Тригонометрические тождества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Тригонометрические формулы»)
Перейти к: навигация, поиск

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).

Основные тригонометрические формулы[править | править вики-текст]

Формула Допустимые значения аргумента
1.1 \operatorname{sin}^2 \alpha + \operatorname{cos}^2 \alpha = 1 \forall \alpha
1.2  \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha  \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z
1.3  \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha  \alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z
1.4 ~ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1  \alpha \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb Z
  • Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
  • Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на ~ \cos^2 \alpha и ~ \sin^2 \alpha соответственно.
  • Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов[править | править вики-текст]

Формулы сложения аргументов
2.1  \sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
2.2  \cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta
2.3  \operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta}
2.4  \operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha}

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Формулы двойного угла[править | править вики-текст]

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)(2.4) , если принять, что угол β равен углу α:

Формулы двойного угла
3.1  \operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha}
3.2  \operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha}
 \operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha}
3.3  \operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}
3.4  \operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}

Формулы тройного угла[править | править вики-текст]

Формулы тройного угла
4.1 \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha \,
4.2 \cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha \,
4.3 \operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}
4.4 \operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}

Формулы понижения степени[править | править вики-текст]

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

Синус Косинус
5.1 \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} 5.5 \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}
5.2 \sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4} 5.6 \cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}
5.3 \sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8} 5.7 \cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}
5.4 \sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16} 5.8 \cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16}
Произведение
5.9 \sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}
5.10 \sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}
5.11 \sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}
5.12 \sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}

Формулы преобразования произведений функций[править | править вики-текст]

Формулы преобразования произведений функций
6.1  \sin  \alpha  \sin  \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) -  \cos ( \alpha + \beta)}{2}
6.2  \sin  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta) }{2}
6.3  \cos  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) +  \cos ( \alpha + \beta)}{2}

Формулы преобразования суммы функций[править | править вики-текст]

Формулы преобразования суммы функций
7.1  \sin  \alpha \pm  \sin  \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}
7.2  \cos  \alpha + \cos  \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}
7.3  \cos  \alpha - \cos  \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}
7.4  \operatorname{tg}  \alpha \pm \operatorname{tg}  \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos  \alpha \cos  \beta}
7.5  \operatorname{ctg}  \alpha \pm \operatorname{ctg}  \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin  \alpha \sin  \beta}

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при : \alpha\ + \beta\ + \gamma\ = 180^\circ  :

 \sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin\alpha\ \sin\beta\ \sin\gamma (7.6)

Решение простых тригонометрических уравнений[править | править вики-текст]

  •  \sin x = a.
Если |a|>1 — вещественных решений нет.
Если |a| \leqslant 1 — решением является число вида x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.
  •  \cos x = a.
Если |a|>1 — вещественных решений нет.
Если |a| \leqslant 1 — решением является число вида x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z.
  •  \operatorname{tg}\, x = a.
Решением является число вида x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.
  •  \operatorname{ctg}\, x = a.
Решением является число вида x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.

Универсальная тригонометрическая подстановка[править | править вики-текст]

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при \alpha\neq \pi +2 \pi n).

 \sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}  \cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}
 \operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}  \operatorname{ctg}\, \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}}
 \sec\alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}  \operatorname{cosec}\, \alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} {2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}}

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)[править | править вики-текст]

 a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x + \phi), где a,b \in \mathbf{R}, a и b не равны нулю одновременно. \phi - это некоторый угол, который называется вспомогательным аргументом. Угол \phi может быть найден из системы уравнений:  \left\{ \begin{matrix} \sin \phi= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\  \cos \phi= \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{matrix} \right.

Полезные тождества[править | править вики-текст]

\sin \left (\frac {\pi}{4}+x \right )=\cos \left (\frac {\pi}{4}-x \right )

\sin \left (\frac {\pi}{4}-x \right )=\cos \left (\frac {\pi}{4}+x \right )

 1\pm \sin x = 2 \sin^2 \left (\frac {\pi}{4} \pm \frac x2  \right ).

 1+\cos x = 2 \cos^2 \left ( \frac x2 \right ).

 1-\cos x = 2 \sin^2 \left ( \frac x2 \right ).

 \sin^2 x = \frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2 x}.

