Обобщённая тригонометрия

Обобщённая тригонометрия — совокупность различных обобщений определений и результатов классической тригонометрии.

Обычная тригонометрия изучает треугольники в евклидовой плоскости $\mathbb {R} ^{2}$. Существует несколько способов определения обычных тригонометрических функций евклидовой геометрии в вещественных числах: через прямоугольный треугольник, единичную окружность, ряды, дифференциальные и функциональные уравнения. Разработка обобщений тригонометрических функций часто заключается в адаптации одного из вышеперечисленных методов к ситуации, в которой не используются вещественные числа евклидовой геометрии. В общем случае тригонометрию можно рассматривать как изучение троек точек в любой геометрии и любом пространстве. Треугольник — это многоугольник с наименьшим числом вершин, поэтому одним из направлений для обобщения является изучение многомерных аналогов углов и многоугольников: телесный угол и многогранники, такие как тетраэдры и $n$-симплексы.

Тригонометрия

• В сферической тригонометрии изучаются треугольники на поверхности сферы. Тождества для сферических треугольников записываются в терминах обычных тригонометрических функций, но отличаются от тождеств для плоских треугольников.
• Гиперболическая тригонометрия:
  1. Исследование гиперболических треугольников в гиперболической геометрии с помощью гиперболических функций.
  2. Использование гиперболических функций в евклидовой геометрии — единичный круг параметризуется точкой $(\cos t,\sin t)$, тогда как равносторонняя гипербола параметризуется точкой $({\mbox{ch}}\,t,{\mbox{sh}}\,t)$.
  3. Гиротригонометрия — форма тригонометрии, используемая в гировекторном подходе к гиперболической геометрии, имеющая приложения в специальной теории относительности и квантовых вычислениях.
• Рациональная тригонометрия — теория канадского математика Н. Дж. Уайлдбергера, основной идеей которой является замена понятия длины на «квадрант» (квадрат евклидова расстояния) и понятия угла на «разброс» (квадрат синуса соответствующего угла).
• Тригонометрия для геометрии городских кварталов.
• Тригонометрия пространства-времени.
• Нечёткая качественная тригонометрия.
• Операторная тригонометрия.
• Решёточная тригонометрия.
• Тригонометрия на симметричных пространствах.

Более высокие размерности

• Полярный синус.
• Тригонометрия тетраэдра:
  • Теорема синусов для тетраэдров.
• Симплексы с «ортогональным углом» — теоремы Пифагора для $n$-симплексов:
  • Теорема де Гуа — теорема Пифагора для тетраэдра с кубическим углом.

Тригонометрические функции

• Тригонометрические функции могут быть определены для дробно-дифференциальных уравнений.
• В исчислении шкалы времени дифференциальные и разностные уравнения объединены в динамические уравнения на шкале времени, которые также включают q-разностные уравнения. Тригонометрические функции могут быть определены в произвольной шкале времени (подмножество вещественных чисел).
• Определения синуса и косинуса через ряды позволяют определить эти функции на любой алгебре, где эти ряды сходятся, например над комплексными числами, p-адическими числами, матрицами и различными банаховыми алгебрами.

Другое

• Полярные/Тригонометрические формы гиперкомплексных чисел
• Полигонометрия — тригонометрические тождества для нескольких различных углов.

См. также

• Теорема Пифагора в неевклидовой геометрии