Аналитическая функция

Аналитическая (голоморфная) функция — функция, которая может быть представлена степенным рядом:

$\sum _{i}a_{i}x^{i},$

где ${\textstyle \forall {i}}$ ${\textstyle a_{i}}$ — комплексные коэффициенты, не зависящие от комплексной переменной ${\textstyle x}$.

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция $f$ называется аналитической в точке $z_{0}$, если сужение функции $f$ на некоторую окрестность $z_{0}$ является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке $z_{0}$, то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки $z_{0}$.

Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция $f(z)$, для которой в некоторой односвязной области $A\subset \mathbb {C}$, называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий:

1. Ряд Тейлора функции в каждой точке $z\in A$ сходится, и его сумма равна $f(z)$ (аналитичность в смысле Вейерштрасса).
2. В каждой точке $z=x+iy\in A$ выполняются условия Коши — Римана ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ и ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ Здесь $u(z)$ и $v(z)$ — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. (Аналитичность в смысле Коши — Римана.)
3. Интеграл $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ для любой замкнутой кривой $\Gamma \subset A$ (аналитичность в смысле Коши).
4. Функция $f(z)$ является голоморфной в области $A$. То есть $f(z)$ комплексно дифференцируема в каждой точке $z\in A$.

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность этих определений.

Свойства

• Арифметические свойства

Если $f(z)$ и $g(z)$ аналитичны в области $G\subset \mathbb {C}$

1. Функции $f(z)\pm g(z)$, $f(z)\cdot g(z)$ и $f(g(z))$ аналитичны в $G$.
2. Если $g(z)$ в области $G$ не обращается в ноль, то ${\frac {f(z)}{g(z)}}$ будет аналитична в $G$
3. Если $f'(z)$ в области $G$ не обращается в ноль, то $f^{-1}(z)$ будет аналитична в $G$.

• Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Для комплексных функций одной переменной верно и обратное.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме:

• Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области предельную точку, то функция тождественно равна нулю.
• Для функции от нескольких действительных переменных аналитичности по каждой из переменных недостаточно для аналитичности функции. Для функции от нескольких комплексных переменных аналитичности по каждой из переменных достаточно для аналитичности функции (Теорема Хартогса).

Примеры

Аналитическими являются суммы, разности, произведения и частные аналитических функций.

Все многочлены от $z$ являются аналитическими функциями на всей комплексной плоскости $\mathbb {C}$.

Далее, аналитическими, хотя и не на всей комплексной плоскости, являются рациональные функции (отличные от многочленов), логарифм, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и многие другие классы функций.

Примеры неаналитических функций на $\mathbb {C}$ включают

1. $f(z)=|z|$,
2. $f(z)={\overline {z}}$,

поскольку они не имеют комплексной производной ни в одной точке. При этом сужение $f(z)={\overline {z}}$ на вещественную ось будет аналитической функцией вещественного переменного (так как оно полностью совпадает с сужением функции $f(z)=z$).

См. также

• Теорема Хартогса
• Неравенство Лоясевича

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Conway, John B.. Functions of One Complex Variable I (англ.). — 2nd. — Springer-Verlag, 1978. — (Graduate Texts in Mathematics 11). — ISBN 978-0-387-90328-6.
• Krantz, Steven; Parks, Harold R.. A Primer of Real Analytic Functions (англ.). — 2nd. — Birkhäuser, 2002. — ISBN 0-8176-4264-1.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Analytic function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Analytic Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov (англ.)