 \cos^2 x = \frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 x}.

1\pm \operatorname{tg} x =\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\cos x }.

1\pm \operatorname{ctg} x =\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\sin x }.

\operatorname{tg} x =\frac{\sin 2x }{\cos 2x +1}=\frac{1- \cos 2x }{\sin 2x}.

 \sin 3x = 4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3}+x\right) \cdot \sin \left (\frac{\pi}{3}-x\right )

\operatorname{tg} 3x =\operatorname{tg} x  \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{3}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{3}-x\right ).

\sin 5x =16 \sin x  \cdot \sin \left (\frac{\pi}{5}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{\pi}{5}-x\right ) \cdot \sin \left (\frac{2\pi}{5}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{2\pi}{5}-x\right ).

\operatorname{tg} 5x =\operatorname{tg} x  \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}-x\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}-x\right ).

\sin 7x =64 \sin x  \cdot \sin\left (\frac{\pi}{7}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{\pi}{7}-x\right ) \cdot \sin \left (\frac{2\pi}{7}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{2\pi}{7}-x\right ) \cdot \sin \left (\frac{3\pi}{7}+x\right )\cdot \sin \left (\frac{3\pi}{7}-x\right ).

\operatorname{tg} 7x =\operatorname{tg} x  \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}-x\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}-x\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}-x\right ).

 \sin nx = 2^{n-1} \prod \limits_{k=0}^{n-1} \sin \left (x+\frac{\pi k}{n}\right ).

 \operatorname{tg}\big[ (2n+1)x \big] = (-1)^n \prod \limits_{k=0}^{2n} \operatorname{tg} \left (x+\frac{\pi k}{2n+1}\right ).

 \sum \limits_{k=1}^{n} \sin \big [ (2k-1)x \big ] = \frac{\sin^2 nx}{\sin x }.

 \sum \limits_{k=1}^{n} \cos \big [ (2k-1)x \big ] = \frac{\sin 2nx}{2 \sin x}.

\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (2^k x \right )=\frac{\sin \left ( 2^{n+1} x \right )}{2^{n+1} \sin x }.

\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin 2x }{2^{n+1} \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}.

\prod \limits _{k=1}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x }{2^{n} \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}.

\prod \limits _{k=0}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin 2x }{2x}.

\prod \limits _{k=1}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x }{x}.

\cos(20^o) \cdot \cos(40^o) \cdot \cos(80^o)=\frac 18

\cos \left (\frac{\pi}{7} \right ) \cdot \cos \left (\frac{4\pi}{7}\right ) \cdot \cos \left (\frac{5\pi}{7}\right )=\frac 18

\cos \left (\frac{\pi}{7} \right ) \cdot \cos \left (\frac{2\pi}{7}\right ) \cdot \cos \left (\frac{4\pi}{7}\right )=-\frac 18

\cos \left (\frac{\pi}{9}\right ) \cdot \cos \left (\frac{2\pi}{9}\right ) \cdot \cos \left (\frac{4\pi}{9}\right )=\frac 18

\cos \left (\frac{\pi}{9}\right ) \cdot \cos \left (\frac{5\pi}{9}\right ) \cdot \cos \left (\frac{7\pi}{9}\right )=\frac 18

\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.


\begin{align}
& \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)   
  + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt]
& {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.
\end{align}

Если угол \alpha ^o задан в градусах, то

\operatorname{tg}(\alpha ^o)=\frac{360\cdot \alpha ^o}{\pi} \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(180k-90+\alpha ^o)(180k-90-\alpha ^o)}

\operatorname{arctg}\left (\frac 12 \right )+\operatorname{arctg}\left (\frac 13 \right )=\frac{\pi}{4}

Представление тригонометрических функций в комплексной форме[править | править вики-текст]

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

~e^{ix}=\cos x+i\sin x,

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции \sin x и \cos x следующим образом :

\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}, \qquad \qquad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Отсюда следует, что

\operatorname{tg}\, x = \frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}},  \qquad \qquad \operatorname{ctg}\, x = \frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}},
 \sec x = \frac{2}{e^{ix}+e^{-ix}}, \qquad \qquad \operatorname{cosec}\, x=\frac{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}.

См. также[править | править вики-текст]