Синусы и косинусы основных углов на тригонометрической окружности .В данной статье приведены точные алгебраические выражения для некоторых тригонометрических чисел . Такие выражения могут потребоваться, например, для приведения результатов выражений с тригонометрическими функциями в радикальную форму, что даёт возможность для дальнейшего упрощения.
Любое тригонометрическое число алгебраично . Некоторые тригонометрические числа могут быть выражены в комплексных радикалах , однако не всегда в действительных: в частности, среди значений тригонометрических функций в углах, выражающихся целым числом градусов , в действительных радикалах могут быть выражены только значения в тех из них, количество градусов в которых кратно трём. Но по теореме Абеля бывают и те, которые неразрешимы в радикалах.
По теореме Нивена [en] синуса с рациональным в градусах аргументом значение либо иррационально , либо равно одному из чисел среди
0
{\displaystyle 0}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
{\displaystyle 1}
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
−
1
{\displaystyle -1}
По теореме Бейкера [en] синус , косинус или тангенс в данной точке дают алгебраическое число , то их аргумент в градусах либо рационален , либо трансцендентен . Иначе говоря, если аргумент в градусах алгебраичен и иррационален , то значения всех тригонометрических функций от этого аргумента будут трансцендентны .
Содержание
1 Критерии включения 2 Таблица некоторых часто встречающихся углов 3 Дальнейшие углы
3.1 0° = 0 (rad) 3.2 1,5°=(1/120)π (rad) 3.3 1,875°=(1/96)π (rad) 3.4 2,25°=(1/80)π (rad) 3.5 2,8125°=(1/64)π (rad) 3.6 3°=(1/60)π (rad) 3.7 3,75°=(1/48)π (rad) 3.8 4,5°=(1/40)π (rad) 3.9 5,625°=(1/32)π (rad) 3.10 6°=(1/30)π (rad) 3.11 7,5°=(1/24)π (rad) 3.12 9°=(1/20)π (rad) 3.13 11,25°=(1/16)π (rad) 3.14 12°=(1/15)π (rad) 3.15 15°=(1/12)π (rad) 3.16 18°=(1/10)π (rad)[1] 3.17 21°=(7/60)π (rad) 3.18 22,5°=(1/8)π (rad) 3.19 24°=(2/15)π (rad) 3.20 27°=(3/20)π (rad) 3.21 30°=(1/6)π (rad) 3.22 33°=(11/60)π (rad) 3.23 36°=(1/5)π (rad) 3.24 39°=(13/60)π (rad) 3.25 42°=(7/30)π (rad) 3.26 45°=(1/4)π (rad) 3.27 54°=(3/10)π (rad) 3.28 60°=(1/3)π (rad) 3.29 67,5°=(3/8)π (rad) 3.30 72°=(2/5)π (rad) 3.31 75°=(5/12)π (rad) 3.32 90°=(1/2)π (rad)
4 Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2π/n 5 Прочее 6 Подсчитанные значения синуса и косинуса 7 Способы упрощения выражений 8 См. также 9 Примечания 10 Ссылки
Значения для тригонометрических функций от аргумента, соизмеримого с
π
{\displaystyle \pi }
выразимы в действительных радикалах , только если знаменатель сокращённой рациональной дроби, полученной делением его на
π
{\displaystyle \pi }
чисел Ферма (см. теорема Гаусса — Ванцеля ). Данная страница посвящена преимущественно углам, выражающимся в действительных радикалах.
При помощи формулы половинного угла можно получать алгебраические выражения для значений тригонометрических функций в любом угле, для которого они уже найдены, делённом пополам. В частности, для углов, лежащих на промежутке от
0
{\displaystyle 0}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
sin
α
2
=
1
−
cos
α
2
{\displaystyle \sin {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}}
cos
α
2
=
1
+
cos
α
2
{\displaystyle \cos {\alpha \over 2}={\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}}
tg
α
2
=
1
−
cos
α
1
+
cos
α
{\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}}
Выражения ниже позволяют также получать выражения в комплексных радикалах значений тригонометрических функций в тех углах, в которых они не выражаются в действительных. К примеру, при наличии формулы для угла
θ
{\displaystyle \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
/ 3 уравнения третьей степени :
4
cos
3
θ
3
−
3
cos
θ
3
=
cos
θ
,
{\displaystyle 4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=\cos \theta ,}
Однако в его решении в общем виде могут возникнуть комплексные невещественные числа (этот случай называется casus irreducibilis ).
Таблица некоторых часто встречающихся углов [ править | править код ] Встречаются различные единицы измерения углов , например, градусы , радианы , обороты , грады (гоны) .
1
полный оборот
=
360
∘
=
2
π
(
r
a
d
)
=
400
(
g
o
n
)
.
{\displaystyle 1\,{\text{полный оборот}}=360^{\circ }=2\pi (\mathrm {rad} )=400(\mathrm {gon} ).}
Эта таблица показывает переводы из одних мер в другие и значения тригонометрических функций от наиболее часто встречающихся углов:
Обороты
Градусы
Радианы
Грады (гоны)
Синус
Косинус
Тангенс
0
0°
0
0
0
1
0
1 / 12 30°
π
{\displaystyle \pi }
/ 6 33+ 1 / 3
1 / 2 √ 3 / 2 √ 3 / 3
1 / 8 45°
π
{\displaystyle \pi }
/ 4 50
√ 2 / 2 √ 2 / 2 1
1 / 6 60°
π
{\displaystyle \pi }
/ 3 66+ 2 / 3
√ 3 / 2 1 / 2 √ 3
1 / 4 90°
π
{\displaystyle \pi }
/ 2 100
1
0
1 / 3 120°
2
π
{\displaystyle \pi }
/ 3 133+ 1 / 3
√ 3 / 2 −1 / 2
−√ 3
3 / 8 135°
3
π
{\displaystyle \pi }
/ 4 150
√ 2 / 2 −√ 2 / 2
−1
5 / 12 150°
5
π
{\displaystyle \pi }
/ 6 166+ 2 / 3
1 / 2 −√ 3 / 2
−√ 3 / 3
1 / 2 180°
π
{\displaystyle \pi }
200
0
−1
0
7 / 12 210°
7
π
{\displaystyle \pi }
/ 6 233+ 1 / 3
−1 / 2
−√ 3 / 2
√ 3 / 3
5 / 8 225°
5
π
{\displaystyle \pi }
/ 4 250
−√ 2 / 2
−√ 2 / 2
1
2 / 3 240°
4
π
{\displaystyle \pi }
/ 3 266+ 2 / 3
−√ 3 / 2
−1 / 2
√ 3
3 / 4 270°
3
π
{\displaystyle \pi }
/ 2 300
−1
0
5 / 6 300°
5
π
{\displaystyle \pi }
/ 3 333+ 1 / 3
−√ 3 / 2
1 / 2 −√ 3
7 / 8 315°
7
π
{\displaystyle \pi }
/ 4 350
−√ 2 / 2
√ 2 / 2 −1
11 / 12 330°
11
π
{\displaystyle \pi }
/ 6 366+ 2 / 3
−1 / 2
√ 3 / 2 −√ 3 / 3
1
360°
2
π
{\displaystyle \pi }
400
0
1
0
Exact trigonometric table for multiples of 3 degrees. Значения тригонометрических функций в углах, не находящихся в промежутке от
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
формул приведения . Все углы записаны в градусах и радианах , при этом число, обратное множителю, стоящему перед
π
{\displaystyle \pi }
символа Шлефли правильного (возможно, звёздчатого) многоугольника с внешним углом, равным данному.
