Последовательность де Брёйна

Последовательность де Брёйна — циклический порядок $a_{1},\;\ldots ,\;a_{t}$, элементы которого принадлежат заданному конечному множеству (обычно рассматривают множество $\{0,\;1,\;\ldots ,\;k-1\}$), такой, что все его подпоследовательности $a_{i+1},\;\ldots ,\;a_{i+n}$ заданной длины $n$ различны.

Часто рассматриваются периодические последовательности с периодом $T$, содержащие $T$ различных подпоследовательностей $a_{i+1},\;\ldots ,\;a_{i+n}$, — то есть такие периодические последовательности, в которых любой отрезок длины $T+n-1$ является последовательностью де Брёйна с теми же параметрами $n$ и $k$.

Циклы названы по имени голландского математика Николаса де Брёйна, изучившего их в 1946 году, хотя они изучались и ранее.

Свойства

Очевидно, что длина (период) такого цикла не может превосходить $k^{n}$ — числа́ всех различных векторов длины $n$ с элементами из $\{0,\;1,\;\ldots ,\;k-1\}$; несложно доказать, что эта оценка достигается. Циклы этой максимально возможной длины обычно называют циклами де Брёйна (впрочем, иногда этот термин применяют и к циклам меньшей длины).

При $k=2$ существуют такие циклы де Брёйна с длиной, на единицу меньшей максимума, которые выражаются линейными рекуррентными соотношениями порядка $n$: так, при $n=3$ соотношение $x_{n}=x_{n-2}+x_{n-3}{\pmod {2}}$ порождает последовательности с периодом 7, например 0010111001011100… (цикл де Брёйна 0010111). На основе таких последовательностей построен, в частности, циклический избыточный код CRC32 (EDB88320).

Примеры

Примеры циклов де Брёйна для $k=2$ с периодом 2, 4, 8, 16:

• 01 (содержит подпоследовательности 0 и 1)
• 0011 (содержит подпоследовательности 00, 01, 11, 10)
• 00010111 (000, 001, 010, 101, 011, 111, 110, 100)
• 0000100110101111

Количество циклов де Брёйна

Количество циклов де Брёйна с параметрами $n$ и $k$ есть $k!^{k^{(n-1)}}/k^{n}$ (частный случай теоремы де Брёйна — BEST-теорема, названная по фамилиям де Брёйна, Татьяны Эренфест, Седрика Смита и Уильяма Татта).

Граф де Брёйна

Существует удобная интерпретация последовательностей и циклов де Брёйна, основанная на так называемом графе де Брёйна — ориентированном графе с $k^{n}$ вершинами, соответствующими $k^{n}$ различных наборов длины $n$ с элементами из $\{0,\;1,\;\ldots ,\;k-1\}$, в котором из вершины $(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ в вершину $(y_{1},\;\ldots ,\;y_{n})$ ребро ведёт в том и только том случае, когда $x_{i}=y_{i-1}$ ($i=2,\;\ldots ,\;n$); при этом самому ребру можно сопоставить набор длины $n+1$: $(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n},\;y_{n})=(x_{1},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{n})$. Для такого графа не проходящие дважды через одно и то же ребро эйлеровы пути (эйлеровы циклы) соответствуют последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами $n+1$ и $k$, а не проходящие дважды через одну и ту же вершину гамильтоновы пути (гамильтоновы циклы) — последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами $n$ и $k$.

Граф де Брёйна широко применяется в биоинформатике в задачах сборки генома.