Текущая версия страницы пока
не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от
версии , проверенной 21 июня 2013;
проверки требуют
3 правки .
Текущая версия страницы пока
не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от
версии , проверенной 21 июня 2013;
проверки требуют
3 правки .
Преобразование Конторовича — Лебедева — интегральное преобразование , задаваемое для функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
формулой:
F
(
τ
)
=
∫
0
∞
f
(
x
)
K
i
τ
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle F(\tau )=\int _{0}^{\infty }f(x)K_{i\tau }(x)dx,}
где
K
ν
(
x
)
{\displaystyle K_{\nu }(x)}
— функция Макдональда . Обратное преобразование имеет вид:
f
(
x
)
=
2
π
2
x
∫
0
∞
K
i
τ
(
x
)
τ
s
h
π
τ
F
(
τ
)
d
τ
,
x
>
0.
{\displaystyle f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x)\;\tau \;\mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau ,\qquad x>0.}
Впервые данное преобразование было рассмотрено М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым в 1938 году.
Иногда преобразование Конторовича — Лебедева определяют в более симметричной форме:
F
s
(
τ
)
=
∫
0
∞
f
(
x
)
K
i
τ
(
x
)
x
d
x
,
τ
⩾
0
,
{\displaystyle F^{s}(\tau )=\int _{0}^{\infty }f(x){\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}dx,\qquad \tau \geqslant 0,}
f
(
x
)
=
∫
0
∞
F
s
(
τ
)
2
τ
s
h
π
τ
π
2
K
i
τ
(
x
)
x
d
τ
,
x
>
0.
{\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }F^{s}(\tau ){\frac {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }{\pi ^{2}}}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}d\tau ,\qquad x>0.}
Ещё одним вариантом определения является:
F
a
(
τ
)
=
2
τ
s
h
π
τ
π
2
∫
0
∞
f
(
x
)
K
i
τ
(
x
)
x
d
x
,
τ
⩾
0
,
{\displaystyle F^{a}(\tau )={\frac {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }f(x){\frac {K_{i\tau }(x)}{x}}dx,\qquad \tau \geqslant 0,}
f
(
x
)
=
∫
0
∞
F
a
(
τ
)
K
i
τ
(
x
)
d
τ
,
x
>
0.
{\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }F^{a}(\tau )K_{i\tau }(x)d\tau ,\qquad x>0.}
Пусть функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
является непрерывной вместе со своей производной , удовлетворяющая условиями
x
f
(
x
)
,
x
2
f
(
x
)
∈
L
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle xf(x),x^{2}f(x)\in L(0,+\infty )}
, тогда она может быть получена из своего образа
F
(
τ
)
{\displaystyle F(\tau )}
посредством обратного преобразования:
f
(
x
)
=
2
π
2
x
∫
0
∞
K
i
τ
(
x
)
τ
s
h
π
τ
F
(
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x)\;\tau \;\mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau .}
Более общая формула обращения может быть получена, если
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
имеет ограниченное изменение в точке
x
0
>
0
{\displaystyle x_{0}>0}
и
f
(
x
)
ln
x
∈
L
(
0
,
1
2
)
,
f
(
x
)
x
∈
L
(
1
2
,
∞
)
,
{\displaystyle f(x)\ln x\in L\left(0,{\frac {1}{2}}\right),f(x){\sqrt {x}}\in L\left({\frac {1}{2}},\infty \right),}
тогда:
f
(
x
0
+
0
)
+
f
(
x
0
−
0
)
2
=
2
π
2
x
0
∫
0
∞
K
i
τ
(
x
0
)
τ
s
h
π
τ
F
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}}={\frac {2}{\pi ^{2}x_{0}}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x_{0})\;\tau \;\mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau }
,
в частности если, кроме того, для любого
x
{\displaystyle x}
выполнено:
f
(
x
+
0
)
+
f
(
x
−
0
)
2
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f(x+0)+f(x-0)}{2}}=f(x)}
,
то
f
(
x
)
=
2
π
2
x
∫
0
∞
K
i
τ
(
x
)
τ
s
h
π
τ
F
(
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x)\;\tau \;\mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau .}
.