sin
0
=
0
{\displaystyle \sin 0=0\,}
cos
0
=
1
{\displaystyle \cos 0=1\,}
tg
0
=
0
{\displaystyle \operatorname {tg} 0=0\,}
ctg
0
=
∞
{\displaystyle \operatorname {ctg} 0=\infty \,}
sin
(
π
120
)
=
sin
(
1.5
∘
)
=
(
2
+
2
)
(
15
+
3
−
10
−
2
5
)
−
(
2
−
2
)
(
30
−
6
5
+
5
+
1
)
16
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}{16}}}
cos
(
π
120
)
=
cos
(
1.5
∘
)
=
(
2
+
2
)
(
30
−
6
5
+
5
+
1
)
+
(
2
−
2
)
(
15
+
3
−
10
−
2
5
)
16
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}}
sin
(
π
96
)
=
sin
(
1.875
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
2
+
3
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}
cos
(
π
96
)
=
cos
(
1.875
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
2
+
3
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}
sin
(
π
80
)
=
sin
(
2.25
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}}
cos
(
π
80
)
=
cos
(
2.25
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}}
sin
(
π
64
)
=
sin
(
2.8125
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
2
+
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}
cos
(
π
64
)
=
cos
(
2.8125
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
2
+
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}
sin
(
π
60
)
=
sin
(
3
∘
)
=
2
(
1
−
3
)
5
+
5
+
(
10
−
2
)
(
3
+
1
)
16
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)}{16}}\,}
cos
(
π
60
)
=
cos
(
3
∘
)
=
2
(
1
+
3
)
5
+
5
+
(
10
−
2
)
(
3
−
1
)
16
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,}
tg
(
π
60
)
=
tg
(
3
∘
)
=
[
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
−
2
]
[
2
−
10
−
2
5
]
4
{\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}
ctg
(
π
60
)
=
ctg
(
3
∘
)
=
[
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
−
2
]
[
2
+
10
−
2
5
]
4
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}
sin
(
π
48
)
=
sin
(
3.75
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
3
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}
cos
(
π
48
)
=
cos
(
3.75
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
3
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}
sin
(
π
40
)
=
sin
(
4.5
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}
cos
(
π
40
)
=
cos
(
4.5
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}
sin
(
π
32
)
=
sin
(
5.625
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}
cos
(
π
32
)
=
cos
(
5.625
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}
sin
π
30
=
sin
6
∘
=
30
−
180
−
5
−
1
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,}
cos
π
30
=
cos
6
∘
=
10
−
20
+
3
+
15
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{8}}\,}
tg
π
30
=
tg
6
∘
=
10
−
20
+
3
−
15
2
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,}
ctg
π
30
=
ctg
6
∘
=
27
+
15
+
50
+
2420
2
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {27}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,}
sin
(
π
24
)
=
sin
(
7.5
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
3
=
1
4
8
−
2
6
−
2
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\sqrt {2}}}}}
cos
(
π
24
)
=
cos
(
7.5
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
3
=
1
4
8
+
2
6
+
2
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}}
tg
(
π
24
)
=
tg
(
7.5
∘
)
=
6
−
3
+
2
−
2
=
(
2
−
1
)
(
3
−
2
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {tg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)}
ctg
(
π
24
)
=
ctg
(
7.5
∘
)
=
6
+
3
+
2
+
2
=
(
2
+
1
)
(
3
+
2
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {ctg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)}
sin
π
20
=
sin
9
∘
=
1
2
2
−
5
+
5
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}
cos
π
20
=
cos
9
∘
=
1
2
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}
tg
π
20
=
tg
9
∘
=
5
+
1
−
5
+
2
5
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
ctg
π
20
=
ctg
9
∘
=
5
+
1
+
5
+
2
5
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
sin
π
16
=
sin
11.25
∘
=
1
2
2
−
2
+
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}
cos
π
16
=
cos
11.25
∘
=
1
2
2
+
2
+
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}
tg
π
16
=
tg
11.25
∘
=
4
+
2
2
−
2
−
1
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {tg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1}
ctg
π
16
=
ctg
11.25
∘
=
4
+
2
2
+
2
+
1
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {ctg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2}}+1}
sin
π
15
=
sin
12
∘
=
1
8
[
2
(
5
+
5
)
+
3
−
15
]
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}
cos
π
15
=
cos
12
∘
=
1
8
[
6
(
5
+
5
)
+
5
−
1
]
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}
tg
π
15
=
tg
12
∘
=
1
2
[
3
3
−
15
−
2
(
25
−
11
5
)
]
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
ctg
π
15
=
ctg
12
∘
=
1
2
[
15
+
3
+
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
sin
π
12
=
sin
15
∘
=
1
4
(
6
−
2
)
=
1
2
2
−
3
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}
cos
π
12
=
cos
15
∘
=
1
4
(
6
+
2
)
=
1
2
2
+
3
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}
tg
π
12
=
tg
15
∘
=
2
−
3
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {tg} 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}
ctg
π
12
=
ctg
15
∘
=
2
+
3
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}
sin
π
10
=
sin
18
∘
=
1
4
(
5
−
1
)
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,}
cos
π
10
=
cos
18
∘
=
1
4
2
(
5
+
5
)
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,}
tg
π
10
=
tg
18
∘
=
1
5
5
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {tg} 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,}
ctg
π
10
=
ctg
18
∘
=
5
+
2
5
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
sin
7
π
60
=
sin
21
∘
=
1
16
(
2
(
3
+
1
)
5
−
5
−
(
6
−
2
)
(
1
+
5
)
)
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,}
cos
7
π
60
=
cos
21
∘
=
1
16
(
2
(
3
−
1
)
5
−
5
+
(
6
+
2
)
(
1
+
5
)
)
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,}
tg
7
π
60
=
tg
21
∘
=
1
4
(
2
−
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
)
(
2
−
2
(
5
+
5
)
)
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,}
ctg
7
π
60
=
ctg
21
∘
=
1
4
(
2
−
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
)
(
2
+
2
(
5
+
5
)
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,}
sin
π
8
=
sin
22.5
∘
=
1
2
2
−
2
,
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},}
cos
π
8
=
cos
22.5
∘
=
1
2
2
+
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,}
tg
π
8
=
tg
22.5
∘
=
2
−
1
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {tg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}
ctg
π
8
=
ctg
22.5
∘
=
2
+
1
=
δ
S
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,}
серебряное сечение
sin
2
π
15
=
sin
24
∘
=
1
8
[
15
+
3
−
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}
cos
2
π
15
=
cos
24
∘
=
1
8
(
6
(
5
−
5
)
+
5
+
1
)
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,}
tg
2
π
15
=
tg
24
∘
=
1
2
[
50
+
22
5
−
3
3
−
15
]
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}
ctg
2
π
15
=
ctg
24
∘
=
1
2
[
15
−
3
+
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}
sin
3
π
20
=
sin
27
∘
=
1
8
[
2
5
+
5
−
2
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
cos
3
π
20
=
cos
27
∘
=
1
8
[
2
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
tg
3
π
20
=
tg
27
∘
=
5
−
1
−
5
−
2
5
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
ctg
3
π
20
=
ctg
27
∘
=
5
−
1
+
5
−
2
5
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
sin
π
6
=
sin
30
∘
=
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,}
cos
π
6
=
cos
30
∘
=
3
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}
tg
π
6
=
tg
30
∘
=
3
3
=
1
3
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {tg} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}
ctg
π
6
=
ctg
30
∘
=
3
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {ctg} 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
sin
11
π
60
=
sin
33
∘
=
1
16
[
2
(
3
−
1
)
5
+
5
+
2
(
1
+
3
)
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
cos
11
π
60
=
cos
33
∘
=
1
16
[
2
(
3
+
1
)
5
+
5
+
2
(
1
−
3
)
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
tg
11
π
60
=
tg
33
∘
=
1
4
[
2
−
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
]
[
2
+
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
ctg
11
π
60
=
ctg
33
∘
=
1
4
[
2
−
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
]
[
2
−
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
[1]
sin
π
5
=
sin
36
∘
=
1
4
10
−
2
5
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
cos
π
5
=
cos
36
∘
=
5
+
1
4
=
φ
2
,
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}},}
φ
{\displaystyle \varphi }
золотое сечение ;
tg
π
5
=
tg
36
∘
=
5
−
2
5
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {tg} 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
ctg
π
5
=
ctg
36
∘
=
1
5
25
+
10
5
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}
sin
13
π
60
=
sin
39
∘
=
1
16
[
2
(
1
−
3
)
5
−
5
+
2
(
3
+
1
)
(
5
+
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}
cos
13
π
60
=
cos
39
∘
=
1
16
[
2
(
1
+
3
)
5
−
5
+
2
(
3
−
1
)
(
5
+
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}
tg
13
π
60
=
tg
39
∘
=
1
4
[
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
−
2
]
[
2
−
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
ctg
13
π
60
=
ctg
39
∘
=
1
4
[
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
−
2
]
[
2
+
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
sin
7
π
30
=
sin
42
∘
=
30
+
6
5
−
5
+
1
8
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,}
cos
7
π
30
=
cos
42
∘
=
15
−
3
+
10
+
2
5
8
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{8}}\,}
tg
7
π
30
=
tg
42
∘
=
15
+
3
−
10
+
2
5
2
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,}
ctg
7
π
30
=
ctg
42
∘
=
50
−
22
5
+
3
3
−
15
2
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,}
sin
π
4
=
sin
45
∘
=
2
2
=
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
cos
π
4
=
cos
45
∘
=
2
2
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
tg
π
4
=
tg
45
∘
=
1
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {tg} 45^{\circ }=1\,}
ctg
π
4
=
ctg
45
∘
=
1
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {ctg} 45^{\circ }=1\,}
sin
3
π
10
=
sin
54
∘
=
5
+
1
4
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!}
cos
3
π
10
=
cos
54
∘
=
10
−
2
5
4
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}
tg
3
π
10
=
tg
54
∘
=
25
+
10
5
5
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {tg} 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}\,}
ctg
3
π
10
=
ctg
54
∘
=
5
−
20
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}\,}
sin
π
3
=
sin
60
∘
=
3
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}
cos
π
3
=
cos
60
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,}
tg
π
3
=
tg
60
∘
=
3
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {tg} 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
ctg
π
3
=
ctg
60
∘
=
3
3
=
1
3
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {ctg} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}
sin
3
π
8
=
sin
67.5
∘
=
1
2
2
+
2
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,}
cos
3
π
8
=
cos
67.5
∘
=
1
2
2
−
2
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\,}
tg
3
π
8
=
tg
67.5
∘
=
2
+
1
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {tg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,}
ctg
3
π
8
=
ctg
67.5
∘
=
2
−
1
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}
sin
2
π
5
=
sin
72
∘
=
1
4
2
(
5
+
5
)
{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,}
cos
2
π
5
=
cos
72
∘
=
1
4
(
5
−
1
)
=
φ
2
,
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {\varphi }{2}},}
φ
{\displaystyle \varphi }
золотое сечение ;
tg
2
π
5
=
tg
72
∘
=
5
+
2
5
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {tg} 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
ctg
2
π
5
=
ctg
72
∘
=
1
5
5
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,}
sin
5
π
12
=
sin
75
∘
=
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle \sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\,}
cos
5
π
12
=
cos
75
∘
=
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle \cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\,}
tg
5
π
12
=
tg
75
∘
=
2
+
3
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {tg} 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}
ctg
5
π
12
=
ctg
75
∘
=
2
−
3
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}
sin
π
2
=
sin
90
∘
=
1
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,}
cos
π
2
=
cos
90
∘
=
0
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,}
tg
π
2
=
tg
90
∘
=
∞
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {tg} 90^{\circ }=\infty \,}
ctg
π
2
=
ctg
90
∘
=
0
{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {ctg} 90^{\circ }=0\,}
Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2π/n [ править | править код ] Приведены только формулы, не использующие корней степени больше
5
{\displaystyle 5}
теореме Муавра ) в множестве комплексных чисел извлечение корня целой степени n приводит к n различным значениям, то для корней 3-й и 5-й степеней от невещественных чисел, появляющихся в этом разделе ниже, следует брать главное значение , равное корню с наибольшей действительной частью: она всегда положительна. Следовательно, суммы корней 3-й или 5-й степени от комплексно сопряжённых чисел , появляющиеся в таблице, тоже положительны. Тангенс приведён в тех случаях, когда его можно записать сильно проще, чем отношение записей синуса и косинуса.
