Преобразование Конторовича — Лебедева

Преобразование Конторовича — Лебедева — интегральное преобразование, задаваемое для функции $f(x)$ формулой:

$F(\tau )=\int _{0}^{\infty }f(x)K_{i\tau }(x)dx,$

где $K_{\nu }(x)$ — функция Макдональда. Обратное преобразование имеет вид:

$f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x)\;\tau \;\mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau ,\qquad x>0.$

Впервые данное преобразование было рассмотрено М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым в 1938 году.

Другие определения

Иногда преобразование Конторовича — Лебедева определяют в более симметричной форме:

$F^{s}(\tau )=\int _{0}^{\infty }f(x){\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}dx,\qquad \tau \geqslant 0,$

$f(x)=\int _{0}^{\infty }F^{s}(\tau ){\frac {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }{\pi ^{2}}}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}d\tau ,\qquad x>0.$

Ещё одним вариантом определения является:

$F^{a}(\tau )={\frac {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }f(x){\frac {K_{i\tau }(x)}{x}}dx,\qquad \tau \geqslant 0,$

$f(x)=\int _{0}^{\infty }F^{a}(\tau )K_{i\tau }(x)d\tau ,\qquad x>0.$

Условия обратимости

Пусть функция $f(x)$ является непрерывной вместе со своей производной, удовлетворяющая условиями $xf(x),x^{2}f(x)\in L(0,+\infty )$, тогда она может быть получена из своего образа $F(\tau )$ посредством обратного преобразования:

$f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x)\;\tau \;\mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau .$

Более общая формула обращения может быть получена, если $f(x)$ имеет ограниченное изменение в точке $x_{0}>0$ и

$f(x)\ln x\in L\left(0,{\frac {1}{2}}\right),f(x){\sqrt {x}}\in L\left({\frac {1}{2}},\infty \right),$

тогда:

${\frac {f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}}={\frac {2}{\pi ^{2}x_{0}}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x_{0})\;\tau \;\mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau$,

в частности если, кроме того, для любого $x$ выполнено:

${\frac {f(x+0)+f(x-0)}{2}}=f(x)$,

то

$f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x)\;\tau \;\mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau .$

Теорема Парсеваля

Для преобразования Конторовича — Лебедева справедлив аналог теоремы Парсеваля:

Пусть $g(x)$ — вещественная функция, удовлетворяющая условиям:

• $g(x)x^{-{\frac {3}{4}}}\in L(0,+\infty ),$

• $g(x)\in L_{2}(0,+\infty ),$

$G(\tau )=\int _{0}^{\infty }g(x){\frac {\sqrt {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }}{\pi }}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}dx$

тогда

$\int _{0}^{\infty }\left(G(\tau )\right)^{2}d\tau =\int _{0}^{\infty }\left(g(x)\right)^{2}dx.$

Справедлива и более общая теорема:

Пусть $g_{i}(x),\quad i=1,2$ — две вещественные функции, удовлетворяющая условиям:

• $g_{i}(x)x^{-{\frac {3}{4}}}\in L(0,+\infty ),$

• $g_{i}(x)\in L_{2}(0,+\infty ),$

$G_{i}(\tau )=\int _{0}^{\infty }g_{i}(x){\frac {\sqrt {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }}{\pi }}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}dx$

