Преобразование Мелера — Фока

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Мелера — Фока функции имеет вид:

где сферическая функция Лежандра первого рода. Если вещественная функция, причём

тогда интеграл , понимаемый в смысле Лебега, представляет вещественную функцию, определённую для любых .

Обратное преобразование имеет вид:

Данное преобразование было впервые введено Г. Ф. Мелером в 1881 году, основные касающиеся его теоремы были доказаны В. А. Фоком.

Преобразование Мелера — Фока находит применение при решении задач теории потенциала, теории теплопроводности, при решении линейных интегральных уравнений и других задач математической физики.

Другие определения[править | править вики-текст]

Иногда определение распространяют и на , полагая

В основе теории преобразования Мелера — Фока лежит разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье:

На его основе могут быть получены другие возможные определения преобразования Мелера — Фока.

В литературе встречается определение:

Тогда, если , — локально интегрируема на и , верна формула обращения:

Вычисление[править | править вики-текст]

Фактическое вычисление преобразования Мелера — Фока осуществляется посредством интегральных представлений функций Лежандра и последующей смены порядка интегрирования.

Примерами, таких интегральных представлений являются:

(данное представление также называют интегралом Мелера)

Равенство Парсеваля[править | править вики-текст]

Для преобразования Мелера — Фока может быть получен аналог равенства Парсеваля для преобразования Фурье.

Пусть — две произвольные функции, удовлетворяющие условиям:

а преобразование Мелера — Фока задано равенствами:

тогда выполнено равенство Парсеваля для преобразования Мелера — Фока:

Пример использования[править | править вики-текст]

Рассмотрим пример решения с помощью преобразования Мелера — Фока интегрального уравнения:

Пусть преобразования Мелера — Фока

существуют.

Тогда уравнение может быть преобразовано к виду:

откуда:

Если — непрерывная функция ограниченной вариации во всяком конечном интервале причём

то посредством формулы обращения получим решение исходного уравнения:

Обобщённое преобразование Мелера — Фока[править | править вики-текст]

Обобщённое преобразование Мелера — Фока задаётся формулой:

где — присоединённые функции Лежандра 1-го рода.

Соответствующая формула обращения:

Частные случаи[править | править вики-текст]

  1. При получится случай обычного преобразования Мелера — Фока .
  2. При получится косинус-преобразование Фурье.
  3. При получится синус-преобразование Фурье.

Литература[править | править вики-текст]

  • Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961