В некоторых случаях ниже используются два числа
ω
3
=
−
1
+
i
3
2
,
ω
5
=
1
4
(
−
1
+
5
+
i
10
+
2
5
)
{\displaystyle \omega _{3}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\omega _{5}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}})}
ω
3
3
=
ω
5
5
=
1
{\displaystyle \omega _{3}^{3}=\omega _{5}^{5}=1}
n
sin
(
2
π
n
)
cos
(
2
π
n
)
tg
(
2
π
n
)
1
0
1
0
2
0
−
1
0
3
1
2
3
−
1
2
−
3
4
1
0
±
∞
5
1
4
(
10
+
2
5
)
1
4
(
5
−
1
)
5
+
2
5
6
1
2
3
1
2
3
7
1
6
3
(
7
−
ω
3
¯
7
+
21
i
3
2
3
−
ω
3
7
−
21
i
3
2
3
)
1
6
(
−
1
+
7
+
21
i
3
2
3
+
7
−
21
i
3
2
3
)
8
1
2
2
1
2
2
1
9
i
2
(
ω
3
¯
3
−
ω
3
3
)
1
2
(
ω
3
3
+
ω
3
¯
3
)
10
1
4
(
10
−
2
5
)
1
4
(
5
+
1
)
5
−
2
5
11
12
1
2
1
2
3
1
3
3
13
1
12
6
(
13
−
13
−
4
(
26
−
5
13
−
3
i
39
)
3
−
4
(
26
−
5
13
+
3
i
39
)
3
)
1
12
(
−
1
+
13
+
4
(
26
−
5
13
−
3
i
39
)
3
+
4
(
26
−
5
13
+
3
i
39
)
3
)
14
1
6
3
(
7
−
7
+
21
i
3
2
3
−
7
−
21
i
3
2
3
)
1
6
(
1
−
ω
3
7
+
21
i
3
2
3
−
ω
3
¯
7
−
21
i
3
2
3
)
15
1
8
(
15
+
3
−
10
−
2
5
)
1
8
(
1
+
5
+
30
−
6
5
)
1
2
(
−
3
3
−
15
+
50
+
22
5
)
16
1
2
(
2
−
2
)
1
2
(
2
+
2
)
2
−
1
17
1
16
(
−
1
+
17
+
34
−
2
17
+
2
17
+
3
17
−
34
−
2
17
−
2
34
+
2
17
)
18
i
2
(
−
ω
3
3
−
−
ω
3
¯
3
)
1
2
(
−
ω
3
3
+
−
ω
3
¯
3
)
19
20
1
4
(
5
−
1
)
1
4
(
10
+
2
5
)
1
5
(
25
−
10
5
)
21
22
23
24
1
4
(
6
−
2
)
1
4
(
6
+
2
)
2
−
3
25
i
2
(
ω
5
¯
5
−
ω
5
5
)
1
2
(
ω
5
5
+
ω
5
¯
5
)
{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)}}&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)&\\\hline 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25&{\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}}})&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}})&\end{array}}}
Одно из общих и наглядных методов вывести формулы для
x
=
cos
2
π
o
n
+
i
sin
2
π
o
n
{\displaystyle x=\cos {\tfrac {2\pi o}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi o}{n}}}
n и o — целые числа) — это решить уравнение xn = 1, то есть найти комплексные корни из 1 сами косинус и синус равны
x
+
1
/
x
2
{\displaystyle {\tfrac {x+1/x}{2}}}
x
−
1
/
x
2
i
{\displaystyle {\tfrac {x-1/x}{2i}}}
. Данный метод обосновывается теоремой Муавра :
В свою очередь, эта теорема доказывается утверждением, что при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы — складываются (последнее равносильно тригонометрическим тождествам для суммы ):
[
r
(
cos
α
+
i
sin
α
)
]
⋅
[
s
(
cos
β
+
i
sin
β
)
]
=
(
r
s
)
⋅
[
cos
(
α
+
β
)
+
i
sin
(
α
+
β
)
]
.
{\displaystyle [r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].}
Среди корней натуральной степени n из 1 есть те, которые не являются корнями никакой другой натуральной степени m < n из 1, — они называются первообразными , или примитивными , корнями n -й степени из 1круговым n -й степени из 1 степень кругового многочлена равна φ (n ), где φ — функция Эйлера , и обязательно чётна при n ≥ 3, поскольку при n ≥ 3 все первообразные корни (среди которых уже нет ±1) невещественны и образуют комплексно сопряжённые пары.
При n ≥ 2 круговой полином является симметричным , то есть все его коэффициенты отражаются относительно степени φ (n )/2. Если n ≥ 3, то, чтобы решить уравнение с круговым многочленом sφ(n) (x ) = 0 чётной степени φ(n) , симметричный полином sφ(n) (x ) надо разделить на x φ(n) /2x + 1/x (это возможно из-за симметричности), которое, как совпадение, и оказывается искомым косинусом, умноженным на 2.
Полином
x
3
−
1
{\displaystyle x^{3}-1}
x
−
1
{\displaystyle x-1}
x
2
+
x
+
1
,
{\displaystyle x^{2}+x+1,}
каноническому виду :
x
2
+
x
=
−
1
,
{\displaystyle x^{2}+x=-1,}
(
x
+
1
2
)
2
=
−
3
4
,
{\displaystyle (x+{\tfrac {1}{2}})^{2}=-{\tfrac {3}{4}},}
(
x
+
1
2
)
2
+
3
4
=
0
{\displaystyle (x+{\tfrac {1}{2}})^{2}+{\tfrac {3}{4}}=0}
канонический вид ).
В итоге в совокупности с уравнением
x
−
1
=
0
{\displaystyle x-1=0}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
=
−
1
±
3
i
2
.
{\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.}
Вместо того, чтобы решать уравнение
x
2
+
x
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+x+1=0}
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle x^{2}+x+1}
x , сгруппировать относительно x + 1/x , учитывая, что x + 1/x — это искомый косинус, умноженный на 2:
(
x
+
1
x
)
+
1
=
0
,
{\displaystyle (x+{\tfrac {1}{x}})+1=0,}
x
+
1
x
=
−
1
,
{\displaystyle x+{\tfrac {1}{x}}=-1,}
x
=
−
1
±
3
i
2
.
{\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.}
Круговой полином равен
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
,
{\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,}
x 2 , сгруппировать по степеням x + 1/x (сведя к квадратному полиному) и приравнять 0:
x
2
+
x
+
1
+
x
−
1
+
x
−
2
=
0
,
{\displaystyle x^{2}+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,}
(
x
+
1
x
)
2
+
(
x
+
1
x
)
−
1
=
0
,
{\displaystyle (x+{\tfrac {1}{x}})^{2}+(x+{\tfrac {1}{x}})-1=0,}
x
+
1
x
=
−
1
±
5
2
{\displaystyle x+{\tfrac {1}{x}}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}
x
=
−
1
±
1
5
4
±
2
i
4
10
±
1
2
5
.
{\displaystyle x={\frac {-1\pm _{1}{\sqrt {5}}}{4}}\pm _{2}{\frac {i}{4}}{\sqrt {10\pm _{1}2{\sqrt {5}}}}.}
Условные обозначения . Обозначим
cos
2
π
n
+
i
sin
2
π
n
{\displaystyle \cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}}
ω
n
.
{\displaystyle \omega _{n}.}
Шаг 1 — приведение уравнения к канонической форме [ править | править код ] Проведя с круговым многочленом
x
6
+
x
5
+
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
n = 5, получаем уравнение 3-й степени
(
x
+
1
x
)
3
+
(
x
+
1
x
)
2
−
2
(
x
+
1
x
)
−
1
=
0.
{\displaystyle (x+{\tfrac {1}{x}})^{3}+(x+{\tfrac {1}{x}})^{2}-2(x+{\tfrac {1}{x}})-1=0.}
(
x
+
1
x
)
3
+
(
x
+
1
x
)
2
=
2
(
x
+
1
x
)
+
1
,
{\displaystyle (x+{\tfrac {1}{x}})^{3}+(x+{\tfrac {1}{x}})^{2}=2(x+{\tfrac {1}{x}})+1,}
[
(
x
+
1
x
)
+
1
3
]
3
=
7
3
[
(
x
+
1
x
)
+
1
3
]
+
7
27
,
{\displaystyle [(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}},}
(
x
+
1
3
+
1
x
)
3
−
7
3
(
x
+
1
3
+
1
x
)
−
7
27
=
0
{\displaystyle (x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})^{3}-{\tfrac {7}{3}}(x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})-{\tfrac {7}{27}}=0}
каноническая форма ).
Метод решения канонических кубических уравнений вошёл в историю под именем Джероламо Кардано , но впервые был открыт Сципионом дель Ферро . Он заключается в следующем: заменим искомую переменную (
x
+
1
3
+
x
−
1
{\displaystyle x+{\tfrac {1}{3}}+x^{-1}}
v
+
w
{\displaystyle v+w}
(
v
3
+
3
v
2
w
+
3
v
w
2
+
w
3
)
−
7
3
(
v
+
w
)
−
7
27
=
0
,
{\displaystyle (v^{3}+3v^{2}w+3vw^{2}+w^{3})-{\tfrac {7}{3}}(v+w)-{\tfrac {7}{27}}=0,}
а затем зададим между v и w такую зависимость, чтобы уравнение можно было свести к менее чем 3-й степени. Тогда оказывается, что в числе
3
v
2
w
+
3
v
w
2
−
7
3
(
v
+
w
)
=
(
3
v
w
−
7
3
)
(
v
+
w
)
{\displaystyle 3v^{2}w+3vw^{2}-{\tfrac {7}{3}}(v+w)=(3vw-{\tfrac {7}{3}})(v+w)}
3
v
w
−
7
3
{\displaystyle 3vw-{\tfrac {7}{3}}}
w
=
7
9
v
{\displaystyle w={\tfrac {7}{9v}}}
1
2
(
x
+
x
−
1
)
=
1
2
(
−
1
3
+
v
+
w
)
=
1
2
(
−
1
3
+
v
+
7
9
v
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+x^{-1})={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+w)={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+{\tfrac {7}{9v}})}
v
3
−
7
3
3
+
7
3
3
6
v
−
3
=
0
,
{\displaystyle v^{3}-{\tfrac {7}{3^{3}}}+{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}v^{-3}=0,}
v
3
=
7
2
⋅
3
3
±
i
7
3
3
6
−
7
2
2
2
3
6
=
7
±
7
i
2
2
7
−
1
2
⋅
3
3
=
7
±
21
i
3
2
⋅
3
3
,
{\displaystyle v^{3}={\tfrac {7}{2\cdot 3^{3}}}\pm i{\sqrt {{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}-{\tfrac {7^{2}}{2^{2}3^{6}}}}}={\tfrac {7\pm 7i{\sqrt {2^{2}7-1}}}{2\cdot 3^{3}}}={\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2\cdot 3^{3}}},}
а с учётом главных значений кубических корней получается:
v
=
ω
3
m
3
7
±
21
i
3
2
3
,
7
9
v
=
ω
3
−
m
3
7
∓
21
i
3
2
3
,
{\displaystyle v={\tfrac {\omega _{3}^{m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2}}},{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},}
m
∈
Z
,
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,}
cos
2
π
o
7
=
1
6
(
−
1
+
ω
3
−
m
7
+
21
i
3
2
3
+
ω
3
m
7
−
21
i
3
2
3
)
,
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right),}
где o = 1 (o = 6) соответствует m = 0, o = 2 (o = 5) — m = 1, а o = 3 (o = 4) — m = 2.
