Функция вероятности

Не следует путать с функцией распределения.

Функции вероятности для биномиальных распределений с разными параметрами

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция, возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина $X$ примет определённое значение. Например, пусть $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ — функция вероятности, тогда вероятность того, что $X$ примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения $X=13$ в функцию $p(X)=p(13)$, которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 — это означает, что вероятность получить число 13 равна 0.5.

Если $X$ — скалярная случайная величина, функция вероятности задаётся таблицей возможных значений с соответствующими вероятностями ($x_{i},\,p_{i}$); такая таблица носит название «ряд распределения».

Функция вероятности — это наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Она играет ту же роль, что и плотность вероятности для непрерывной случайной величины (однако в последней ситуации речь идёт не о вероятности реализации конкретного значения $X$, а о вероятности попадании значения случайной величины в заданный интервал, которая находится интегрированием плотности вероятности по этому интервалу).

Определения

Функция произвольной вероятности

Пусть $\mathbb {P}$ является вероятностной мерой на $\mathbb {R} ^{n}$, то есть определено вероятностное пространство $\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\mathbb {P} \right)$, где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ обозначает борелевскую σ-алгебру на $\mathbb {R} ^{n}$. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель $\mathbb {P}$ не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ такое, что $\mathbb {P} (X)=1$.

Функция $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$, определённая следующим образом:

$p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus X,\end{matrix}}\right.$

где $\mathbb {P}$ — дискретная вероятностная мера, называется функцией вероятности $\mathbb {P}$. Здесь важно понимать, что $\mathbb {P}$ - это функция, определённая на множествах, а не на числах, в то время как $p(x)$, будучи определённой через $\mathbb {P}$, уже является функцией определённой над числами.

Функция вероятности дискретной случайной величины

Пусть $X:\Omega \to \mathbb {R}$ ($X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$) — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует (наводит) вероятностную меру $\mathbb {P} ^{X}$ на $\mathbb {R}$ (на $\mathbb {R} ^{n}$), называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности $p_{X}$ дискретной случайной величины $X$ имеет вид:

$p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)$,

или

$p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} ,$

где $\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}$ — множество значений, которые принимает $X$.

Свойства функции вероятности

Из свойств вероятности очевидно^[кому?] следует:

• $p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$.
• $\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$.
• Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:

$F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')$.

• Если $X=(X_{1},X_{2})$, то

$\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1})$,

$\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2})$,

где $p_{X_{1},X_{2}}$ — функция вероятности вектора $(X_{1},X_{2})$, а $p_{X_{i}}$ — функция вероятности величины $X_{i},\;i=1,2$. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности $n>2$.

• Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:

$\mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})\,p_{i}$,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений

• Распределение Бернулли;
• Биномиальное распределение;
• Геометрическое распределение;
• Гипергеометрическое распределение;
• Логарифмическое распределение;
• Отрицательное биномиальное распределение;
• Распределение Пуассона;
• Дискретное равномерное распределение;
• Мультиномиальное распределение.

См. также

• Плотность вероятности