Гармонический ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны[1].

Сумма первых n членов ряда[править | править вики-текст]

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

Некоторые значения частичных сумм[править | править вики-текст]

Формула Эйлера[править | править вики-текст]

В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых членов ряда:

,

где  — постоянная Эйлера — Маскерони, а  — натуральный логарифм.

При значение , следовательно, для больших :

 — формула Эйлера для суммы первых членов гармонического ряда.
Пример использования формулы Эйлера
, (%)
10 2,93 2,88 1,7
25 3,82 3,80 0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

, где  — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Теоретико-числовые свойства частичных сумм[править | править вики-текст]

Расходимость ряда[править | править вики-текст]

при

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

,

частичная сумма которого, очевидно, равна:

.

Доказательство Орема[править | править вики-текст]

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Альтернативное доказательство расходимости[править | править вики-текст]

Применим доказательство от противного, предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :

Гармонический ряд можно представить в виде суммы двух рядов:

Вынесем из второй скобки :

Заменим вторую скобку на :

Перенесём в левую часть:

Подставим обратно вместо сумму ряда:

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

не равно 0, так как каждая из скобок положительная.

Это означает, что  — есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию её из обеих сторон равенства недопустимы.

Частичные суммы[править | править вики-текст]

-ая частичная сумма гармонического ряда:

называется -ым гармоническим числом.

Разница между -м гармоническим числом и натуральным логарифмом сходится к постоянной Эйлера — Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме , не является целым[2].

Связанные ряды[править | править вики-текст]

Ряд Дирихле[править | править вики-текст]

Обобщённым гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд[3]

.

Обобщённый гармонический ряд расходится при и сходится при [3].

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка равна значению дзета-функции Римана:

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение .

Знакопеременный ряд[править | править вики-текст]

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия).

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

Это соотношение известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд[править | править вики-текст]

В 2003 году изучены[4][5] свойства случайного ряда

где независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642…,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10−42.

«Истончённый» гармонический ряд[править | править вики-текст]

Ряд Кемпнера (англ.)

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80[6]. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе , все меньше слагаемых берется для суммы «истончённого» ряда. То есть в конечном счете отбрасывается подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Р. Грэхэм, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — стр. 47. — С. 703 ISBN 5-03-003773-X
  2. Harmonic Number — from Wolfram MathWorld
  3. 1 2 Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
  4. «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003
  5. Schmuland’s preprint of Random Harmonic Series
  6. Nick’s Mathematical Puzzles: Solution 72