Синус лучше всего искать не по основному тригонометрическому тождеству, а по формуле половинного угла
sin
2
π
o
7
=
±
1
2
−
1
2
cos
4
π
o
7
,
{\displaystyle \sin {\tfrac {2\pi o}{7}}=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos {\tfrac {4\pi o}{7}}}},}
1
2
(
7
±
21
i
3
)
3
,
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7\pm 21i{\sqrt {3}})}},}
1
6
[
−
1
+
w
+
w
¯
±
i
3
(
7
−
ω
3
¯
w
−
ω
3
w
¯
)
]
,
{\displaystyle {\frac {1}{6}}\left[-1+w+{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}w-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],}
где
2
w
3
=
7
+
21
i
3
.
{\displaystyle 2w^{3}=7+21i{\sqrt {3}}.}
Условное обозначение . Обозначим
cos
2
π
n
+
i
sin
2
π
n
{\displaystyle \cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}}
ω
n
.
{\displaystyle \omega _{n}.}
Число 9 раскладывается на простые множители как 32 , так что многочлен
x
9
−
1
{\displaystyle x^{9}-1}
(
x
−
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
6
+
x
3
+
1
)
.
{\displaystyle (x-1)(x^{2}+x+1)(x^{6}+x^{3}+1).}
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle x^{2}+x+1}
x
=
ω
3
m
ω
3
±
1
3
,
{\displaystyle x=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}},}
m
∈
{
0
,
1
,
2
}
.
{\displaystyle m\in \{0,1,2\}.}
Тогда (с учётом главных значений кубических корней) «первообразные» косинусы и синусы выражаются как
1
2
(
x
+
1
x
)
=
1
2
(
ω
3
m
ω
3
±
1
3
+
ω
3
−
m
ω
3
∓
1
3
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}\right),}
1
2
i
(
x
−
1
x
)
=
i
2
(
ω
3
−
m
ω
3
∓
1
3
+
ω
3
m
ω
3
±
1
3
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {i}{2}}\left(\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}\right),}
Условное обозначение:
ω
n
:=
cos
2
π
n
+
i
sin
2
π
n
.
{\displaystyle \omega _{n}:=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.}
У полинома
x
14
−
1
=
(
x
7
−
1
)
(
x
7
+
1
)
{\displaystyle x^{14}-1=(x^{7}-1)(x^{7}+1)}
x
−
1
{\displaystyle x-1}
x
+
1
{\displaystyle x+1}
x
6
+
x
5
+
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
x
6
−
x
5
+
x
4
−
x
3
+
x
2
−
x
+
1
{\displaystyle x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}
Корни полинома
x
6
−
x
5
+
x
4
−
x
3
+
x
2
−
x
+
1
{\displaystyle x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}
x
6
+
x
5
+
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
теореме Виета ) и, следовательно, выглядят так:
1
6
[
1
−
w
−
w
¯
±
i
3
(
7
−
ω
3
¯
y
−
ω
3
w
¯
)
]
,
{\displaystyle {\frac {1}{6}}\left[1-w-{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}y-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],}
где
2
w
3
=
7
+
21
i
3
.
{\displaystyle 2w^{3}=7+21i{\sqrt {3}}.}
Круговой многочлен
x
8
−
x
7
+
x
5
−
x
4
+
x
3
−
x
+
1
{\displaystyle x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1}
2
π
o
3
⋅
5
{\displaystyle {\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}}
o — целое число) как сумму
2
π
3
o
1
+
2
π
5
o
2
,
{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}o_{1}+{\tfrac {2\pi }{5}}o_{2},}
o 1 и o 2 — некоторые целые числа.
Примечание . В отличие от 15, в факторизации числа 9 участвует один и тот же множитель двойной кратности — и в отличие от
2
π
o
3
⋅
5
{\displaystyle {\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}}
2
π
o
3
2
{\displaystyle {\tfrac {2\pi o}{3^{2}}}}
2
π
o
1
3
+
2
π
o
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{3}}}
o , o 1 и o 2 — целые числа).
Разложив угол на сумму углов, можно вычислять косинус и синус:
cos
(
2
π
o
1
3
+
2
π
o
2
5
)
+
i
sin
(
2
π
o
1
3
+
2
π
o
2
5
)
=
{\displaystyle \cos({\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})+i\sin({\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=}
=
(
cos
2
π
o
1
3
+
i
sin
2
π
o
1
3
)
(
cos
2
π
o
2
5
+
i
sin
2
π
o
2
5
)
=
{\displaystyle =(\cos {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}})(\cos {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=}
=
(
−
1
+
i
3
2
)
o
1
[
1
4
(
−
1
+
5
+
i
10
+
2
5
)
]
o
2
.
{\displaystyle =\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{o_{1}}\left[{\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}})\right]^{o_{2}}.}
Например, если o = 1, то в качестве o 1 и o 2 можно выбрать −1 и 2 соответственно. Тогда
cos
2
π
15
+
i
sin
2
π
15
=
1
8
(
−
1
−
i
3
)
(
−
1
−
5
+
i
10
−
2
5
)
=
{\displaystyle \cos {\tfrac {2\pi }{15}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{15}}={\tfrac {1}{8}}(-1-i{\sqrt {3}})(-1-{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})=}
=
1
8
[
1
+
5
+
30
−
6
5
+
i
(
3
+
15
−
10
−
2
5
)
]
.
{\displaystyle ={\tfrac {1}{8}}[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})].}
Поскольку данное число Ферма является простым, то, как и в случае n = 3, n = 5 и n = 7, в первую очередь нужно круговой полином
x
16
+
⋯
+
x
+
1
{\displaystyle x^{16}+\cdots +x+1}
x 8 и заменить на некоторую переменную b = x + 1/x ― получим
b
8
+
b
7
+
⋯
−
4
b
+
1.
{\displaystyle b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1.}
Условное обозначение. Обозначим корни многочлена
b
8
+
b
7
+
⋯
−
4
b
+
1
{\displaystyle b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1}
b
o
/
17
=
2
cos
2
π
o
17
.
{\displaystyle b_{o/17}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{17}}.}
Корни полинома
b
8
+
b
7
+
⋯
−
4
b
+
1
{\displaystyle b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1}
S 1 и S 2 , найти S 1 + S 2 и S 1 S 2 и по теореме Виета вывести для S 1 и S 2 уравнение, решив которое и получим S 1 и S 2 .
Если поточнее, корни полинома
b
8
+
b
7
+
⋯
−
4
b
+
1
{\displaystyle b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1}
по степеням двойки :
S
1
=
b
2
0
/
17
+
b
2
1
/
17
+
b
2
2
/
17
+
b
2
3
/
17
=
b
1
/
17
+
b
2
/
17
+
b
4
/
17
+
b
8
/
17
;
{\displaystyle S_{1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{1}/17}+b_{2^{2}/17}+b_{2^{3}/17}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};}
S
2
=
b
3
⋅
2
0
/
17
+
b
3
⋅
2
1
/
17
+
b
3
⋅
2
2
/
17
+
b
3
⋅
2
3
/
17
=
b
3
/
17
+
b
6
/
17
+
b
5
/
17
+
b
7
/
17
.
{\displaystyle S_{2}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}+b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.}
Сумма S 1 + S 2 равна сумме всех корней
b
8
+
b
7
+
⋯
−
4
b
+
1
,
{\displaystyle b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1,}
(
2
cos
α
)
(
2
cos
β
)
=
[
2
cos
(
α
+
β
)
]
+
[
2
cos
(
±
α
∓
β
)
]
:
{\displaystyle (2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon }
(
b
1
/
17
+
b
2
/
17
+
b
4
/
17
+
b
8
/
17
)
(
b
3
/
17
+
b
6
/
17
+
b
5
/
17
+
b
7
/
17
)
=
{\displaystyle (b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17})=}
=
(
b
1
/
17
b
3
/
17
)
+
⋯
+
(
b
8
/
17
b
7
/
17
)
⏟
16 слагаемых
=
(
b
4
/
17
+
b
2
/
17
)
+
⋯
+
(
b
15
/
17
+
b
1
/
17
)
⏟
32 слагаемых, включая внутри скобок
{\displaystyle =\underbrace {(b_{1/17}b_{3/17})+\cdots +(b_{8/17}b_{7/17})} _{\text{16 слагаемых}}=\underbrace {(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots +(b_{15/17}+b_{1/17})} _{\text{32 слагаемых, включая внутри скобок}}}
=
2
(
b
1
/
17
+
b
2
/
17
+
⋯
+
b
15
/
17
+
b
16
/
17
)
⏟
16 слагаемых
=
4
(
S
1
+
S
2
)
=
−
4.
{\displaystyle =2\underbrace {(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots +b_{15/17}+b_{16/17})} _{\text{16 слагаемых}}=4(S_{1}+S_{2})=-4.}
Тогда получается квадратное уравнение
S
2
+
S
−
4
=
0
{\displaystyle S^{2}+S-4=0}
−
1
±
17
2
,
{\displaystyle {\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},}
S
1
=
b
1
/
17
+
b
2
/
17
+
b
4
/
17
+
b
8
/
17
=
−
1
+
17
2
;
{\displaystyle S_{1}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}={\tfrac {-1+{\sqrt {17}}}{2}};}
S
2
=
b
3
/
17
+
b
6
/
17
+
b
5
/
17
+
b
7
/
17
=
−
1
−
17
2
.
