Гармонический ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны[1]. Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов.

Суммы первых n членов ряда (частичные суммы)[править | править код]

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. Частичная сумма n первых членов гармонического ряда называется nгармоническим числом:

Разница между -м гармоническим числом и натуральным логарифмом сходится к постоянной Эйлера — Маскерони .

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме , не является целым: [2].

Некоторые значения частичных сумм[править | править код]











Формула Эйлера[править | править код]

В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых членов ряда:

,

где  — постоянная Эйлера — Маскерони, а  — натуральный логарифм.

При значение следовательно, для больших

 — формула Эйлера для суммы первых членов гармонического ряда.
Пример использования формулы Эйлера
, (%)
10 2,93 2,88 1,7
25 3,82 3,80 0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

где  — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена[источник не указан 2004 дня].

Расходимость ряда[править | править код]

Гармонический ряд расходится: при однако очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1.5*1043 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его со следующим телескопическим рядом, который получается из логарифмирования :

Частичная сумма этого ряда, очевидно, равна Последовательность таких частичных сумм расходится; следовательно, по определению телескопический ряд расходится, но тогда из признака сравнения рядов следует, что гармонический ряд тоже расходится.

Доказательство через предел последовательности частичных сумм[3][править | править код]

Рассмотрим последовательность Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть, что Оценим разность Пусть Тогда Следовательно, данная последовательность не является фундаментальной и по критерию Коши расходится. Тогда по определению ряд также расходится.

Доказательство Орема[править | править код]

Доказательство расходимости можно построить, если сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, в котором знаменатели дополнены до степени двойки. Этот ряд группируется, и получается третий ряд, который расходится:

(Группировка сходящихся рядов всегда дает сходящийся ряд, а значит если после группировки получился ряд расходящийся, то и исходный тоже расходится.)

Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Связанные ряды[править | править код]

Обобщённый гармонический ряд[править | править код]

Обобщённым гармоническим рядом (частный случай ряда Дирихле) называют ряд[4]

.

Этот ряд расходится при и сходится при [4].

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка равна значению дзета-функции Римана:

Для целых чётных показателей это значение явно выражается через число пи — например, сумма ряда обратных квадратов . Но уже для α=3 его значение (константа Апери) аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение

Знакопеременный ряд[править | править код]

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия)

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула — частный случай ряда Меркатора, то есть ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

Это соотношение известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд[править | править код]

В 2003 году изучены[5][6] свойства случайного ряда

где  — независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2, имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642…,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10−42.

«Истончённый» гармонический ряд[править | править код]

См. Ряд Кемпнера[en]

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшийся ряд сходится, и его сумма меньше 80[7]. Позже была найдена более точная оценка, ряд Кемпнера сходится к (последовательность A082838 в OEIS). Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Из этого можно сделать ошибочное заключение о сходимости исходного гармонического ряда, что не верно, поскольку с ростом разрядов в числе всё меньше слагаемых берётся для суммы «истончённого» ряда. То есть, в конечном счёте отбрасывается подавляющее большинство членов, образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Примечания[править | править код]

  1. Грэхэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — С. 47. — 703 с. ISBN 5-03-003773-X
  2. Harmonic Number — from Wolfram MathWorld. Дата обращения: 6 марта 2010. Архивировано 16 мая 2013 года.
  3. Кудрявцев Н. Л. Лекции по математическому анализу. — 2013. — С. 35.
  4. 1 2 Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
  5. «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003
  6. Schmuland’s preprint of Random Harmonic Series. Дата обращения: 6 марта 2010. Архивировано 8 июня 2011 года.
  7. Nick’s Mathematical Puzzles: Solution 72. Дата обращения: 6 марта 2010. Архивировано 28 сентября 2010 года.