ньютон и другие математики Нового времени.
  9. Башмакова И. Г., 1958, с. 309-323
  10. Бурбаки, 1963, с. 148.
  11. Euclid, 1948, Том V.
  12. 1 2 История математики, том I, 1970, с. 97—98, 101.
  13. 1 2 3 4 История математики, том I, 1970, с. 101—105.
  14. Бурбаки, 1963, с. 168—169.

Литература[править | править вики-текст]

  • Fowler D. H. Eudoxus: Parapegmata and Proportionality // Ancient and Medieval trends in the exact sciences. — Stanford: CSLI Publications, 2000. — P. 33—48.
  • Goldstein B. R., Bowen A. C. A new view of early Greek astronomy // Isis. — 1983. — № 74 (273). — P. 330—340.
  • Knorr W. R. Plato and Eudoxus on the planetary motions // Journal for the History of Astronomy. — 1990. — № 21. — P. 313—329.
  • Mendell H. Reflections on Eudoxus, Callippus and their Curves: Hippopedes and Callippopedes // Centaurus. — 1998. — № 40. — P. 177—275.
  • Riddel R. C. Eudoxan mathematics and the Eudoxan spheres // Archive for History of Exact Sciences. — 1979. — № 20. — P. 1—19.
  • Wright L. The astronomy of Eudoxus: geometry or physics? // Stud. Hist. and Phil. Sci.. — 1973. — № 4. — P. 165—172.
  • Yavetz I. On the homocentric spheres of Eudoxus // Archive for History of Exact Sciences. — 1998. — № 52. — P. 221—278.
  • Yavetz I. A new role for the hippopede of Eudoxus // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — № 56. — P. 69—93.

Ссылки[править | править вики-текст]