{\displaystyle S_{2}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}={\tfrac {-1-{\sqrt {17}}}{2}}.}
Слагаемые, заключённые в S 1 и S 2 , снова надо распределить пополам по суммам, причём по степеням четвёрки — и образуются четыре числа:
T
1.1
=
b
2
0
/
17
+
b
2
2
/
17
=
b
1
/
17
+
b
4
/
17
;
{\displaystyle T_{1.1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{2}/17}=b_{1/17}+b_{4/17};}
T
1.2
=
b
2
1
/
17
+
b
2
3
/
17
=
b
2
/
17
+
b
8
/
17
;
{\displaystyle T_{1.2}=b_{2^{1}/17}+b_{2^{3}/17}=b_{2/17}+b_{8/17};}
T
2.1
=
b
3
⋅
2
0
/
17
+
b
3
⋅
2
2
/
17
=
b
3
/
17
+
b
5
/
17
;
{\displaystyle T_{2.1}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}=b_{3/17}+b_{5/17};}
T
2.2
=
b
3
⋅
2
1
/
17
+
b
3
⋅
2
3
/
17
=
b
6
/
17
+
b
7
/
17
.
{\displaystyle T_{2.2}=b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.}
Сумма
T
m
.1
+
T
m
.2
{\displaystyle T_{m.1}+T_{m.2}}
m пробегает множество {1, 2}) равна
S
m
=
−
1
±
17
2
,
{\displaystyle S_{m}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},}
T
m
.1
T
m
.2
{\displaystyle T_{m.1}T_{m.2}}
cos
α
cos
β
=
1
2
[
cos
(
α
+
β
)
+
cos
(
±
α
∓
β
)
]
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\pm \alpha \mp \beta )]}
m = 1 и при m = 2), а значит, здесь по теореме Виета мы получаем квадратное уравнение
T
m
2
−
S
m
T
m
−
1
=
0
{\displaystyle T_{m}^{2}-S_{m}T_{m}-1=0}
T :
T
1.1
=
1
4
(
−
1
+
17
+
34
−
2
17
)
;
{\displaystyle T_{1.1}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});}
T
1.2
=
1
4
(
−
1
+
17
−
34
−
2
17
)
;
{\displaystyle T_{1.2}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});}
T
2.1
=
1
4
(
−
1
−
17
+
34
+
2
17
)
;
{\displaystyle T_{2.1}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}});}
T
2.2
=
1
4
(
−
1
−
17
−
34
+
2
17
)
.
{\displaystyle T_{2.2}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}).}
Во 2-м и 3-м этапах мы каждый раз «дробили» суммы пополам. Здесь мы сделаем то же самое и таким образом уже дойдём до самих корней (чисел bo /17 ). Суммы равны:
b
1
/
17
+
b
4
/
17
=
T
1.1
;
{\displaystyle b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1};}
b
2
/
17
+
b
8
/
17
=
T
1.2
;
{\displaystyle b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2};}
b
3
/
17
+
b
5
/
17
=
T
2.1
;
{\displaystyle b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};}
b
6
/
17
+
b
7
/
17
=
T
2.2
,
{\displaystyle b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2},}
а соответствующие произведения:
b
1
/
17
b
4
/
17
=
b
5
/
17
+
b
3
/
17
=
T
2.1
;
{\displaystyle b_{1/17}b_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};}
b
2
/
17
b
8
/
17
=
b
10
/
17
+
b
6
/
17
=
T
2.2
;
{\displaystyle b_{2/17}b_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2};}
b
3
/
17
b
5
/
17
=
b
8
/
17
+
b
2
/
17
=
T
1.2
;
{\displaystyle b_{3/17}b_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1.2};}
b
6
/
17
b
7
/
17
=
b
13
/
17
+
b
1
/
17
=
T
1.1
.
{\displaystyle b_{6/17}b_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}.}
Составив все требуемые квадратные уравнения, получаем искомые косинусы :
b
1
/
17
/
2
{\displaystyle b_{1/17}/2}
b
4
/
17
/
2
{\displaystyle b_{4/17}/2}
1
16
(
16
−
N
+
2
N
±
2
2
M
−
N
−
2
N
−
2
2
M
)
;
{\displaystyle {\tfrac {1}{16}}(16-N+{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N-{\sqrt {2N}}-2{\sqrt {2M}}}});}
b
2
/
17
/
2
{\displaystyle b_{2/17}/2}
b
8
/
17
/
2
{\displaystyle b_{8/17}/2}
1
16
(
16
−
N
−
2
N
±
2
2
M
−
N
+
2
N
+
2
2
M
)
;
{\displaystyle {\tfrac {1}{16}}(16-N-{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N+{\sqrt {2N}}+2{\sqrt {2M}}}});}
b
3
/
17
/
2
,
b
5
/
17
/
2
{\displaystyle b_{3/17}/2,b_{5/17}/2}
1
16
(
16
−
M
+
2
M
±
2
2
N
−
M
−
2
M
+
2
2
N
)
;
{\displaystyle {\tfrac {1}{16}}(16-M+{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M-{\sqrt {2M}}+2{\sqrt {2N}}}});}
b
6
/
17
/
2
,
b
7
/
17
/
2
{\displaystyle b_{6/17}/2,b_{7/17}/2}
1
16
(
16
−
M
−
2
M
±
2
2
N
−
M
+
2
M
−
2
2
N
)
;
{\displaystyle {\tfrac {1}{16}}(16-M-{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M+{\sqrt {2M}}-2{\sqrt {2N}}}});}
где
M
=
17
+
17
,
N
=
17
−
17
{\displaystyle M=17+{\sqrt {17}},N=17-{\sqrt {17}}}
.
Нужно круговой полином
x
12
+
⋯
+
x
+
1
{\displaystyle x^{12}+\cdots +x+1}
x 6 и заменить x + 1/x на некоторую переменную b ― получается полином
b
6
+
b
5
−
5
b
4
−
4
b
3
+
6
b
2
+
3
b
−
1.
{\displaystyle b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1.}
n = 17) и данным (n = 13) есть некоторые сходства: во-первых, 13 и 17 оба простые числа, а во-вторых, степени многочленов
b
6
+
b
5
−
5
b
4
−
4
b
3
+
6
b
2
+
3
b
−
1
{\displaystyle b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1}
n = 13) и
b
8
+
b
7
+
⋯
−
4
b
+
1
{\displaystyle b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1}
n = 17) являются составными числами — поэтому возникает такое подозрение, что корни полинома
b
6
+
b
5
−
5
b
4
−
4
b
3
+
6
b
2
+
3
b
−
1
{\displaystyle b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1}
Условное обозначение . Обозначим корни полинома
b
6
+
b
5
−
5
b
4
−
4
b
3
+
6
b
2
+
3
b
−
1
{\displaystyle b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1}
b
o
/
13
=
2
cos
2
π
o
13
.
{\displaystyle b_{o/13}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{13}}.}
Распределим все шесть корней указанного полинома по двум суммам S 1 , S 2 и по степеням тройки:
S
1
=
x
3
0
/
13
+
x
3
1
/
13
+
x
3
2
/
13
=
x
1
/
13
+
x
3
/
13
+
x
4
/
13
;
{\displaystyle S_{1}=x_{3^{0}/13}+x_{3^{1}/13}+x_{3^{2}/13}=x_{1/13}+x_{3/13}+x_{4/13};}
S
2
=
x
2
⋅
3
0
/
13
+
x
2
⋅
3
1
/
13
+
x
2
⋅
3
2
/
13
=
x
2
/
13
+
x
6
/
13
+
x
5
/
13
{\displaystyle S_{2}=x_{2\cdot 3^{0}/13}+x_{2\cdot 3^{1}/13}+x_{2\cdot 3^{2}/13}=x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}}
и вычислим следующие величины с помощью тождества
(
2
cos
α
)
(
2
cos
β
)
=
[
2
cos
(
α
+
β
)
]
+
[
2
cos
(
±
α
∓
β
)
]
:
{\displaystyle (2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon }
S
1
+
S
2
=
−
1
;
{\displaystyle S_{1}+S_{2}=-1;}
S
1
S
2
=
(
b
1
/
13
+
b
3
/
13
+
b
4
/
13
)
(
b
2
/
13
+
b
6
/
13
+
b
5
/
13
)
=
b
1
/
13
b
2
/
13
+
b
1
/
13
b
6
/
13
+
b
1
/
13
b
5
/
13
+
b
3
/
13
b
2
/
13
+
b
3
/
13
b
6
/
13
+
b
3
/
13
b
5
/
13
+
b
4
/
13
b
2
/
13
+
b
4
/
13
b
6
/
13
+
b
4
/
13
b
5
/
13
=
(
b
3
/
13
+
b
1
/
13
)
+
(
b
7
/
13
+
b
5
/
13
)
+
(
b
6
/
13
+
b
4
/
13
)
+
(
b
5
/
13
+
b
1
/
13
)
+
(
b
9
/
13
+
b
3
/
13
)
+
(
b
8
/
13
+
b
2
/
13
)
+
(
b
6
/
13
+
b
2
/
13
)
+
(
b
10
/
13
+
b
2
/
13
)
+
(
b
9
/
13
+
b
1
/
13
)
=
3
(
b
1
/
13
+
b
2
/
13
+
b
3
/
13
+
b
4
/
13
+
b
5
/
13
+
b
6
/
13
)
=
3
(
S
1
+
S
2
)
=
−
3
,
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}S_{2}&=(b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13})\\&=b_{1/13}b_{2/13}+b_{1/13}b_{6/13}+b_{1/13}b_{5/13}\\&+b_{3/13}b_{2/13}+b_{3/13}b_{6/13}+b_{3/13}b_{5/13}\\&+b_{4/13}b_{2/13}+b_{4/13}b_{6/13}+b_{4/13}b_{5/13}\\&=(b_{3/13}+b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13})\\&+(b_{5/13}+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13})\\&+(b_{6/13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13})\\&=3(b_{1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_{1}+S_{2})=-3,\\\end{aligned}}}
получив уравнение
S
2
+
S
−
3
=
0
{\displaystyle S^{2}+S-3=0}
S
1
=
b
1
/
13
+
b
3
/
13
+
b
4
/
13
=
−
1
+
13
2
,
{\displaystyle S_{1}=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}={\tfrac {-1+{\sqrt {13}}}{2}},}
S
2
=
b
2
/
13
+
b
6
/
13
+
b
5
/
13
=
−
1
−
13
2
.
