Преобразование Конторовича — Лебедева

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Преобразование Конторовича — Лебедева — интегральное преобразование, задаваемое для функции формулой:

где функция Макдональда. Обратное преобразование имеет вид:

Впервые данное преобразование было рассмотрено М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым в 1938 году.

Другие определения[править | править код]

Иногда преобразование Конторовича — Лебедева определяют в более симметричной форме:

Ещё одним вариантом определения является:

Условия обратимости[править | править код]

Пусть функция является непрерывной вместе со своей производной, удовлетворяющая условиями , тогда она может быть получена из своего образа посредством обратного преобразования:

Более общая формула обращения может быть получена, если имеет ограниченное изменение в точке и

тогда:

,

в частности если, кроме того, для любого выполнено:

,

то

.

Теорема Парсеваля[править | править код]

Для преобразования Конторовича — Лебедева справедлив аналог теоремы Парсеваля:

Пусть вещественная функция, удовлетворяющая условиям:

тогда

Справедлива и более общая теорема:

Пусть — две вещественные функции, удовлетворяющая условиям:

тогда

Таблица преобразований[править | править код]

Функция Образ
1
2
3
4
5
6
7
8

9

10

11

12

Конечное преобразование Конторовича — Лебедева[править | править код]

Конечное преобразование Конторовича — Лебедева имеет вид:

где функция Инфельда.

Литература[править | править код]

  • Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физмагиз, 1961.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970