Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 1 октября 2021 года; проверки требует 1 правка.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 1 октября 2021 года; проверки требует 1 правка.
Пусть , — две функции пространства . Определим их скалярное произведение
Условие ортогональности
где — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при или нулю в противном случае.
Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида , попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных :
и при всех целых неотрицательных ,
.
Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве . Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида , то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).
Числа , и () называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для
Ряд (1) сходится к функции в пространстве . Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением
.
Мы также рассматриваем систему функций
.
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:
,
где ряд в правой части сходится к по норме в . Здесь
.
Коэффициенты : связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:
Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения и не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.