{\displaystyle S_{2}=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}={\tfrac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}.}
S 1 и S 2 известны — теперь с помощью них нужно вывести кубические уравнения относительно b . Для демонстрации выберем, например, корни, входящие в сумму S 1 . Тогда нужно найти следующие величины:
b
1
/
13
+
b
3
/
13
+
b
4
/
13
=
S
1
=
−
1
+
13
2
;
{\displaystyle b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_{1}={\tfrac {-1+{\sqrt {13}}}{2}};}
b
1
/
13
b
3
/
13
+
b
3
/
13
b
4
/
13
+
b
4
/
13
b
1
/
13
=
b
4
/
13
+
b
2
/
13
+
b
7
/
13
+
b
1
/
13
+
b
5
/
13
+
b
3
/
13
=
S
1
+
S
2
=
−
1
;
{\displaystyle b_{1/13}b_{3/13}+b_{3/13}b_{4/13}+b_{4/13}b_{1/13}=b_{4/13}+b_{2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}=S_{1}+S_{2}=-1;}
b
1
/
13
b
3
/
13
b
4
/
13
=
(
b
4
/
13
+
b
2
/
13
)
b
4
/
13
=
b
4
/
13
2
+
b
2
/
13
b
4
/
13
=
(
2
+
b
8
/
13
)
+
(
b
6
/
13
+
b
2
/
13
)
=
2
+
S
2
=
3
−
13
2
,
{\displaystyle b_{1/13}b_{3/13}b_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13}^{2}+b_{2/13}b_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_{2}={\tfrac {3-{\sqrt {13}}}{2}},}
чтобы по теореме Виета получить уравнение. Если в совокупности с корнями, входящими в S 1 , включить корни, входящие в S 2 , — в результате получится уравнение
b
3
−
−
1
±
13
2
b
2
−
b
+
−
3
±
13
2
=
0
{\displaystyle b^{3}-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13}}}{2}}b^{2}-b+{\tfrac {-3\pm {\sqrt {13}}}{2}}=0}
Шаг 3 — приведение к канонической форме [ править | править код ]
(
b
−
−
1
±
13
6
)
3
+
−
13
±
13
6
(
b
−
1
±
13
6
)
+
−
26
±
5
13
27
=
0
{\displaystyle (b-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13}}}{6}})^{3}+{\tfrac {-13\pm {\sqrt {13}}}{6}}(b-{\tfrac {1\pm {\sqrt {13}}}{6}})+{\tfrac {-26\pm 5{\sqrt {13}}}{27}}=0}
каноническая форма )
|
⋅
6
3
,
{\displaystyle |\cdot 6^{3},}
[
6
b
−
(
−
1
±
13
)
]
3
+
6
(
−
13
±
13
)
[
6
b
−
(
−
1
±
13
)
]
+
8
(
−
26
±
5
13
)
=
0
{\displaystyle [6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]^{3}+6(-13\pm {\sqrt {13}})[6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]+8(-26\pm 5{\sqrt {13}})=0}
Шаг 4 — решение канонического уравнения [ править | править код ]
6
b
−
(
−
1
±
13
)
=
ω
3
m
−
8
(
−
26
±
5
13
)
2
−
8
(
−
26
±
5
13
)
2
2
+
6
(
−
13
±
13
)
3
3
3
+
ω
3
−
m
−
8
(
−
26
±
5
13
)
2
+
8
(
−
26
±
5
13
)
2
2
+
6
(
−
13
±
13
)
3
3
3
=
ω
3
m
4
(
26
∓
5
13
−
3
i
39
)
3
+
ω
3
−
m
4
(
26
∓
5
13
+
3
i
39
)
3
,
{\displaystyle {\begin{aligned}6b-(-1\pm {\sqrt {13}})&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}-{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\\&+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}+{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\\&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}},\\\end{aligned}}}
где m пробегает {0, 1, 2}, а
ω
n
=
cos
2
π
n
+
i
sin
2
π
n
.
{\displaystyle \omega _{n}=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.}
Использование для вычисления других констант [ править | править код ] Например, объём правильного додекаэдра с длиной ребра
a
{\displaystyle a}
V
=
5
a
3
cos
36
∘
tan
2
36
∘
.
{\displaystyle V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}.}
Если использовать выражения
cos
36
∘
=
5
+
1
4
,
{\displaystyle \cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}},\,}
tan
36
∘
=
5
−
2
5
,
{\displaystyle \tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}},\,}
формулу можно упростить до
V
=
a
3
(
15
+
7
5
)
4
.
{\displaystyle V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}.\,}
Правильный n -угольник и его фундаментальный прямоугольный треугольник. Углы: a = 180° / n b =90(1 − 2 / n Вывод значений синуса , косинуса и тангенса в радикальную форму базируется на возможности построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников.
Здесь прямоугольные треугольники, сделанные сечениями по осям симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления фундаментальных тригонометрических соотношений. В каждом из прямоугольных треугольников вершинами являются:
Центр многоугольника
Вершина многоугольника
Середина стороны, содержащей эту вершину Правильный n -угольник можно разделить на 2n треугольников с углами 180 / n 180 / n n , большего или равного 3.
Возможность построения при помощи циркуля и линейки треугольника, квадрата, пяти- и пятнадцатиугольника — в базе, биссектрисы углов также позволяют быть выведенными многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника.
Есть и ещё правильные многоугольники, которые можно построить при помощи циркуля и линейки: 17 , 51, 85, 255, 257 , 353, 449, 641, 1409, 2547, …, 65535, 65537 , 69481, 73697, …, 4294967295 .) Нельзя построить при помощи циркуля и линейки (с полуградусными или целыми углами) — Для получаемых соотношений сторон треугольников нет конечных радикальных форм, включающих действительные числа, а значит, многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника, не могут быть выведены.
9 × 2n
45 × 2n Подсчитанные значения синуса и косинуса [ править | править код ] Синус и косинус 0, 30, 45, 60 и 90 градусов могут быть вычислены из соответственных прямоугольных треугольников по теореме Пифагора.
При использовании радианов, синус и косинус
π
{\displaystyle \pi }
n могут быть выражены в радикальной форме при помощи рекурсивного применения следующих формул:
2
cos
θ
=
2
+
2
cos
2
θ
=
2
+
2
+
2
cos
4
θ
=
2
+
2
+
2
+
2
cos
8
θ
{\displaystyle 2\cos \theta ={\sqrt {2+2\cos 2\theta }}={\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta }}}}}}}
2
sin
θ
=
2
−
2
cos
2
θ
=
2
−
2
+
2
cos
4
θ
=
2
−
2
+
2
+
2
cos
8
θ
{\displaystyle 2\sin \theta ={\sqrt {2-2\cos 2\theta }}={\sqrt {2-{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta }}}}}}}
Например:
cos
π
2
1
=
0
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{1}}}={\frac {0}{2}}}
cos
π
2
2
=
2
+
0
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+0}}{2}}}
sin
π
2
2
=
2
−
0
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-0}}{2}}}
cos
π
2
3
=
2
+
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
sin
π
2
3
=
2
−
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
cos
π
2
4
=
2
+
2
+
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}}
sin
π
2
4
=
2
−
2
+
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}}
cos
π
2
5
=
2
+
2
+
2
+
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}{2}}}
sin
π
2
5
=
2
−
2
+
2
+
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}{2}}}
cos
π
2
6
=
2
+
2
+
2
+
2
+
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}}
sin
π
2
6
=
2
−
2
+
2
+
2
+
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}}
и т. д.
Радикальная форма, синус и косинус
π
{\displaystyle \pi }
/ (3 × 2n ) [ править | править код ]
cos
2
π
3
=
−
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{3}}={\frac {-1}{2}}}
cos
π
3
×
2
0
=
2
−
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}}
sin
π
3
×
2
0
=
2
+
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}}
cos
π
3
×
2
1
=
2
+
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}}
sin
π
3
×
2
1
=
2
−
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}}
cos
π
3
×
2
2
=
2
+
3
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}
sin
π
3
×
2
2
=
2
−
3
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}
cos
π
3
×
2
3
=
2
+
2
+
3
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}}
sin
π
3
×
2
3
=
2
−
2
+
3
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}}
cos
π
3
×
2
4
=
2
+
2
+
2
+
3
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}{2}}}
sin
π
3
×
2
4
=
2
−
2
+
2
+
3
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}{2}}}
cos
π
3
×
2
5
=
2
+
2
+
2
+
2
+
3
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}}
sin
π
3
×
2
5
=
2
−
2
+
2
+
2
+
3
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}}
и т. д.
Радикальная форма, синус и косинус
π
{\displaystyle \pi }
/ (5 × 2n ) [ править | править код ]
cos
2
π
5
=
5
−
1
4
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
cos
π
5
×
2
0
=
5
+
1
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
2
+
2
cos
π
5
=
2
+
1.25
+
0.5
{\displaystyle 2+2\cos {\frac {\pi }{5}}=2+{\sqrt {1.25}}+0.5}
cos
π
5
×
2
1
=
2.5
+
1.25
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}{2}}}
sin
π
5
×
2
1
=
1.5
−
1.25
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {1.5-{\sqrt {1.25}}}}{2}}}
cos
π
5
×
2
2
=
2
+
2.5
+
1.25
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}{2}}}
sin
π
5
×
2
2
=
2
−
2.5
+
1.25
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}{2}}}
cos
π
5
×
2
3
=
2
+
2
+
2.5
+
1.25
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}{2}}}
sin
π
5
×
2
3
=
2
−
2
+
2.5
+
1.25
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}{2}}}
cos
π
5
×
2
4
=
2
+
2
+
2
+
2.5
+
1.25
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}{2}}}
sin
π
5
×
2
4
=
2
−
2
+
2
+
2.5
+
1.25
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}{2}}}
cos
π
5
×
2
5
=
2
+
2
+
2
+
2
+
2.5
+
1.25
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}}}{2}}}
sin
π
5
×
2
5
=
2
−
2
+
2
+
2
+
2.5
+
1.25
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}}}{2}}}
и т. д.
