Движение (математика)

Движе́ние (или наложе́ние) — преобразование метрического пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками, то есть если $A'$ и $B'$ — образы точек $A$ и $B$, то $A'B'=AB$. Иначе говоря, движение — это изометрия пространства в себя.

Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях. В метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии) чаще говорят: изометрия пространства в себя. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.

Иногда под движением понимают преобразование евклидова пространства, сохраняющее ориентацию. В этом случае, осевая симметрия плоскости движением не считается, а поворот и параллельный перенос считаются движением. Аналогично для общих метрических пространств движением считается элемент группы изометрий из связной компоненты тождественного отображения.

В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.

Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.

Собственные и несобственные движения

Пусть $f\colon E\rightarrow E$ — движение евклидова точечного пространства $E,$ а $V$ — пространство свободных векторов для пространства $E$. Линейный оператор $Df\colon V\rightarrow V,$ ассоциированный с аффинным преобразованием $f,$ является ортогональным оператором, и поэтому его определитель может быть равен либо $1$ (собственный ортогональный оператор), либо $-1$ (несобственный ортогональный оператор). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если $\det Df=1$) и несобственные (если $\det Df=-1$).

Собственные движения сохраняют ориентацию пространства $E,$ несобственные — заменяют её на противоположную. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениями.

Всякое движение n-мерного евклидова точечного пространства $E$ может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n}),$ в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве $E$ ортонормированный репер $(O;e_{1},\ldots ,e_{n}).$ При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства $E$ (т. e. являются изометриями), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существует.

В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение). Если, следуя П. С. Александрову, называть непрерывным движением такое движение пространства $E,$ которое непрерывно зависит от параметра $t\in [t_{0},t_{1}]$ (при $n=3$ в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела), то ортонормированный репер $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n})$ может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера $(O;e_{1},\ldots ,e_{n})$ тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаково.

Частные виды изометрий

На прямой

Любое движение прямой есть либо параллельный перенос (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо отражение относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственным.

На плоскости

Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов:

• Параллельный перенос;
• Поворот;
• Осевая симметрия (отражение);
• Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.

Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственные.

В трёхмерном пространстве

Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов:

• Параллельный перенос;
• Поворот;
• Винтовое движение — суперпозиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой;
• Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
• Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
• Зеркальный поворот — суперпозиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства (теореме Шаля), а движения последних трёх типов являются несобственными.

В n-мерном пространстве

Суперпозиция двух отражений относительно непараллельных осей даёт поворот

Суперпозиция двух отражений относительно параллельных осей даёт параллельный перенос

В $n$-мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и суперпозициям тех и других.

В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно гиперплоскостей).

Движения как суперпозиции симметрий

Любую изометрию в $n$-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отражений.

Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое движение — четырёх.

Общие свойства изометрий

• Суперпозиция изометрий также является изометрией.
• Изометрии евклидова пространства E относительно операции суперпозиции образуют группу Iso(E), являющуюся группой Ли.
• Изометрия — частный случай аффинного преобразования (так что Iso(E) является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы Aff(E) пространства E).
• Группа Iso(E) состоит из двух связных компонент: множества Iso₊(E) собственных движений (которое само является группой Ли) и множества Iso_–(E) несобственных движений; каждая из этих компонент линейно связна.
• Изометрия, будучи аффинным преобразованием, всегда переводит отрезок снова в отрезок.

Литература

• Александров П. С. . Лекции по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1968. — 912 с.
• Берже М. . Геометрия. Т. 1. — М.: Мир, 1984. — 560 с.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. . Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.