Гармонический ряд

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

$\sum _{k=1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots$.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: $k$-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной ${\frac {1}{k}}$ от длины исходной струны. Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов.

Суммы первых n членов ряда (частичные суммы)

Основная статья: Гармонические числа

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма бесконечна (ряд расходится). Частичная сумма n первых членов гармонического ряда называется n-м гармоническим числом:

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$

Разница между $n$-м гармоническим числом и натуральным логарифмом $n$ сходится к постоянной Эйлера — Маскерони $\gamma =0{,}5772...$.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме $H_{1}=1$, не является целым: $\forall n>1\;\;\;\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\notin \mathbb {N}$.

Некоторые значения частичных сумм

$H_{1}=1$
$H_{2}={\frac {3}{2}}=1{,}5$
$H_{3}={\frac {11}{6}}\approx 1{,}833$
$H_{4}={\frac {25}{12}}\approx 2{,}083$
$H_{5}={\frac {137}{60}}\approx 2{,}283$
$H_{6}={\frac {49}{20}}=2{,}45$
$H_{7}={\frac {363}{140}}\approx 2{,}593$
$H_{8}={\frac {761}{280}}\approx 2{,}718$
$H_{10^{3}}\approx 7{,}485$
$H_{10^{6}}\approx 14{,}393$

Формула Эйлера

В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых $n$ членов ряда:

$H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n}$,

где $\gamma =0{,}5772...$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а $\ln$ — натуральный логарифм.

При $n\rightarrow \infty$ значение $\varepsilon _{n}\rightarrow 0,$ следовательно, для больших $n$

$H_{n}\approx \ln n+\gamma$ — формула Эйлера для суммы первых $n$ членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера

$n$	$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$	$\ln n+\gamma$	$\varepsilon _{n}$, (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

$H_{n}\asymp \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}},$ где $B_{2k}$ — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Расходимость ряда

Гармонический ряд расходится: $s_{n}\rightarrow \infty$ при $n\rightarrow \infty ,$ однако очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1.5*10⁴³ элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его со следующим телескопическим рядом, который получается из логарифмирования $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e$:

$v_{n}=\ln(n+1)-\ln n=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<{\frac {1}{n}}.$

Частичная сумма этого ряда, очевидно, равна $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=\ln(n+1).$ Последовательность таких частичных сумм расходится; следовательно, по определению телескопический ряд расходится, но тогда из признака сравнения рядов следует, что гармонический ряд тоже расходится.

Доказательство через предел последовательности частичных сумм

Рассмотрим последовательность $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.$ Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть, что $\exists \varepsilon >0:\forall k\in \mathbb {N} \ \exists n>k,\exists p\in \mathbb {N} :\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert \geq \varepsilon .$ Оценим разность $\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert ={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}\geq {\frac {1}{n+p}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}={\frac {p}{n+p}}.$ Пусть $p\doteq n.$ Тогда $\forall n\in \mathbb {N} :\left\vert H_{2n}-H_{n}\right\vert \geq {\frac {1}{2}}.$ Следовательно, данная последовательность не является фундаментальной и по критерию Коши расходится. Тогда по определению ряд также расходится.

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, если сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, в котором знаменатели дополнены до степени двойки. Этот ряд группируется, и получается третий ряд, который расходится:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}$

(Группировка сходящихся рядов всегда дает сходящийся ряд, а значит если после группировки получился ряд расходящийся, то и исходный тоже расходится.)

Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Связанные ряды

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом (частный случай ряда Дирихле) называют ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+\cdots$.

Этот ряд расходится при $\alpha \leqslant 1$ и сходится при $\alpha >1$.

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка $\alpha$ равна значению дзета-функции Римана:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )$

Для целых чётных показателей это значение явно выражается через число пи — например, сумма ряда обратных квадратов $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$. Но уже для α=3 его значение (константа Апери) аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение $\zeta (1+{\frac {1}{n}})\sim n.$

Знакопеременный ряд

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия)

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots$

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

$1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.$

Эта формула — частный случай ряда Меркатора, то есть ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.$

Это соотношение известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд

В 2003 году изучены свойства случайного ряда

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},$

где $s_{n}$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2, имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642…,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10⁻⁴².

«Истончённый» гармонический ряд

См. Ряд Кемпнера

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшийся ряд сходится, и его сумма меньше 80. Позже была найдена более точная оценка, ряд Кемпнера сходится к $22{,}92067661926415034816$ (последовательность A082838 в OEIS). Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Из этого можно сделать ошибочное заключение о сходимости исходного гармонического ряда, что не верно, поскольку с ростом разрядов в числе $n$ всё меньше слагаемых берётся для суммы «истончённого» ряда. То есть, в конечном счёте отбрасывается подавляющее большинство членов, образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.