Радикальная форма, синус и косинус
π
{\displaystyle \pi }
/ (5 × 3 × 2n [ править | править код ]
cos
π
15
×
2
0
=
0.703125
+
1.875
+
0.3125
−
0.25
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}-0.25}{2}}}
cos
π
15
×
2
1
=
0.703125
+
1.875
+
0.3125
+
1.75
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}{2}}}
sin
π
15
×
2
1
=
2.25
−
0.703125
+
1.875
−
0.3125
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2.25-{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}-{\sqrt {0.3125}}}}{2}}}
cos
π
15
×
2
2
=
2
+
0.703125
+
1.875
+
0.3125
+
1.75
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}}
sin
π
15
×
2
2
=
2
−
0.703125
+
1.875
+
0.3125
+
1.75
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}}
cos
π
15
×
2
3
=
2
+
2
+
0.703125
+
1.875
+
0.3125
+
1.75
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}{2}}}
sin
π
15
×
2
3
=
2
−
2
+
0.703125
+
1.875
+
0.3125
+
1.75
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}{2}}}
cos
π
15
×
2
4
=
2
+
2
+
2
+
0.703125
+
1.875
+
0.3125
+
1.75
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}}
sin
π
15
×
2
4
=
2
−
2
+
2
+
0.703125
+
1.875
+
0.3125
+
1.75
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}}
cos
π
15
×
2
5
=
2
+
2
+
2
+
2
+
0.703125
+
1.875
+
0.3125
+
1.75
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}}}{2}}}
sin
π
15
×
2
5
=
2
−
2
+
2
+
2
+
0.703125
+
1.875
+
0.3125
+
1.75
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}}}{2}}}
и т. д.
Радикальная форма, синус и косинус
π
{\displaystyle \pi }
/ (17 × 2n ) [ править | править код ] Если
M
=
2
(
17
+
17
)
{\displaystyle M=2(17+{\sqrt {17}})}
N
=
2
(
17
−
17
)
{\displaystyle N=2(17-{\sqrt {17}})}
cos
π
17
=
M
−
4
+
2
(
N
+
2
(
2
M
−
N
+
17
N
−
N
−
8
M
)
)
8
.
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {\sqrt {M-4+2({\sqrt {N}}+{\sqrt {2(2M-N+{\sqrt {17N}}-{\sqrt {N}}-8{\sqrt {M}})}})}}{8}}.}
Затем, используя индукцию, получаем, что
cos
π
17
×
2
0
=
30
+
2
17
+
136
−
8
17
+
272
+
48
17
+
8
34
−
2
17
×
(
17
−
1
)
−
64
34
+
2
17
8
;
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {30+2{\sqrt {17}}+{\sqrt {136-8{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {272+48{\sqrt {17}}+8{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\times ({\sqrt {17}}-1)-64{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}}{8}};}
cos
π
17
×
2
n
+
1
=
2
+
2
cos
π
17
×
2
n
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}}
sin
π
17
×
2
n
+
1
=
2
−
2
cos
π
17
×
2
n
2
.
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.}
Радикальная форма, синус и косинус
π
{\displaystyle \pi }
/ (257 × 2n )
π
{\displaystyle \pi }
/ (65537 × 2n ) [ править | править код ] Индукция, применённая выше, может быть применена точно так же к любым простым числам Ферма (F3 =223 +1=28 +1=257 ; F4 =224 +1=216 +1=65537 ), кратные
π
{\displaystyle \pi }
cos
π
257
×
2
n
+
1
=
2
+
2
cos
π
257
×
2
n
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n}}}}}{2}}}
sin
π
257
×
2
n
+
1
=
2
−
2
cos
π
257
×
2
n
2
;
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n}}}}}{2}};}
cos
π
65537
×
2
n
+
1
=
2
+
2
cos
π
65537
×
2
n
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n}}}}}{2}}}
sin
π
65537
×
2
n
+
1
=
2
−
2
cos
π
65537
×
2
n
2
.
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n}}}}}{2}}.}
Радикальная форма, синус и косинус
π
{\displaystyle \pi }
/ (255 × 2n )
π
{\displaystyle \pi }
/ (65535 × 2n )
π
{\displaystyle \pi }
/ (4294967295 × 2n ) [ править | править код ] D = 232 — 1 = 4294967295 — самый большой известный на данный момент нечётный целый знаменатель, для которого радикальные формы sin(
π
{\displaystyle \pi }
π
{\displaystyle \pi }
cos
(
a
−
b
)
=
cos
a
×
cos
b
+
sin
a
×
sin
b
{\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b}
cos
π
255
×
2
0
=
2
+
2
cos
(
π
15
−
π
17
)
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{15}}-{\frac {\pi }{17}})}}{2}}}
sin
π
255
×
2
0
=
2
−
2
cos
(
π
15
−
π
17
)
2
;
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{15}}-{\frac {\pi }{17}})}}{2}};}
cos
π
255
×
2
n
+
1
=
2
+
2
cos
π
255
×
2
n
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n}}}}}{2}}}
sin
π
255
×
2
n
+
1
=
2
−
2
cos
π
255
×
2
n
2
;
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n}}}}}{2}};}
Следовательно, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило
cos
(
a
−
b
)
=
cos
a
×
cos
b
+
sin
a
×
sin
b
{\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b}
cos
π
65535
×
2
0
=
2
+
2
cos
(
π
255
−
π
257
)
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{255}}-{\frac {\pi }{257}})}}{2}}}
sin
π
65535
×
2
0
=
2
−
2
cos
(
π
255
−
π
257
)
2
;
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{255}}-{\frac {\pi }{257}})}}{2}};}
cos
π
65535
×
2
n
+
1
=
2
+
2
cos
π
65535
×
2
n
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n}}}}}{2}}}
sin
π
65535
×
2
n
+
1
=
2
−
2
cos
π
65535
×
2
n
2
.
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n}}}}}{2}}.}
И наконец, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило
cos
(
a
−
b
)
=
cos
a
×
cos
b
+
sin
a
×
sin
b
{\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b}
cos
π
4294967295
×
2
0
=
2
+
2
cos
(
π
65535
−
π
65537
)
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{65535}}-{\frac {\pi }{65537}})}}{2}}}
sin
π
4294967295
×
2
0
=
2
−
2
cos
(
π
65535
−
π
65537
)
2
;
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{65535}}-{\frac {\pi }{65537}})}}{2}};}
cos
π
4294967295
×
2
n
+
1
=
2
+
2
cos
π
4294967295
×
2
n
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n}}}}}{2}}}
sin
π
4294967295
×
2
n
+
1
=
2
−
2
cos
π
4294967295
×
2
n
2
.
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n}}}}}{2}}.}
Радикальная форма раскрытия, приведённого выше, очень велика, следовательно, выражена проще (как выше).
Хорда(36°) = a / b 1 / φ золотому сечению , из неравенства Птолемея Применяя неравенство Птолемея ко вписанному четырёхугольнику ABCD, определённому четырьмя последовательными вершинами пятиугольника, находим, что:
crd
36
∘
=
crd
(
∠
A
D
B
)
=
a
b
=
2
1
+
5
=
5
−
1
2
{\displaystyle \operatorname {crd} 36^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ADB} )={\frac {a}{b}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}
что равно обратному числу 1 / φ золотому сечению . crd — функция длины хорды,
crd
θ
=
2
sin
θ
2
.
{\displaystyle \operatorname {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2}}.\,}
А значит,
sin
18
∘
=
1
1
+
5
=
5
−
1
4
.
{\displaystyle \sin 18^{\circ }={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}.}
(Также можно обойтись и без неравенства Птолемея. Обозначим за X пересечение AC и BD, и заметим, что треугольник AXB равнобедренный , а значит, AX = AB = a . Треугольники AXD и CXB подобны , так как AD параллельно BC. Значит, XC = a ·(a / b a + a 2 / b b . Решив полученное, имеем, что a / b 1 / φ
Точно так же
crd
108
∘
=
crd
(
∠
A
B
C
)
=
b
a
=
1
+
5
2
,
{\displaystyle \operatorname {crd} \ 108^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},}
а значит,
sin
54
∘
=
cos
36
∘
=
1
+
5
4
.
{\displaystyle \sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.}
Если θ равно 18° или −54°, то 2θ и 3θ сводятся к 5θ = 90° или −270°, значит,
sin
2
θ
=
cos
3
θ
{\displaystyle \sin 2\theta =\cos 3\theta }
(
2
sin
θ
)
cos
θ
=
sin
2
θ
=
cos
3
θ
=
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
=
(
4
cos
2
θ
−
3
)
cos
θ
=
(
1
−
4
sin
2
θ
)
cos
θ
{\displaystyle (2\sin \theta )\cos \theta =\sin 2\theta =\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =(4\cos ^{2}\theta -3)\cos \theta =(1-4\sin ^{2}\theta )\cos \theta }
Далее,
4
sin
2
θ
+
2
sin
θ
−
1
=
0
{\displaystyle 4\sin ^{2}\theta +2\sin \theta -1=0}
sin
θ
=
sin
(
18
∘
,
−
54
∘
)
=
−
1
±
5
4
.
{\displaystyle \sin \theta =\sin(18^{\circ },-54^{\circ })={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}.}
Следовательно,
sin
(
18
∘
)
=
cos
(
72
∘
)
=
5
−
1
4
{\displaystyle \sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
sin
(
54
∘
)
=
cos
(
36
∘
)
=
5
+
1
4
{\displaystyle \sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
sin
(
36
∘
)
=
cos
(
54
∘
)
=
10
−
2
5
4
{\displaystyle \sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ })={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}
sin
(
72
∘
)
=
cos
(
18
∘
)
=
10
+
2
5
4
.