тогда

$\int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }g_{1}(x)g_{2}(x)dx.$

Таблица преобразований

	Функция $f(x)$	Образ $F(\tau )=\int _{0}^{\infty }f(x)K_{i\tau }(x)dx,\quad \tau >0.$
1	$x\sin(\alpha x),\quad |\mathrm {Im} \,\alpha |<{\frac {\pi }{2}}$	${\frac {\pi \tau }{2}}\mathrm {sh} \,\alpha e^{-\tau \mathrm {ch} \,\alpha }$
2	$\cos(\alpha x),\quad |\mathrm {Im} \,\alpha |<{\frac {\pi }{2}}$	${\frac {\pi }{2}}e^{-\tau \mathrm {ch} \,\alpha }$
3	$x\mathrm {th} \,(\pi x)P_{-{\frac {1}{2}}+ix}(z)$	${\sqrt {\frac {\pi \tau }{2}}}e^{-\tau z}$
4	$x\mathrm {th} \,(\pi x)K_{ix}(z),\quad |\mathrm {arg} \,z|<\pi$	${\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\tau z}}{\frac {e^{-\tau -z}}{z+\tau }}$
5	$x\mathrm {sh} \,(\pi x)K_{2ix}(z),\quad |\mathrm {arg} \,z|<{\frac {\pi }{4}}$	${\sqrt {\frac {\pi ^{3}z^{2}}{2^{5}\tau }}}e^{-\tau -{\frac {z^{2}}{8\tau }}}$
6	$x\sin({\frac {\pi x}{2}})K_{\frac {ix}{2}}(z),\quad |\mathrm {arg} \,z|<{\frac {\pi }{2}}$	${\sqrt {\frac {\pi ^{3}\tau ^{2}}{2z}}}e^{-z-{\frac {\tau ^{2}}{8z}}}$
7	$\mathrm {ch} \,(\alpha x)K_{ix}(z),\quad |\mathrm {Re} \,\alpha |+|\mathrm {arg} \,z|<\pi$	${\frac {\pi }{2}}K_{0}({\sqrt {\tau ^{2}+z^{2}+2z\tau \cos \alpha }})$
8	${\frac {x}{x^{2}+n^{2}}}\ \mathrm {sh} \,(\pi x)K_{ix}(z),\quad z>0,\ n\in \mathbb {Z} _{+}$	${\frac {\pi ^{2}}{2}}I_{n}(\tau )K_{n}(z),0<\tau <z$ ${\frac {\pi ^{2}}{2}}I_{n}(z)K_{n}(\tau ),z<\tau <\infty$
9	$x\mathrm {sh} \,(\pi x)K_{ix}(y)K_{ix}(z),$ $|\mathrm {arg} \,y|+|\mathrm {arg} \,z|<{\frac {\pi }{2}}$	${\frac {\pi ^{2}}{4}}e^{-{\frac {\tau }{2}}\left({\frac {y}{z}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {yz}{\tau ^{2}}}\right)}$
10	$x\mathrm {sh} \,({\frac {\pi x}{2}})K_{\frac {ix}{2}}(y)K_{\frac {ix}{2}}(z),$ $|\mathrm {arg} \,y|+|\mathrm {arg} \,z|<\pi$	${\frac {\pi ^{2}\tau }{2{\sqrt {\tau ^{2}+4yz}}}}e^{-{\frac {(y+z)}{2}}{\sqrt {{\frac {\tau ^{2}}{yz}}+4}}}$
11	$x\mathrm {sh} \,(\pi x)K_{{\frac {ix}{2}}+\lambda }(z)K_{{\frac {ix}{2}}-\lambda }(z),\quad z>0$	$0,0<\tau <2z$ ${\frac {\pi ^{2}\tau }{2^{2\lambda +1}z^{2\lambda }{\sqrt {\tau ^{2}-4z^{2}}}}}\left((\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4z^{2}}})^{2\lambda }+\right.$ $\left.+(\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4z^{2}}})^{2\lambda }\right),2z<\tau <\infty$
12	$x\mathrm {sh} \,(\pi x)\Gamma (\lambda +ix)\Gamma (\lambda -ix)K_{ix}(z),$ $|\mathrm {arg} \,z|<\pi ,\;\mathrm {Re} \,\lambda >0$	$2^{\lambda -1}\pi ^{\frac {3}{2}}(z\tau )^{\lambda }(\tau +z)^{-\lambda }\Gamma \left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)K_{\lambda }(\tau +z)$

Конечное преобразование Конторовича — Лебедева

Конечное преобразование Конторовича — Лебедева имеет вид:

$F_{\alpha }(\tau )={\frac {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }{\pi ^{2}|I_{i\alpha }(\alpha )|^{2}}}\int _{0}^{\alpha }\left(K_{i\tau }(\alpha )I_{i\tau }(x)-K_{i\tau }(x)I_{i\tau }(\alpha )\right)f(x){\frac {dx}{x}},\quad \tau >0$

где $I_{\nu }(x)$ — функция Инфельда.

Литература

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физмагиз, 1961.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970