Для преобразования Конторовича — Лебедева справедлив аналог теоремы Парсеваля :
Пусть
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
— вещественная функция , удовлетворяющая условиям:
g
(
x
)
x
−
3
4
∈
L
(
0
,
+
∞
)
,
{\displaystyle g(x)x^{-{\frac {3}{4}}}\in L(0,+\infty ),}
g
(
x
)
∈
L
2
(
0
,
+
∞
)
,
{\displaystyle g(x)\in L_{2}(0,+\infty ),}
G
(
τ
)
=
∫
0
∞
g
(
x
)
2
τ
s
h
π
τ
π
K
i
τ
(
x
)
x
d
x
{\displaystyle G(\tau )=\int _{0}^{\infty }g(x){\frac {\sqrt {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }}{\pi }}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}dx}
тогда
∫
0
∞
(
G
(
τ
)
)
2
d
τ
=
∫
0
∞
(
g
(
x
)
)
2
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(G(\tau )\right)^{2}d\tau =\int _{0}^{\infty }\left(g(x)\right)^{2}dx.}
Справедлива и более общая теорема:
Пусть
g
i
(
x
)
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle g_{i}(x),\quad i=1,2}
— две вещественные функции , удовлетворяющая условиям:
g
i
(
x
)
x
−
3
4
∈
L
(
0
,
+
∞
)
,
{\displaystyle g_{i}(x)x^{-{\frac {3}{4}}}\in L(0,+\infty ),}
g
i
(
x
)
∈
L
2
(
0
,
+
∞
)
,
{\displaystyle g_{i}(x)\in L_{2}(0,+\infty ),}
G
i
(
τ
)
=
∫
0
∞
g
i
(
x
)
2
τ
s
h
π
τ
π
K
i
τ
(
x
)
x
d
x
{\displaystyle G_{i}(\tau )=\int _{0}^{\infty }g_{i}(x){\frac {\sqrt {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }}{\pi }}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}dx}
тогда
∫
0
∞
G
1
(
τ
)
G
2
(
τ
)
d
τ
=
∫
0
∞
g
1
(
x
)
g
2
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }g_{1}(x)g_{2}(x)dx.}
Функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Образ
F
(
τ
)
=
∫
0
∞
f
(
x
)
K
i
τ
(
x
)
d
x
,
τ
>
0.
{\displaystyle F(\tau )=\int _{0}^{\infty }f(x)K_{i\tau }(x)dx,\quad \tau >0.}
1
x
sin
(
α
x
)
,
|
I
m
α
|
<
π
2
{\displaystyle x\sin(\alpha x),\quad |\mathrm {Im} \,\alpha |<{\frac {\pi }{2}}}
π
τ
2
s
h
α
e
−
τ
c
h
α
{\displaystyle {\frac {\pi \tau }{2}}\mathrm {sh} \,\alpha e^{-\tau \mathrm {ch} \,\alpha }}
2
cos
(
α
x
)
,
|
I
m
α
|
<
π
2
{\displaystyle \cos(\alpha x),\quad |\mathrm {Im} \,\alpha |<{\frac {\pi }{2}}}
π
2
e
−
τ
c
h
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}e^{-\tau \mathrm {ch} \,\alpha }}
3
x
t
h
(
π
x
)
P
−
1
2
+
i
x
(
z
)
{\displaystyle x\mathrm {th} \,(\pi x)P_{-{\frac {1}{2}}+ix}(z)}
π
τ
2
e
−
τ
z
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi \tau }{2}}}e^{-\tau z}}
4
x
t
h
(
π
x
)
K
i
x
(
z
)
,
|
a
r
g
z
|
<
π
{\displaystyle x\mathrm {th} \,(\pi x)K_{ix}(z),\quad |\mathrm {arg} \,z|<\pi }
π
2
τ
z
e
−
τ
−
z
z
+
τ
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\tau z}}{\frac {e^{-\tau -z}}{z+\tau }}}
5
x
s
h
(
π
x
)
K
2
i
x
(
z
)
,
|
a
r
g
z
|
<
π
4
{\displaystyle x\mathrm {sh} \,(\pi x)K_{2ix}(z),\quad |\mathrm {arg} \,z|<{\frac {\pi }{4}}}
π
3
z
2
2
5
τ
e
−
τ
−
z
2
8
τ
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi ^{3}z^{2}}{2^{5}\tau }}}e^{-\tau -{\frac {z^{2}}{8\tau }}}}
6
x
sin
(
π
x
2
)
K
i
x
2
(
z
)
,
|
a
r
g
z
|
<
π
2
{\displaystyle x\sin({\frac {\pi x}{2}})K_{\frac {ix}{2}}(z),\quad |\mathrm {arg} \,z|<{\frac {\pi }{2}}}
π
3
τ
2
2
z
e
−
z
−
τ
2
8
z
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi ^{3}\tau ^{2}}{2z}}}e^{-z-{\frac {\tau ^{2}}{8z}}}}
7
c
h
(
α
x
)
K
i
x
(
z
)
,
|
R
e
α
|
+
|
a
r
g
z
|
<
π
{\displaystyle \mathrm {ch} \,(\alpha x)K_{ix}(z),\quad |\mathrm {Re} \,\alpha |+|\mathrm {arg} \,z|<\pi }
π
2
K
0
(
τ
2
+
