Преобразование Стилтьеса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Стилтьеса — это интегральное преобразование, которое для функции имеет вид:

где интегрирование ведётся по вещественной полуоси, а меняется в комплексной плоскости, с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.

Данное преобразование является преобразованием свёртки, оно возникает при итерировании преобразования Лапласа. Преобразование Стилтьеса связано также с проблемой моментов для полубесконечного промежутки и, как следствие, с некоторыми цепными дробями.

Если непрерывна и ограничена на , то справедлива формула обращения:

Впервые данное преобразование было рассмотрено Т. И. Стилтьесом.

Итерирование преобразования Лапласа[править | править вики-текст]

Обозначим прямое преобразования Лапласа функции (переменной ) как функцию новой переменной как

Тогда повторное (итерированное) преобразование Лапласа

представляет собой преобразование Стильтьеса (после взятия интегралла по ).

Поэтому многие свойства преобразования Стильтьеса могут быть получены непосредственное из свойств преобразования Лапласа.

Основные свойства и теоремы[править | править вики-текст]

Обозначим преобразование Стилтьеса функции как

Соответствующее обратное преобразование, обозначим как:

  • Умножение оригинала на переменную

В сумме изображение оригинала, умноженного на переменную, и произведение переменной на образ равны константе, равной интегралу по положительной вещественной полуоси от оригинала:


  • Разностная производная образов
  • Разностная производная оригиналов
  • Растяжение по аргументу

При масштабировании переменной оригинала в раз, переменная образа также масштабируется в раз:

  • Дифференцирование оригинала

Сумма образа производной и производной образа равна константе, поделённой на переменную образа, причём данная константа равна значению оригинала в нуле, взятому с обратным знаком:

Обобщения[править | править вики-текст]

Обобщённое преобразование Стилтьеса[править | править вики-текст]

Интегрированное преобразование Стилтьеса[править | править вики-текст]

где

Литература[править | править вики-текст]

  • Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970