Отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm{NB}(r,p)\!$
Параметры	$r > 0\!$ $p \in (0;1)\!$ $q\equiv 1-p\,$
Носитель	$k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$
Функция вероятности	$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,q^k \!$
Функция распределения	$I_p(r,k+1)\!$
Математическое ожидание	$\frac{rq}{p}$
Медиана
Мода	$\left\lfloor\frac{(r-1)q}{p}\right\rfloor$ если $\ r>1 \$ $0\!$ если $r\leq1$
Дисперсия	$\frac{rq}{p^2}\!$
Коэффициент асимметрии	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,q}}\!$
Коэффициент эксцесса	$\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,q}\!$
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$\left(\frac{p}{1-q e^t}\right)^r \!$
Характеристическая функция	$\left(\frac{p}{1-q e^{i\,t}}\right)^r \!$

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины равной количеству произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p\!$, проводимой до $r\!$-го успеха.

Определение

Пусть $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$ — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i\in \N.$

Построим случайную величину $Y\!$ следующим образом. Пусть $k+r\!$ — номер $r\!$-го успеха в этой последовательности. Тогда $Y = k\!$. Более строго, положим $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$. Тогда

$Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r$.

Распределение случайной величины $Y\!$, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: $Y \sim \mathrm{NB}(r,p)\!$.

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины $Y\!$ имеет вид:

$\mathbb{P}(Y = k) = \binom{k+r-1}{k}\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots$.

Функция распределения $Y\!$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

$F_Y(k) = I_p( r, k+1 )\!$.

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r$,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = \frac{rq}{p}$

$\mathrm{D}[Y] = \frac{rq}{p^2}$

Свойства

Пусть $Y_i \sim NB(r_i,p)\!$, тогда $\sum_i Y_i \sim NB\left(\sum_i r_i,p\right)\!$

Ссылки

• Онлайн калькулятор - Отрицательное биномиальное распределение