Евдокс Книдский
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Евдокс Книдский (греч. Εύδοξος; ок.408 до н. э. — ок.355 до н. э.) — древнегреческий математик и астроном, родился в Книде, на юго-западе Малой Азии.
О его жизни известно немного. Евдокс учился медицине, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), затем присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии.
Около 368 г. до н.э. Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины. Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом.
Кроме математики и астрономии, Евдокс занимался врачеванием, философией и музыкой; был известен также как оратор и законовед. Неоднократно упоминается у античных авторов; сочинения самого Евдокса до нас не дошли.
В честь Евдокса названы кратеры на Луне и на Марсе.
Содержание |
[править] Астрономия
Евдокса можно считать создателем античной теоретической астрономии как самостоятельной науки. В Кизике им была построена обсерватория, в которой впервые в Элладе велись систематические наблюдения. Школа Евдокса выпустила первый в Греции звёздный каталог.
Евдокс первым решил задачу Платона, предложившего астрономам построить модель, в которой видимые движения Солнца, луны и планет получались бы как результат комбинации равномерных круговых движений. Модель Евдокса состояла из 27 взаимосвязанных сфер, вращающихся вокруг Земли. Согласие этой модели с наблюдениями было для того времени неплохим; исключением было движение Марса, который неравномерно движется по орбите, далёкой от круговой, и её крайне трудно приблизить равномерным вращением сфер. Позже конструкция Евдокса была развита Гиппархом и Птолемеем, которые увеличили число сфер до 34, а для учёта неравномерности движения ввели дополнительные круги - эпициклы.
Евдокс пытался определить сравнительную величину небесных тел. Он знал, что Солнце больше Луны, но ошибочно полагал, что отношение их диаметров равно 9:1. Ему же приписывают первое определение длины земного меридиана. Считал Землю шарообразным телом, принимал угол между эклиптикой и небесным экватором равным 24°. Чтобы исправить неточность тогдашнего календаря (из 365 дней), Евдокс первым предложил каждый четвёртый год считать високосным. Ему приписывают также изобретение горизонтальных солнечных часов.
[править] Математика
[править] Общая теория отношений
Теория отношений Евдокса - это геометрическая модель вещественных чисел.
Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и их отношениями (дробями, рациональными числами). Однако ещё пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть диагональ единичного квадрата не может быть представлена рациональным числом. Стало понятно, что система чисел должна быть расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида (Начала, книга V).
В отличие от пифагорейцев, рассматривавших число как первичную сущность, Евдокс оперировал более широким понятием геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Число при таком подходе есть отношение двух однородных величин - например, исследуемой и единичного эталона. Несоизмеримость тогда не играет роли.
Сначала Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). Актуальная бесконечность в теории Евдокса нигде не фигурирует, а потенциальная сформулирована в виде аксиомы, исторически связанной с именем Архимеда: "Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга".
Далее Евдокс строит новые числа, то есть пропорции ("отношения") между величинами и определяет на этом множестве равенство: отношения a:b и c:d равны, если для любых натуральных m,n выполняется одно из трёх соотношений:
- либо ma < nb и mс < nd;
- либо ma = nb и mс = nd;
- либо ma > nb и mс > nd.
Затем аккуратно выводятся свойства новых чисел: транзитивность, упорядоченность и т.д., а также операция композиции отношений.
Такой подход фактически уравнял в правах рациональные и иррациональные числа. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса a,b; дробь m/n отнесём к классу A, если ma > nb, иначе - к классу B. Тогда классы A и B определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел Q. Осталось отождествить отношение по Евдоксу b:a с этим дедекиндовым числом.
Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности, и ниоткуда не следует, что всякое сечение Q определяет вещественное число.
[править] Метод исчерпывания
Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода тоже не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включает понятие предела.
Метод заключался в следующем: для нахождения величины (геометрического атрибута) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их атрибуты неограниченно приближаются к искомому. Затем вычислялся предел последовательности атрибутов, для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было, все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.
В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел два существенных недостатка. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал.
С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса;).
Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем - математическим анализом.
[править] Ссылки
[править] Литература
- А. Паннекук, «История астрономии», М., Наука, 1966.
- С. В. Житомирский, «Античная астрономия и орфизм», М., Янус-К, 2001.
- И. Л. Гейберг, «Естествознание и математика в классической древности», М,-Л., ОНТИ, 1936.
- А. И. Еремеева, Ф.А. Цицин, «История астрономии», М., Изд-во МГУ, 1989.
- И. Д. Рожанский, «История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи», М., Наука, 1988.
- История математики с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А.П.Юшкевича), том I, М., Наука, 1972.
- "Начала" Евклида
- B. R. Goldstein, A. C. Bowen, A new view of early Greek astronomy, Isis 74 (273) (1983), 330-340.
- H. Mendell, Reflections on Eudoxus, Callippus and their Curves: Hippopedes and Callippopedes, Centaurus, vol. 40, nr. 3-4 (1998), 177-275.
- R.C. Riddel, Eudoxan Mathematics and the Eudoxan Spheres, Arch. Hist. Exact Sci. 20 (1979) 1-19.
- I. Yavetz, On the Homocentric Spheres of Eudoxus, Arch. Hist. Exact Sci. 52 (1998) 221–278.
- I. Yavetz, A New Role for the Hippopede of Eudoxus, Arch. Hist. Exact Sci. 56 (2001) 69–93.
