Полугруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией ( S , *). Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу S, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент e \not\in S и определив es = s = se\ \forall s \in S \cup \{e\}; полученный моноид обычно обозначается как S^1.

Примеры полугрупп[править | править вики-текст]

  • Положительные целые числа с операцией сложения.
  • Любая группа является также и полугруппой.
  • Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
  • Множество всех отображений множества в себя с операцией суперпозиции отображений.
  • Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией умножения бинарных отношений.
  • Множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации (присоединения)

Гомоморфизм полугрупп[править | править вики-текст]

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняещее структуру полугруппы. А именно, отображение f из полугруппы R в полугруппу S называется гомоморфизмом, если \forall a,b \in S\ f(ab) = f(a)f(b). Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм f \colon S \to T.

Структура полугруппы[править | править вики-текст]

Если  A,B \subset S , то принято обозначать  AB=\{ab|a \in A, b \in B\}.

Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из A их произведение также принадлежало A.

Если подмножество A непусто и A * S (соответственно, S * A) лежит в A, то A называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

a^n=\overset{n\ \mathrm {PA}3}{\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}}.

Для степени элемента справедливо соотношение a^{m+n}=a^m\cdot a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb N.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b/a) частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого aa = a).

Отношения Грина[править | править вики-текст]

В 1951 году Джеймс Грин (англ. James Alexander Green) ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе  S определяются следующими формулами:

 aRb\Leftrightarrow aS^1=bS^1
aLb\Leftrightarrow S^1a=S^1b
aJb\Leftrightarrow S^1aS^1=S^1bS^1
 H=L\cap R
D=R\vee L

Из определения непосредственно следует, что R — левая конгруэнция, а L — правая конгруэнция. Также известно, что  D=R\circ L=L\circ R . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы a и b R-эквивалентны, u, v такие, что au=b, bv=a и  p_u,p_v  — соответствующие правые сдвиги, то  p_u,p_v  — взаимно обратные биекции  L_a на  L_b и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4