Полугруппа

В математике полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией $( S , *)$.

Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента (единицы). Однако, следуя общепринятому подходу, мы не будем предполагать непустоту и существование нейтрального элемента, а полугруппу с нейтральным элементом будем называть моноидом. Следует отметить, что любую полугруппу S, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент $e \not\in S$ и определив $es = s = se\ \forall s \in S \cup \{e\}$.

Примеры полугрупп

• Положительные целые числа с операцией сложения.
• Любая группа является также и полугруппой.
• Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
• Множество всех отображений множества в себя с операцией суперпозиции отображений
• Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией умножения бинарных отношений.
• Множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации (присоединения)

Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что $\forall a,\ b \in S\ f(ab) = f(a)f(b)$.

Структура полугруппы

Если $A,B \subset S$, то принято обозначать $AB=\{ab|a \in A, b \in B\}$

Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции и само в свою очередь является полугруппой.

Если подмножество A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение двух идеалов - также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала - положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как

$a^n=\overset{n\ \mathrm {PA}3}{\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}}$.

Для степени элемента справедливо $a^{m+n}=a^m\cdot a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb N$.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b\a) частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого $aa = a$).

Отношения Грина

В 1951 году Грин ввел пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе $S$ определяются следующими формулами

$aRb\Leftrightarrow aS^1=bS^1 \ \ \ \ \ \ \ \ aLb\Leftrightarrow S^1a=S^1b \ \ \ \ \ \ \ \ \ aJb\Leftrightarrow S^1aS^1=S^1bS^1$

$H=L\cap R \ \ \ \ \ \ \ \ \ D=R\vee L$

Уже из определения видно, что R - левая конгруэнция, а L - правая конгруэнция. Также известно, что $D=R\circ L=L\circ R$. Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы a и b R-эквивалентны, u,v такие, что au=b, bv=a и $p_u,p_v$ - соответствующие правые сдвиги, то $p_u,p_v$ - взаимно обратные биекции $L_a$ на $L_b$ и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

См. также

• Алгебраическая система