{\displaystyle \sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ })={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}.}
Также формулы кратного угла для функций от 5x , где x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, могут быть решены для функций от x , так как мы знаем значения функций от 5x . Далее следуют формулы кратного угла:
sin
5
x
=
16
sin
5
x
−
20
sin
3
x
+
5
sin
x
,
{\displaystyle \sin 5x=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x,\,}
cos
5
x
=
16
cos
5
x
−
20
cos
3
x
+
5
cos
x
.
{\displaystyle \cos 5x=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x.\,}
Если sin 5x = 0 или cos 5x = 0, обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y :
16
y
5
−
20
y
3
+
5
y
=
0.
{\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y=0.\,}
Один из корней равен 0, так что полученное уравнение четвёртой степени может быть решено как квадратное для y 2 . Если же sin 5x = 1 или cos 5x = 1, опять-таки обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y :
16
y
5
−
20
y
3
+
5
y
−
1
=
0
,
{\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0,\,}
что мы рассматриваем как:
(
y
−
1
)
(
4
y
2
+
2
y
−
1
)
2
=
0.
{\displaystyle (y-1)\left(4y^{2}+2y-1\right)^{2}=0.\,}
9° = 45 − 36 и 27° = 45 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса. 6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3, и 42° = 60 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса. 3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 и 39° = 54 − 15, так что можно использовать формулу разности (или суммы) для синуса и косинуса. Если знаменатель является корнем натуральной степени n > 1, числитель и знаменатель нужно умножить на этот радикал в степени n − 1:
1
3
=
3
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}={\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}
В общем случае если знаменатель — алгебраическое число второй степени (комплексное число вида
q
±
r
{\displaystyle q\pm {\sqrt {r}}}
q и r рациональны), то числитель и знаменатель нужно умножить на сопряжённое ему число:
1
1
+
3
=
1
−
3
(
1
+
3
)
(
1
−
3
)
=
1
−
3
−
2
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{1+{\sqrt {3}}}}={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{(1+{\sqrt {3}})(1-{\sqrt {3}})}}={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{-2}}.}
В некоторых случаях знаменатель нужно рационализировать больше одного раза:
csc
2
π
5
=
4
10
+
2
5
=
4
10
−
2
5
(
10
+
2
5
)
(
10
−
2
5
)
=
10
−
2
5
5
=
10
(
5
−
5
)
5
.
{\displaystyle \csc {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}={\tfrac {4{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})(10-2{\sqrt {5}})}}}={\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\sqrt {5}}}={\tfrac {\sqrt {10(5-{\sqrt {5}})}}{5}}.}
А если знаменатель представляет собой алгебраическое число более чем второй степени, то лучше всего будет не умножать на сопряжённые числа (хотя это тоже имеет место), а найти минимальный многочлен этого алгебраического числа, выразить через него многочлен, одним из корней какого является число, обратное этому числу, и найти корни последнего.
Дано число
sec
2
π
7
=
6
−
1
+
7
+
21
3
i
2
3
+
7
−
21
3
i
2
3
.
{\displaystyle \sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}}}.}
b
3
+
b
2
−
2
b
−
1
{\displaystyle b^{3}+b^{2}-2b-1}
выше ). Тогда сам секанс, делённый на 2, — корень многочлена
(
b
−
3
+
b
−
2
−
2
b
−
1
−
1
)
b
3
{\displaystyle (b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^{3}}
в итоге
sec
2
π
7
=
2
3
(
−
2
+
−
7
+
21
3
i
2
3
+
−
7
−
21
3
i
2
3
)
.
{\displaystyle \sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\tfrac {2}{3}}(-2+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7+21{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}).}
Превращение дроби в сумму (разность) двух (или более) дробей [ править | править код ] Иногда помогает разбиение одной дроби на сумму нескольких и дальнейшее их упрощение по отдельности. Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня [ править | править код ] Этот план может помочь, если выражение состоит из одного составного члена и в нём присутствует только один тип радикала. Возведите член в квадрат, сложите как члены и извлеките квадратный корень. Этот способ может оставить вложенные радикалы, но часто такое выражение проще первоначального. Упрощение выражений с вложенными радикалами [ править | править код ] В основном вложенные радикалы не упрощаются. Но если
a
±
b
c
{\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}\,}
где a , b и c — рациональные числа, получаем, что
R
=
a
2
−
b
2
c
{\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,}
рационально, затем оба выражения
d
=
a
+
R
2
и
e
=
a
−
R
2
{\displaystyle d={\frac {a+R}{2}}{\text{ и }}e={\frac {a-R}{2}}\,}
рациональны; следовательно
a
±
b
c
=
d
±
e
.
{\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.\,}
Например,
4
sin
18
∘
=
6
−
2
5
=
5
−
1.
{\displaystyle 4\sin 18^{\circ }={\sqrt {6-2{\sqrt {5}}}}={\sqrt {5}}-1.\,}
4
sin
15
∘
=
2
2
−
3
=
2
(
3
−
1
)
.
{\displaystyle 4\sin 15^{\circ }=2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right).}
Weisstein, Eric W. Constructible polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .Weisstein, Eric W. Trigonometry angles (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Bracken, Paul; Cizek, Jiri. Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of ζ (3)/
π
{\displaystyle \pi }
3 (англ.) // Int. J. Quantum Chem. (англ.) ( рус. : journal. — 2002. — Vol. 90 , no. 1 . — P. 42—53 . — doi :10.1002/qua.1803 .Conway, John H.; Radin, Charles (англ.) ( рус. ; Sadun, Lorenzo. On angles whose squared trigonometric functions are rational (англ.) // Disc. And Comp. Geom. : journal. — 1999. — Vol. 22 , no. 3 . — P. 321—332 . — doi :10.1007/PL00009463 . — arXiv :math-ph/9812019 .Girstmair, Kurt. Some linear relations between values of trigonometric functions at k
π
{\displaystyle \pi }
n (англ.) // Acta Arithmetica (англ.) ( рус. : journal. — 1997. — Vol. 81 , no. 4 . — P. 387—398 . — doi :10.4064/aa-81-4-387-398 .Gurak, S. On the minimal polynomial of gauss periods for prime powers (англ.) // Mathematics of Computation (англ.) ( рус. : journal. — 2006. — Vol. 75 , no. 256 . — P. 2021—2035 . — doi :10.1090/S0025-5718-06-01885-0 . — Bibcode : 2006MaCom..75.2021G Servi, L. D. Nested square roots of 2 (англ.) // Amer. Math. Monthly . — 2003. — Vol. 110 , no. 4 . — P. 326—330 . — doi :10.2307/3647881 . — JSTOR 3647881 
![{\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffa5de7add3f6f7b4afc01ad8e6e7104b4a7046)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da98fabf8f46f55ea647e4a6757b4e607181e589)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1228d7e22be483539e4ba91a0b4c9bfaf074eebe)
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2ac6239ea26bcfc4e7eefcc375f7f67b6a0acb)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144ab068f71d401bcb8ec8987d8018c61ae8c6f1)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9b4e8a2863bde89f5b1ae37d22baad628f22f1)
![{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08024470722b423345f24249ea960c772fc87ae)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faaeae93b89e95c0a8e8200d9bad47f118abf2eb)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b9e377cf6c04bd40f3bc4ab5b0fca74e5d990c)
![{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598d2e8e06f65d78a64d4c8450bff3de5e5c5220)
![{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ed3130d2995af89ffd7fed92ca75b79e11b580)
![{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cd8c6ce776c45fc5b1dfaa972f24628f4d57ab)
![{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d8b1c326975404f0f829d7b88fcfd06abfee06)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e993f388b8e08ebd1dba71a3f4ad111ddb584a8e)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcee767a64b00c15fc77ff93ae74a1eed826e4f4)
![{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde6336d3d6afde0136a7171d6f40a9e695c3436)
![{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84363bc38d47561a10590df7ae08c6353619596)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b4b7a37ba62359761765decd368d991aadcf0d)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880d0444ebb756556e3f8c7f6e34cc0519732c01)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)}}&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)&\\\hline 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25&{\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}}})&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}})&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16d95a27cb79ad13c81084bbfd45180940bf690)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}[\cos({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})+i\sin({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc8d964e6fcc7b51bd923892debbb2c297124d2)
![{\displaystyle [r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4136592bba98828df0c688dcb9f1fa0c65628666)
![{\displaystyle [(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5e762492388cbe0eff7d0dbce5af0428ff7be1)
![{\displaystyle v={\tfrac {\omega _{3}^{m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2}}},{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7c999d6f9b292341dcf4358d986acb25474054)
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4029305e73e42a60a1b3d8c8bd289835ddb64fad)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7\pm 21i{\sqrt {3}})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682a45599d74013010afd2be5121a0b42f726812)
![{\displaystyle {\frac {1}{6}}\left[-1+w+{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}w-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519188fbd6eeaa2561558adafd34af867250ffd0)
![{\displaystyle x=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce08ed0422df286f6a909add42d411d5c486705)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e0813cced8b22a1eb843990d9a6bb3640be2b8)
![{\displaystyle {\frac {1}{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {i}{2}}\left(\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa1b51ada0c0900b05d96987021db10da475801)
![{\displaystyle {\frac {1}{6}}\left[1-w-{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}y-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4392017b697321e79c6e07f7c6b648ebb70c7abf)
![{\displaystyle =\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{o_{1}}\left[{\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}})\right]^{o_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c858315c743721fa0c3b2bceba96792ced02d5)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{8}}[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b280d9589e39530a2671a87536618cea086a45f)
![{\displaystyle (2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a74d604ddaa34893f4090ff285901bad84c461)
![{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\pm \alpha \mp \beta )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fb02cdd5a9344145c2a9cceb1dd17c3ae691c6)
![{\displaystyle [6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]^{3}+6(-13\pm {\sqrt {13}})[6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]+8(-26\pm 5{\sqrt {13}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd1c6d4905e05458a32669dca8f5b6c10c30209)
![{\displaystyle {\begin{aligned}6b-(-1\pm {\sqrt {13}})&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}-{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\\&+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}+{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\\&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eab9e013bd4099f71806ec6578df51c3410e6ae)
![{\displaystyle \sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bb16357a93d37687e874450749d5c9f376f616)
![{\displaystyle \sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\tfrac {2}{3}}(-2+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7+21{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542e8d1cd631a0297cf54eadf8e0d4b6b2a0bbef)