z
2
+
2
z
τ
cos
α
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}K_{0}({\sqrt {\tau ^{2}+z^{2}+2z\tau \cos \alpha }})}
8
x
x
2
+
n
2
s
h
(
π
x
)
K
i
x
(
z
)
,
z
>
0
,
n
∈
Z
+
{\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+n^{2}}}\ \mathrm {sh} \,(\pi x)K_{ix}(z),\quad z>0,\ n\in \mathbb {Z} _{+}}
π
2
2
I
n
(
τ
)
K
n
(
z
)
,
0
<
τ
<
z
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}I_{n}(\tau )K_{n}(z),0<\tau <z}
π
2
2
I
n
(
z
)
K
n
(
τ
)
,
z
<
τ
<
∞
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}I_{n}(z)K_{n}(\tau ),z<\tau <\infty }
9
x
s
h
(
π
x
)
K
i
x
(
y
)
K
i
x
(
z
)
,
{\displaystyle x\mathrm {sh} \,(\pi x)K_{ix}(y)K_{ix}(z),}
|
a
r
g
y
|
+
|
a
r
g
z
|
<
π
2
{\displaystyle |\mathrm {arg} \,y|+|\mathrm {arg} \,z|<{\frac {\pi }{2}}}
π
2
4
e
−
τ
2
(
y
z
+
z
y
+
y
z
τ
2
)
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{4}}e^{-{\frac {\tau }{2}}\left({\frac {y}{z}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {yz}{\tau ^{2}}}\right)}}
10
x
s
h
(
π
x
2
)
K
i
x
2
(
y
)
K
i
x
2
(
z
)
,
{\displaystyle x\mathrm {sh} \,({\frac {\pi x}{2}})K_{\frac {ix}{2}}(y)K_{\frac {ix}{2}}(z),}
|
a
r
g
y
|
+
|
a
r
g
z
|
<
π
{\displaystyle |\mathrm {arg} \,y|+|\mathrm {arg} \,z|<\pi }
π
2
τ
2
τ
2
+
4
y
z
e
−
(
y
+
z
)
2
τ
2
y
z
+
4
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\tau }{2{\sqrt {\tau ^{2}+4yz}}}}e^{-{\frac {(y+z)}{2}}{\sqrt {{\frac {\tau ^{2}}{yz}}+4}}}}
11
x
s
h
(
π
x
)
K
i
x
2
+
λ
(
z
)
K
i
x
2
−
λ
(
z
)
,
z
>
0
{\displaystyle x\mathrm {sh} \,(\pi x)K_{{\frac {ix}{2}}+\lambda }(z)K_{{\frac {ix}{2}}-\lambda }(z),\quad z>0}
0
,
0
<
τ
<
2
z
{\displaystyle 0,0<\tau <2z}
π
2
τ
2
2
λ
+
1
z
2
λ
τ
2
−
4
z
2
(
(
τ
+
τ
2
−
4
z
2
)
2
λ
+
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\tau }{2^{2\lambda +1}z^{2\lambda }{\sqrt {\tau ^{2}-4z^{2}}}}}\left((\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4z^{2}}})^{2\lambda }+\right.}
+
(
τ
−
τ
2
−
4
z
2
)
2
λ
)
,
2
z
<
τ
<
∞
{\displaystyle \left.+(\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4z^{2}}})^{2\lambda }\right),2z<\tau <\infty }
12
x
s
h
(
π
x
)
Γ
(
λ
+
i
x
)
Γ
(
λ
−
i
x
)
K
i
x
(
z
)
,
{\displaystyle x\mathrm {sh} \,(\pi x)\Gamma (\lambda +ix)\Gamma (\lambda -ix)K_{ix}(z),}
|
a
r
g
z
|
<
π
,
R
e
λ
>
0
{\displaystyle |\mathrm {arg} \,z|<\pi ,\;\mathrm {Re} \,\lambda >0}
2
λ
−
1
π
3
2
(
z
τ
)
λ
(
τ
+
z
)
−
λ
Γ
(
λ
+
1
2
)
K
λ
(
τ
+
z
)
{\displaystyle 2^{\lambda -1}\pi ^{\frac {3}{2}}(z\tau )^{\lambda }(\tau +z)^{-\lambda }\Gamma \left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)K_{\lambda }(\tau +z)}
Конечное преобразование Конторовича — Лебедева [ править | править код ]
Конечное преобразование Конторовича — Лебедева имеет вид:
F
α
(
τ
)
=
2
τ
s
h
π
τ
π
2
|
I
i
α
(
α
)
|
2
∫
0
α
(
K
i
τ
(
α
)
I
i
τ
(
x
)
−
K
i
τ
(
x
)
I
i
τ
(
α
)
)
f
(
x
)
d
x
x
,
τ
>
0
{\displaystyle F_{\alpha }(\tau )={\frac {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }{\pi ^{2}|I_{i\alpha }(\alpha )|^{2}}}\int _{0}^{\alpha }\left(K_{i\tau }(\alpha )I_{i\tau }(x)-K_{i\tau }(x)I_{i\tau }(\alpha )\right)f(x){\frac {dx}{x}},\quad \tau >0}
где
I
ν
(
x
)
{\displaystyle I_{\nu }(x)}
— функция Инфельда .
Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
Диткин В. А. , Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М. : Физмагиз, 1961.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970