Преобразование Гегенбауэра

Преобразование Гегенбауэра — интегральное преобразование $T\left\{F(t)\right\}$ функции $F(t)$:

$T\left\{F(t)\right\}=\int \limits _{-1}^{+1}(1-t^{2})^{\rho -1/2}C_{n}^{\rho }(t)F(t)dt=f_{n}^{\rho },$ $\rho >-1/2,~n=0,~1,~2,~\ldots ,$

где $C_{n}^{\rho }(t)$ — многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщенный ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то имеет место формула обращения

$F(t)=\sum _{n=0}^{\mathcal {1}}{{n!(n+\rho )\Gamma ^{2}(\rho )2^{2\rho -1}} \over {\pi \Gamma (n+2\rho )}}C_{n}^{\rho }(t)f_{n}^{\rho }(t),~-1<t<1$

Преобразование Гегенбауэра сводит дифференциальную операцию

$R\left[F(t)\right]=(1-t^{2})F^{\prime \prime }-(2\rho +1)tF^{\prime }$

к алгебраической

$T\left\{R\left[F(t)\right]\right\}=-n(n+2\rho )f_{n}^{\rho }$

Названо в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

Литература

• Диткин В. А., Прудников А. П., в сб.: Итог науки. Сер. Математика. Математический анализ. 1966, М., 1967, с. 7—82.