Отрицательное биномиальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Отрицательное биномиальное распределение
Функция вероятности
Negbinomial.gif
Функция распределения
Обозначение \mathrm{NB}(r,p)\!
Параметры r > 0\!
p \in (0;1)\!
q\equiv 1-p\,
Носитель k \in \{0,1,2,\ldots\}\!
Функция вероятности \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,q^k \!
Функция распределения I_p(r,k+1)\!
Математическое ожидание \frac{rq}{p}
Медиана
Мода \left\lfloor\frac{(r-1)q}{p}\right\rfloor если  \ r>1 \
0\! если r\leq1
Дисперсия \frac{rq}{p^2}\!
Коэффициент асимметрии \frac{2-p}{\sqrt{r\,q}}\!
Коэффициент эксцесса \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,q}\!
Информационная энтропия
Производящая функция моментов \left(\frac{p}{1-q e^t}\right)^r \!
Характеристическая функция \left(\frac{p}{1-q e^{i\,t}}\right)^r \!


Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины равной количеству произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха p\!, проводимой до r\!-го успеха.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть \{X_i\}_{i=1}^{\infty} — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & q \equiv 1-p
\end{matrix} \right.,\; i\in \N.

Построим случайную величину Y\! следующим образом. Пусть k+r\! — номер r\!-го успеха в этой последовательности. Тогда Y = k\!. Более строго, положим S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда

Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r.

Распределение случайной величины Y\!, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: Y \sim \mathrm{NB}(r,p)\!.

Функции вероятности и распределения[править | править вики-текст]

Функция вероятности случайной величины Y\! имеет вид:

\mathbb{P}(Y = k) = \binom{k+r-1}{k}\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots.

Функция распределения Y\! кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

F_Y(k) = I_p( r, k+1 )\!.

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r,

откуда

\mathbb{E}[Y] = \frac{rq}{p}
\mathrm{D}[Y] = \frac{rq}{p^2}

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть  Y_i \sim NB(r_i,p)\!, тогда  \sum_i Y_i \sim NB\left(\sum_i r_i,p\right)\!


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула