Обсуждение:Комплексное число/Архив/3

Предуведомление

На этой странице используется экспериментальная форма организации работы над статьёй: отдельно обсуждается предмет статьи, способы и подходы к подаче материала, набор отражаемых в статье тем, и, также отдельно, структурный план статьи и работа над конкретными разделами (создание разделов, изменение разделов, удаление разделов, слияние разделов, разбиение на разделы). Для того, чтобы оставить своё мнение о статье, существует раздел «Рецензирование».

При разрастании дискуссии будут архивироваться, а их результаты — кратко описываться на этой странице. Я перенесу сюда из старых обсуждений всё, что понадобится для текущей работы над статьёй. За неделю, я думаю, страница приобретёт свой закончнный вид и будет пригодна для совместной работы.

Я пока уберу из статьи всё, что пока не выглядит энцилопедичным и постараюсь вернуть в статью то, что таковым представляется. Далее, все будущие правки будет необходимо проводить через данную страницу: когда правка будет обсуждена несколькими участниками, и будет найден консенсус, обсуждаемый фрагмент (в своеё конечной форме будет перенесён в статью).

Мною предлагается разделить работу так, чтобы единицей обработки был раздел. Как только мы убедимся в необходимости какого-либо раздела и определимся с его содержимым, можно будет приступать к его написанию. Убедившись в том, что он вписывается в выбранную нами структуру, мы сможем перенести его в статью. Именно поэтому будет важно сначала определиться с общим планом статьи.

С уважением, OZH 20:18, 13 февраля 2011 (UTC)

P.S. Вернул отпатрулированную версию статьи от 1 декабря 2010 года. Она лучше нынешней. Теперь, эта версия — отправная точка для наших новых правок. --OZH 20:27, 13 февраля 2011 (UTC)

21 февраля 2011 года начнётся планомерная работа над статьёй. --OZH 17:27, 19 февраля 2011 (UTC)

Название

Какое у статьи должно быть название?

План статьи

Здесь описывается то, что должно быть в статье.

Предмет статьи

О чём статья?

Развёрнутый план

Как участники видят общий вид статьи?

Вариант LGB

Уважаемые коллеги, позвольте внести конкретное предложение. Давайте сначала согласуем план (оглавление) будущей статьи, потом сделаем некую болванку, чтобы статья не пребывала в нынешнем безобразно расхристанном виде и далее начнём обсуждать и внедрять каждый раздел. Преамбулу предлагаю править в последнюю очередь, когда содержание статьи будет уже окончательно ясно. В качестве первоначального варианта для обсуждения предлагаю доработанную версию своего вышеприведенного плана:

• Краткое определение и мотивация.
• Алгебраические свойства КЧ. Примеры.
• Геометрическое представление.
• Связанные понятия: модуль и аргумент, сопряжённые числа, тригонометрическая и показательная формы записи
• Формула Муавра.
• Обоснование КЧ (все модели).
• История.
• Функции комплексного переменного и их приложения.
• Вариации и обобщения.

LGB 18:31, 1 февраля 2011 (UTC)

Сформулирую ряд уточняющих вопросов:

• Краткое определение и мотивация. — На базе чего предполагается делать определение? --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)
• Алгебраические свойства КЧ. Примеры. — Простое описание того, как складывать, вычитать, умножать и делить в поле комплексных чисел? --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)
• Геометрическое представление. — Комплексная плоскость? --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)
• Связанные понятия: модуль и аргумент, сопряжённые числа, тригонометрическая и показательная формы записи — Собрать в одном разделе (почти как в моём вариенте)? Должен отметить, что эти понятия довольно наглядно описываются, исходя из геометрического представления. --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)
• Формула Муавра. — Вот так — в виде спциального раздела?! --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)
• Обоснование КЧ (все модели). — Видимо раньше говорилось об определении комплексных чисел (можно определить так, а можно определить эдак). А здесь мы заведём особый разговор о том, какие существуют подходы к обоснованию (почему так, а не иначе). --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)
• История. — Тут понятно. --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)
• Функции комплексного переменного и их приложения. — О сходимости, о непрерывности, о дифференцируемости (в разных смыслах), о голоморфности, о конформности и т.п.? Без отдельной статьи, однако, не обойтись. --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)
• Вариации и обобщения. — Кватернионы, гиперболические комплексные числа, матричное представление? --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)

Я (пока) придерживался бы варианта участника:LGB, постепенно включая в него более «продвинутые» фрагменты из варианта участника:Kallikanzarid. --OZH 19:09, 21 февраля 2011 (UTC)

Отвечаю по порядку. Краткое определение могло бы выглядеть примерно так, как в Математической энциклопедии.

---

Множество (алгебраическое поле) комплексных чисел отличается от множества вещественных чисел в первую очередь наличием особого элемента — мнимой единицы, которая обозначается обычно символом i и отличается тем, что $i^{2}=-1$. Любое комплексное число имеет вид $~a+bi$: при b=0 получаются вещественные числа, при a=0 — чисто мнимые. Свойства комплексных чисел в основном такие же, как и у вещественных: с ними можно выполнять все 4 арифметические операции. Два существенных отличия:

• Для комплексных чисел не определяется порядок, то есть их нельзя сравнивать на больше-меньше.
• Из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный и любой другой корень.

Это максимально простое и общедоступное введение, заостряющее внимание читателя на специфике структуры и свойств нового объекта. Добавлять сюда без разбора сложные элементы, даже важные, излишне, методически правильнее постепенно вводить их по мере углубления в тему, сразу после описания наглядного геометрического представления.

Алгебраические свойства. Да, тут сводка по операциям, а также о сравнении на равенство, понятие противоположного, обратного и сопряжённого элемента.

Геометрическое представление и связанные понятия. Можно и объединить, никаких возражений.

Формула Муавра — лучше отдельным разделом в силу важности и объёма.

Функции комплексного переменного и их приложения. Отдельная статья уже есть: Комплексный анализ, здесь я предполагал дать сводку и кратко пояснить, чем и почему эта тема отличается от вещественного анализа.

По остальным пунктам замечаний не имею, но матричное представление уместно в разделе Обоснование. ----

Вариант Kallikanzarid

ИМХО лучше так:

1. Мотивация — Или «Введение»? --OZH 11:45, 15 февраля 2011 (UTC)
2. Определение — В каком виде (форма записи)? --OZH 11:45, 15 февраля 2011 (UTC)
   1. Формула деления, обратимость
   2. Изоморфность C и R[x² + 1] — Как определение? --OZH 11:45, 15 февраля 2011 (UTC)
   3. Комплексное сопряжение
3. КЧ как алгебра — А где же поле? --OZH 11:45, 15 февраля 2011 (UTC)
   1. Алгебраическая форма записи — Только теперь? А где место обоснованию алгебраической формы записи? --OZH 11:45, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Комплексное сопряжение и формула деления как примеры — Повтор? --OZH 11:45, 15 февраля 2011 (UTC)
   2. Норма — Не модуль? --OZH 11:45, 15 февраля 2011 (UTC)
   3. Матричное представление — Уже здесь? Коротко или развёрнуто? --OZH 11:45, 15 февраля 2011 (UTC)
4. Показательная форма записи, формула Эйлера — Только сейчас? --OZH 11:45, 15 февраля 2011 (UTC)
   1. Приложения в тригонометрии, формула Муавра
   2. Полиномы Чебышева
   3. Геометрическая интерпретация мультипликативной группы C как группы конформных преобразований R², сохраняющих ориентацию
5. Обобщение
   1. Построение Кэли-Диксона
6. Функции комплексного переменного
   1. Голоморфные и мероморфные функции
7. Приложения

Насчет некоторых пунктов я не уверен. Так, хочется рассказать про уникальность R и C сразу же после введения нормы, а не в конце. И все-таки я бы хотел обсудить мои правки вместо очередного написания манифестов: многие мои правки можно безболезненно восстановить уже сейчас — Kallikanzarid_talk 21:17, 1 февраля 2011 (UTC)

Вариант любопытный. Но такой вариант повышает уровень статьи, что затрудняет её написание. Мой вариант отличается от предложенного Вами только разположением материала. --OZH 22:08, 1 февраля 2011 (UTC)

Дело как раз в распололжении :) А высокий уровень - это хорошо — Kallikanzarid_talk 18:49, 2 февраля 2011 (UTC)

Статья про комплексные числа активно посещается: до переделок её читали более 1000 чел/день, сейчас меньше, но имеет тенденцию к росту. Вряд ли я ошибусь, предположив, что основной контингент - старшеклассники и другая учащаяся молодёжь. Поэтому разумно рассчитывать в первую очередь на такого читателя, а для более продвинутых дать в конце различные Обобщения и отсылки к другим статьям. Иначе первый же непонятный термин сразу отобьёт желание читать дальше.

В свете сказанного план Kallikanzarid нуждается в значительном пересмотре. Изоморфизм, норма, Кэли-Диксон, полиному Чебышёка и прочее, не изучаемое в школе, следует отодвинуть ближе к концу, а вот главную часть — все алгебраические свойства, геометрическое и показательное представление — дать в первую очередь, потому что это как раз и требуется типовому читателю.

Для ускорения перехода к улучшенной версии предлагаю уже сейчас сделать то, насчёт чего как будто сложился консенсус: сделать в конце раздел Обоснование, перенести туда раздел о моделях и добавить пояснение, для чего эти модели нужны (плюс часть декабрьского текста OZH на эту тему). Если не будет возражений, могу сам это сделать. LGB 19:02, 15 февраля 2011 (UTC)

Вариант OZH

Я предполагал использовать для математических статей жёсткую структуру:

• 1. «Преамбула» — краткая выжимка важнейших положений, содержащихся в статье. Должна быть наиболее простым, но строгим описанием предмета статьи, достаточным для первоначального знакомства с предметом (для большинства читателей).
  2. «Введение» — краткий обзор идей: для чего? (Нужно только для обзорных статей.)
  3. «История» — краткая выжимка основных вех в истории вопроса: откуда взялись и как изучались. (Для крупных статей можно сделать отдельную страницу: «Комплексные числа (история)».)
  4. «Определения» — сводка определений основных понятий. Тут и нужны модели, чтобы читатель понимал, как вводятся в математике комплексные числа.
  5. «Свойства» — свойства операций над комплексными числами и взаимосвязи.
  6. «Примеры» — примеры комплексных чисел, помогающие воспринять данные выше определения.
  7. «Связанные понятия» — перечисление понятий, которые непосредственно связаны с понятием комплексного числа, но требуют отдельного рассмотрения. Например: Степень комплексного числа и Корень комплексного числа. Здесь обязательно должны быть ссылки на отдельные статьи, в что время как в разделе «Определения» ссылок может и не быть.
  8. «Дополнения» — всё, что не вошло в предыдущие пункты, но является важным. Тут всё должно быть организовано по темам. В частности, тут можно рассказать и об обобщениях комплексных чисел.
  9. «Замечания» — сводка замечаний, необходимых для понимания происходящего.
  10. «Приложения» — сводка тех направлений исследований, где используются комплексные числа. Здесь, как раз, будет уместно поговорить о сходимости (комплексных) числовых рядов и функциях комплексного переменого (не забывая и о поверхностях Римана).
• Смысл такой рубрикации в том, чтобы каждому объекту, факту и явлению найти подходящее место и дать читателю ориентир, где искать нужную ему информацию. Так же следует помнить о том, что не следует буквально всё, что хочется сказать о комплексных числах, описывать в одной статье, поэтому следует продумать распределение материала по нескольким взаимосвязнным статьям.

Освещаемые вопросы (темы)

Что должно быть отражено в статье?

Определение комплексных чисел

Вариант LGB

Множество (алгебраическое поле) комплексных чисел отличается от множества вещественных чисел в первую очередь наличием особого элемента — мнимой единицы, которая обозначается обычно символом i и отличается тем, что $i^{2}=-1$. Любое комплексное число имеет вид $~a+bi$: при b=0 получаются вещественные числа, при a=0 — чисто мнимые. Свойства комплексных чисел в основном такие же, как и у вещественных: с ними можно выполнять все 4 арифметические операции. Два существенных отличия:

• Для комплексных чисел не определяется порядок, то есть их нельзя сравнивать на больше-меньше.
• Из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный и любой другой корень.

Комментарии. Это максимально простое и общедоступное введение, заостряющее внимание читателя на специфике структуры и свойств нового объекта. Добавлять сюда без разбора сложные элементы, даже важные, излишне, методически правильнее постепенно вводить их по мере углубления в тему, сразу после описания наглядного геометрического представления.

Немного критики. Приведённый вариант не похож на определение. В определении говорится о том, что из себя представляет объект, а уже потом определение можно дополнить словами об отличительных особенностях и свойствах данного объекта. Ещё одна проблема — тесная взаимосвязь определения с формой записи комплексного числа. --OZH 06:36, 3 марта 2011 (UTC)

Вариант OZH

Комплексные числа — алгебраическое расширение поля вещественных чисел. [Здесь сразу указывается, что это такое: взяли вещественные числа и дополнили их новыми числами — получили новую алгебраическую структуру, которая также является полем. --OZH 07:34, 3 марта 2011 (UTC)] Это означает, что множество комплексных чисел, обозначаемое в литературе как $\mathbb {C}$ (или как $C$, или как $\mathbf {C}$), содержит все вещественные числа $\mathbb {R}$, а, также, всевозможные корни полиномов (многочленов) с вещественными коеффициентами. [Здесь коротко описывается суть алгебраического расширения. --OZH 07:34, 3 марта 2011 (UTC)] В частности, множество $\mathbb {C}$ содержит число $i$, которое является корнем уравнения

$z^{2}+1=0,$

и называется мнимой единицей. В соответствии с этим, каждое комплексное число представляется (задаётся, записывается, описывается) в виде формальной суммы:

$x+iy,$

где $x$ и $y$ — это два вещественных числа:

• число $x$ называется вещественной частью комплексного числа $z$ и обозначается как $\mathrm {Re} \,z$ или $\Re (z)$;
• число $y$ называется мнимой частью комплексного числа $z$ и обозначается как $\mathrm {Im} \,z$ или $\Im (z)$.

Таким образом, каждое комплексное число представляет собой упорядоченную пару двух вещественных чисел или, что тоже самое, комплекс, откуда и проистекает название комплексных чисел. [Всё. Основное уже сказано. --OZH 07:34, 3 марта 2011 (UTC)]

Далее:

• каждое комплексное число вида $x+i0$, у которого отсутствует (равна нулю) мнимая часть, естественным образом отождествляется с вещественным числом $x$;
• комплексное число вида $0+iy$, у которого отсутствует (равна нулю) вещественная часть, называется чисто мнимым и коротко записывается в виде $iy$;
• комплексное число $0+i0$, которое, во избежание противоречий, принято относить к вещественным, называется комплексным нулём и обозначается как $0$.

[Вот, собственно, и всё, что нужно сказать. Можно ещё добавить про операции над комплексными числами. --OZH 07:34, 3 марта 2011 (UTC) ]

На множестве комплексных чисел вводятся операции сложения и умножения, которые превращают комплексные числа в поле.

В принципе можно принять, но некоторые формулировки не очень удачны.

• содержит все вещественные числа, а также всевозможные корни полиномов — ниоткуда не следует, что рассматриваемое расширение поля содержит корни всех полиномов, это надо оговаривать отдельно.
• каждое комплексное число представляет собой упорядоченную пару — лучше сказать: может рассматриваться как упорядоченная пара.
• На множестве комплексных чисел вводятся операции сложения и умножения, которые превращают комплексные числа в поле — эту фразу более естественно перенести назад, перед словами: В соответствии с этим, каждое комплексное число…, чтобы не использовать операции раньше, чем они упомянуты. Кроме того, надо упомянуть, что новые операции согласованы со старыми. Вот итоговый проект:

---

Комплексные числа — алгебраическое расширение поля вещественных чисел, содержащее корни всех многочленов с вещественными коэффициентами. Обозначается буквой $\mathbb {C}$. В частности, множество $\mathbb {C}$ содержит число, обычно обозначаемое буквой $i,$ которое является корнем уравнения $z^{2}+1=0,$ и называется мнимой единицей. Из определения следует, что $i^{2}=-1.$

Арифметические операции, заданные для вещественных чисел, можно распространить на все комплексные числа, превратив множество комплексных чисел в поле. Тогда каждое комплексное число z может быть записано в виде суммы:

$z=x+iy,$

где $x$ и $y$ — вещественные числа. При этом:

• число $x$ называется вещественной частью комплексного числа $z$ и обозначается $\mathrm {Re} \,z$ или $\Re (z)$;
• число $y$ называется мнимой частью комплексного числа $z$ и обозначается $\mathrm {Im} \,z$ или $\Im (z)$.

Таким образом, каждое комплексное число может рассматриваться как упорядоченная пара (комплекс) вещественных чисел, откуда и проистекает название «комплексные числа».

Каждое комплексное число вида $x+i0$, у которого отсутствует (равна нулю) мнимая часть, естественным образом отождествляется с вещественным числом $x.$ В частности, комплексный нуль $0+i0$ играет ту же роль, что и вещественный. Комплексное число вида $0+iy$, у которого отсутствует (равна нулю) вещественная часть, называется чисто мнимым и коротко записывается в виде $iy$.

---

LGB 11:55, 3 марта 2011 (UTC)

• Фраза «Из определения следует, что $i^{2}=-1.$» выглядит тавтологией (после определения). --OZH 20:23, 4 марта 2011 (UTC)

  Тогда так: Из вида определяющего многочлена следует, что $i^{2}=-1.$ LGB 11:53, 5 марта 2011 (UTC)

  • Что в лоб ($z^{2}+1=0$), что по лбу ($i^{2}=-1.$). Фразу «Из определения следует» обычно ожидаешь после самого определения, а не внутри него. --OZH 10:32, 7 марта 2011 (UTC)

    Стоит ли спорить о таких мелочах? Смысл этой дополнительной формулы: объяснить читателю, почему число i называется мнимой единицей. Иначе читатель останется в недоумении. Что касается определения, то здесь речь идёт об определении мнимой единицы, а не КЧ, так что фраза ничем не нарушает логики изложения. LGB 11:36, 8 марта 2011 (UTC)

    • О каком разделе мы говорим? О преамбуле или о разделе «Определение»? --OZH 15:11, 8 марта 2011 (UTC)

      О разделе Определение. Преамбулу мы как будто договорились кромсать в последнюю очередь. LGB 17:17, 8 марта 2011 (UTC)

      • ОК. --OZH 18:43, 8 марта 2011 (UTC)

• Фраза «Арифметические операции, заданные для вещественных чисел, можно распространить…» возникает из ниоткуда: вдруг, какие-то операции. --OZH 20:23, 4 марта 2011 (UTC)

  Фраза эта подчёркивает тот факт, что новые (комплексные) операции расширяют старые, а не устанавливаются произвольно. В разделе Обоснование должно быть сказано, что все приведенные модели КЧ категоричны, то есть изоморфны как поля. Отсюда следует, что продолжение старых операций однозначно, если мы хотим сохранить их свойства, положенные для операций поля. Поскольку единственное новое свойство КЧ есть $i^{2}=-1,$ у читателя никак не может создаться впечатления, что новые операции возникают «ниоткуда». Они возникают так же, как при переходе от целых чисел к рациональным или от рациональных к вещественным, то есть как алгебраическое продолжение старых операций, максимально сохраняющее прежние свойства. LGB 11:53, 5 марта 2011 (UTC)

  • Если мы говорим об алгебраическом расширении, то мы уже указываем, что у нас есть структура (поле вещественных чисел), в которую мы добавляем новые элементы так, чтобы сохранить заданные на множестве вещественных чисел операции. Слово «алгебраический» указывает на способ расширения: корни алгебраических уравнений с коеффициентами из расширяемой структуры. Просто, когда мы читаем статью и натыкаемся на «Арифметические операции…», мы ожидаем, далее, разговор о самих операциях, но сначала следует закончить определение, чтобы у читателя возникло чёткое представление о комплексных числах как о комплексах вида $z=x+iy$, которые рассматриваются в математике, как единый объект, при этом, однако, арифметические операции вводятся так, чтобы знаки «$+$» и «$\cdot$» были бы знаками обыкновенных арифметических операций над комплексными числами. Вот об этом и следует написать в разделе «Определение», но уже после самого определения. Точнее, это будет логическим продолжением определения: мы и скажем, что операции над комплексными числами точно такие же как и операции над вещественными числами, но с поправкой на наличие вещественной и мнимой частей. Тут и потербуется упомянутое выше свойство «$i^{2}=-1.$»! Раздел «Обоснование» должен содержать подробности. --OZH 10:32, 7 марта 2011 (UTC)

    Вот здесь я не пойму. Вы справедливо пишете, что уже сам термин алгебраическое расширение подразумевает расширение операций. Тогда зачем хранить об этом молчание вплоть до следующего раздела? Конечно, детальную сводку свойств операций можно и отложить, но вообще не упоминать о них в разделе определения методологически и алгебраически неправильно. Ваша фраза об обыкновенных арифметических операций над комплексными числами читателю тоже будет непонятна: свойства расширенных операций теоретически могут сильно отличаться от базовых (как, например, при переходе от КЧ к кватернионам). В предложенном мною проекте фактически поле КЧ определяется как R[i] — это по существу законченное определение, и для читателя осталось только уточнить, как выглядят новые объекты и операции с ними. Вот здесь и появятся упомянутые Вами комплексы. Далее остаётся только сослаться на Обоснование в доказательство того, что свойства КЧ и операций именно таковы, как сказано в Определении. LGB 11:36, 8 марта 2011 (UTC)

    • Надо как-то вместе: и комплексы, и операции. Все пояснения и обоснования в разделах «Свойства» и «Обоснование КЧ». --OZH 15:11, 8 марта 2011 (UTC)

      В целом согласен, но давайте вернёмся к Вашей же фразе в Определении: поле КЧ содержит всевозможные корни полиномов (многочленов) с вещественными коэффициентами. Это означает, что для комплексных чисел имеет смысл понятие многочлена, то есть их можно складывать и перемножать. Любой читатель сразу задаст логичный вопрос: а откуда взялись эти операции для совершенно новых числовых объектов и как они определяются? Пусть детальные пояснения на потом, но вообще не затрагивать этот вопрос мы не имеем права, и предполагать у читателя знание теории алгебраических расширений тоже нельзя. Поэтому предложенная мной краткая фраза и нужна, плюс, возможно, отсылка ниже за подробностями. LGB 17:17, 8 марта 2011 (UTC)

      • ОК. --OZH 18:43, 8 марта 2011 (UTC)

Изеачальный смысл (у меня) такой: мы добавляем к вещественным числам корни уравнений, берём один из таких замечательных корней в качестве специальной единицы и получаем способ описания всех вещественных чисел. К тому же, мой вариант лучше выглядит «на глаз»: не стоитпренепберать вики-разметкой и желеть пространство страницы. --OZH 20:23, 4 марта 2011 (UTC)

всех вещественных чисел — наверное, описка, имелись в виду комплексные? Так мой вариант построен точно так же, просто я уточнил некоторые формулировки. Разметку после слова «Далее» можно и сохранить, только для нуля во фразе которое, во избежание противоречий я бы предложил сказать: которое, для определённости — ибо какие тут могут быть противоречия? LGB 11:53, 5 марта 2011 (UTC)

• Может ли чисто мнимое число быть вещественным? --OZH 10:32, 7 марта 2011 (UTC)

  Комплексный нуль может . Он удовлетворяет обоим Вашим определениям. LGB 11:36, 8 марта 2011 (UTC)

  • Это-то и странно… --OZH 15:11, 8 марта 2011 (UTC)

    Тоже не вижу смысла спорить. Уточните своё определение мнимого числа, указав, что коэффициент при мнимой части не равен нулю, и все дела. LGB 17:17, 8 марта 2011 (UTC)

Дополнительный вопрос: Следует ли прямо в разделе «Определение» сообщить читателю о других способах определения комплексных чисел, а именно: как поле вычетов по модулю многочлена, и как пространство матриц специального вида? По-моему, это было бы очень уместо, а уже подробности, обоснования и ссылки на приложения (связанные с этим) можно будет описывать в отдельных разделах статьи. --OZH 10:32, 7 марта 2011 (UTC)

Это только запутает читателя. Да и какая от этого польза? Лучше одно плохое определение, чем два хороших, но существенно разных. LGB 11:36, 8 марта 2011 (UTC)

Так ведь, энцикопедическое содержание в то и сосиоит, чтобы показать взаимосвязи различных подходов. Ладно. Потом будет видно, как это должно выглядеть. --OZH 15:11, 8 марта 2011 (UTC)

---

(Продолжение раздела.)

Два комплексных числа $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ и $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ считаются равными, тогда и только тогда, когда равны их вещественные (действиельные) и мнимые части: $x_{1}=x_{2}$ и $y_{1}=y_{2}$.

Число ${\bar {z}}=x-iy$, у которого вещественная часть совпадает с вещественной частью комплексного числа $z=x+iy$, а мнимая часть имеет знак, противоположный мнимой часть числа $z$, называется числом комплексно сопряжённым к комплексному числу $z$.

На множестве комплексных чисел вводятся операции сложения «$+$» и умножения «$\cdot$», которые превращают множество комплексных чисел в поле:

$(\mathbb {C} ,+,\cdot ).$

---

Это тоже должно быть в самом начале. ЯТД. --OZH 15:40, 8 марта 2011 (UTC)

---

• суммой двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ называется число

  $z=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})i.$

• произведением двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ называется число

  $z=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i.$

---

Это тоже должно быть где-то. Но где? Лучше всего это написать в разделе «Геометрическая интерпретация». Наверное. --OZH 15:40, 8 марта 2011 (UTC)

По-моему, наиболее естественно завершить Определение там, где кончается обсуждаемый выше проект, и далее начать новый раздел: Алгебраические свойства или Операции с комплексными числами. Туда всё приведенное отлично вписывается. Только хорошо бы объяснить, откуда получается формула для умножения. LGB 17:17, 8 марта 2011 (UTC)

• Да: «Операции с комплексными числами»; потом, «Важнейшие понятия»; затем, «Свойства КЧ». Но куда деть комплексное сопряжение? Думаю, что в раздел «Важнейшие понятия» (как-то так). Чтобы потом, можно было бы описывать свойства КЧ и связанных понятий через комплексное сопряжение. А оно имеет первостепенное значение в комплексном анализе. --OZH 18:43, 8 марта 2011 (UTC)

  Я бы после Операций сразу поставил Геометрическое представление, чтобы сделать более наглядным и понятным последующий текст. В нём можно ввести вкратце модуль и аргумент. Затем - раздел Связанные понятия, там модуль и аргумент подробно, сопряжение заслуживает отдельного подраздела. LGB 12:25, 9 марта 2011 (UTC)

  • Вот здесь и проявляется слабость Вашего плана. Основные понятия лучше давать единым разделом, но есть ряд понятий, которые непосредственно связаны с формой записи комплексного числа. В моём варианте я группировал основные понятия по форме записи. Сейчас попробуем довести Ваш подход до логического завершения и посмотрим, к чему это нас приведёт. --OZH 08:56, 12 марта 2011 (UTC)

    Порядок и группировка - вопрос технический, и принципиальным я считаю только один аспект: геометрическое представление как можно раньше. Кстати, там же уместно наглядно объяснить и все 3 формы записи. А все детальные свойства лучше тематически разделить для справочного удобства читателей. В общем, жду Ваш проект. LGB 16:53, 12 марта 2011 (UTC)

    • Честно говоря, я хотел бы уже написать консенсусный вариант. Но для этого надо распутать глубок взаимных противоречий. Тут какдый из троих участников имеет точку зацепления к другому. Нужно, чтобы каждый уступил в чём-то одном. Иначе, мы так и будет гулять в трёх соснах (вариантах). Я вижу, что в определении надо сказать
      • про алгебраическое расширение;
      • про алгебраические операции (в соответствии с алгебраической формой записи);
      • про упорядоченные пары (где комплексные числа вводятся, так сказать, аксиоматически);
      • про поле вычетов по полиному $z^{2}+1$.
      • про матрицы специального вида.
    • Во первых строках раздела будет находиться общее определение, затем, наиболее элементарное. Далее необходимо будет расписать различные формы записи комплексных чисел, где будет описание модуля и аргумента. После этого поместим раздел «Операции…» где подробно распишем основные операции над комплексными числами, но мы уже будем вооружены основными понятиями. Смысл такого сборного раздела — показать эффективность применения той или иной вформы записи комплексного числа. Вот, собственно, и всё, что нужно сделать сначала в самом кратком изложении. --OZH 20:59, 14 марта 2011 (UTC)

      Я до сих пор полагал, что консенсусный вариант раздела Определение почти согласован - см. выше, и мы договорились, что упорядоченные пары, поле вычетов по модулю $z^{2}+1$ и спецматрицы не имеют к определению ни малейшего отношения. Это всё варианты моделей КЧ, уместные в разделе Обоснование. Ну поставьте себя на место читателя, который хочет научиться обращаться с КЧ, а ему вместо этого подсовывают какие-то матрицы и вычеты. Это верный способ начисто угробить интерес к статье. LGB 11:47, 15 марта 2011 (UTC)

      • Для этого и существуют разделы и подразделы. Один раздел читатель прочитает, другой пропустит. Всё-таки, статья должна отражать то, как это вводится в математике. К тому же, если предполагается упомянуть, то надо именно упомянуть. И это не должно как-то отпугнуть читателя. Думаю, в этом вопросе Вы создаёте мниме препятствие. --OZH 12:12, 15 марта 2011 (UTC)

        Упоминать в важнейшем вводном разделе информацию, явно бесполезную при первом чтении, неразумно. В детальном разделе - пожалуйста. Комплексные числа вводятся в математике - в подавляющем большинстве учебников - безо всяких матриц, классов и упорядоченных пар. Я не могу понять, зачем Вы так упорно держитесь за идею протащить модели с самого начала изложения и тем самым безо всякой пользы усложнить и обесценить статью для массового читателя. Давайте для начала вставим обсуждавшийся нами выше вариант Определения и создадим в статье раздел Обоснование, тогда споры станут более конструктивными. LGB 13:13, 15 марта 2011 (UTC)

        • Да, лучше один раз увидеть. Между прочим, и Вам тоже. Дело закончится тем, что я оформлю то, что должно быть, в своём личном пространстве. А мы потом это всё будем сравнивать. --OZH 13:41, 15 марта 2011 (UTC)

          Согласен. LGB 13:57, 15 марта 2011 (UTC)

Формы записи комплексных чисел

Комплексные числа принято записывать в виде формальной суммы (алгебраическая форма записи):

$z=x+iy,$

где $i$ — это число, которое обладает свойством

$i^{2}=-1.$

Это число носит название мнимой единицы.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел предоставляет ещё две формы записи комплексных чисел:

• тригонометрическая форма записи:

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).$

• показательная форма записи:

$z=|z|e^{i\varphi },$

где $\varphi$ — одно из значений аргумента комплексного числа (которое определяется с точностью до $2\pi$); он же — главный аргумент комплексного числа $z$:

$\varphi =\operatorname {arg} (z),$

а $e^{i\varphi }$ — это продолжение экспоненциальной функции на область комплексных чисел.

Порядок изложения

Каков порядок разделов?

Способ изложения

Каков должен быть уровень изложения и способ подачи материала?

Работа над статьёй

Здесь отражается текущая работа над статьёй.

К изменению

Какие разделы надо изменить?

К созданию: Kallikanzarid

Какие разделы надо создать?

Мотивация: Kallikanzarid

== Мотивация ==

Комплексные числа возникли при исследовании алгебраических уравнений. Известно, что любой многочлен можно представить в виде

(x² + a₁²)…(x² + a_k²)(x − b₁)…(x − b_m),

причём многочлены вида x² + a² являются неприводимыми: их нельзя представить в виде произведения одночленов. Действительно, корнями уравнения x² + a² = 0 были бы числа $\pm {\sqrt {-a^{2}}}$, но таким условиям не удовлетворяет ни одно вещественное число.

Однако при вычислении корней кубического уравнения иногда оказывается необходимо проводить формальные действия с квадратными корнями из отрицательных чисел, и результат получается верным. Это наводит на мысль о пользе исследования таких формальных корней, тем более, что в этом случае каждый многочлен становится приводимым.

Легко показать, что x² + a² = 0 тогда и только тогда, когда (x/a)² + 1² = 0. Следовательно достаточно искусственно ввести лишь корни уравнения x² + 1 = 0. Эти корни противоположны по знаку, обозначим их как ±i. Число i называют мнимой единицей. То, какой именно корень этого уравнения мы обозначим через i, ничего не меняет в теории комплексных чисел, это всего лишь вопрос нотации. Теперь можно легко показать, что корнями уравнения x² + a² = 0 будут числа ±ai. Такие числа называют чисто мнимыми.

Числа вида ai, a вещественное, не образуют поле (или даже кольцо), так как (ai)² = −a², а это число не является кратным i. Однако можно показать, что числа вида x + iy образуют поле, и это поле обладает многими замечательными свойствами (в частности, все многочлены в нем приводимы). Такие числа называют комплексными.

Кроме операций сложения и умножения на поле комплексных чисел также задана унарная операция комплексного сопряжения (обозначается чертой сверху). В некотором смысле она меняет выбор корня, обозначаемого через i: x + iy = x − iy. Эта операция является автоморфизмом поля.

Определение: Kallikanzarid

== Определение ==

1. Поле комплексных чисел можно строго определить как алгебраическое расширение поля вещественных чисел: $\mathbb {C} :=\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$. Ниже мы приведём более простое, но столь же строгое, определение комплексных чисел и зададим на нем структуру поля, изоморфную $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$.
   1. Почему именно это считается более строгим? Сформулировать определение можно поразному. --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Можно :) — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
   2. Зачем обороты «можно строго определить» и «более простое, но столь же строгое»? Если уж определяем, то строго. Если говорим, что вводим неформально, то так и говорим. Лучше начинать с элементарного определения, а уже потом переходить к строгим обоснованиям. --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Обороты можно убрать. В принципе я слегка прогнал, мы можем оправдать алгебраическую форму записи непосредственно из определения $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$, ведь $\mathbb {R} [x]$ — это кольцо многочленов. Определение через упорядоченные пары тогда можно вообще убрать или оставить в качестве альтернативного. — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
   3. Почему сразу используется терминология факторов или полей вычетов? Опять же: где элементарное определение? --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Давайте тогда сразу определимся, для кого пишем статью: для постградов или школьников. Если и для тех, и для других, то я даже не знаю. — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
2. Обозначим $\mathbb {C} :=(\mathbb {R} ^{2},+,\cdot ),$ где бинарные операции '+' и '·' задаются следующим образом:

   (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂),

   (x₁, y₁) · (x₂, y₂) = (x₁x₂ − y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁).

   1. Вот так вот просто возьмём и обозначим? Если уж перечисляем различные спослбы определения, то перечисляем, а не обозначаем. --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Ну да, возьмем и обозначим. Можно там индекс поставить около C, если вас это так смущает, а потом сказать об изоморфности полей. — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
   2. И где заланировано обоснование того, почему именно так? --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Обоснование изоморфизма? В принципе, он обосновывается, когда мы вводим алгебраическую запись, надо только подробней расписать про определение $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$. — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
3. Эквивалентно, можно определить C как множество матриц вида ${\begin{bmatrix}x&y\\-y&x\end{bmatrix}}$ с обычными матричными операциями. Такие матрицы называют матричным представлением комплексных чисел. Легко показать, что эти два определения эквивалентны в том смысле, что отображение $(x,y)\mapsto {\begin{bmatrix}x&y\\-y&x\end{bmatrix}}$ биективно и сохраняет обе операции; в зависимости от ситуации можно пользоваться наиболее удобным из них.
   1. «Легко показать»? Ну так это и нужно сделать! Это и есть энциклопедичное содержание статьи. --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. У меня на листочке показано, можно выписать и здесь :) — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
   2. Уж, конечно, не «в зависимости от ситуации», а каждое определение играет в метаметике свою самостоятельную роль. --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Суть в том, что если на двух множествах задано по две операции, и некоторое биективное отображение их попарно сохраняет, то из выполнения любой аксиомы поля на одном из них будет следовать выполнение ее на другом. Только и всего, никакой китайской черной магии :) — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
4. Введённые операции наделяют C структурой поля.
   1. Почему нельзя создать специальный раздел «Свойства», где рассказать о струткуре поля? Лично я предполагал алгебраическую часть вопроса описывать в отдельной статье. Но её почему-то «убили». --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Название той статьи практически ничем не отличалось от названия этой статьи. Вы себе представляете путаницу, которую это бы создало? — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)

Доказательство

Каждую аксиому поля достаточно доказать для одного из двух данных выше определений C, из существования биективного и сохранящего операции отображения и выполнения любой из этих аксиом для одного определения следует выполнение этой аксиомы для другого.

• Операция сложения наделяет C структурой абелевой группы:

  Замкнутость сложения

  Для любых (a, b), (c, d) из C (a + c, b + d) принадлежит C — следует из замкнутости сложения на R.

  Ассоциативность сложения

  Для любых x, y, z из C (x + y) + z = x + (y + z) — следует из ассоциативности сложения на R.

  Существование нейтрального элемента сложения

  Таким элементом является 0 := (0, 0) — следует из существования нейтрального элемента сложения в R.

  Обратимость по сложению

  Для любого x = (a, b) из C существует −x = (−a, −b) из C такое, что x + (−x) = 0 — следует из обратимости сложения в R.

  Коммутативность сложения

  Для любых x, y из C x + y = y + x — следует из коммутативности сложения в R.

• Операции умножения и сложения наделяют C структурой коммутативного кольца:

  Замкнутость умножения

  Следует из определения умножения в C замкнутости R относительно умножения, сложения и обращения по сложению.

  Ассоциативность умножения

  Следует из ассоциативности умножения вещественных матриц 2×2.

  Существование нейтрального элемента умножения

  Таким элементом является 1 := (1, 0) (или единичная матрица). Доказательство следует из того факта, что единичная матрица — нейтральный элемент умножения вещественных матриц 2×2

  Дистрибутивность умножения по сложению

  Следует из дистрибутивности умножения вещественных матриц 2×2 по сложению.

  Коммутативность умножения

  Следует из коммутативности умножения вещественных матриц 2×2.

• Это кольцо является полем:

  Обратимость по умножению

  Все элементы C, кроме нейтрального элемента сложения 0, в матричном представлении имеют определитель ${\begin{vmatrix}a&b\\-b&a\end{vmatrix}}=a^{2}+b^{2}\neq 0,$ и следовательно они обратимы.

1. 1. Здесь имеются ссылки на матричное представление. Зачем это широкому читателю. Достаточно один раз сказать об изоморфизме, чтобы у читателя возник другой порядок рассуждений. --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Поясните, пожалуйста — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
2. Можно показать, что подмножество чисел вида (x, 0) является подполем C, изоморфным R. Подразумевая этот изоморфизм, говорят, что поле действительных чисел R является подполем C. В матричном представлении это диагональные матрицы.
   1. «Можно показать», «подразумевая» — неудачный стиль изложения. --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Предложите лучше. "Можно показать" - стандартный оборот в литературе, а мономорфизм вложения действительно обычно подразумевают, а не выписывают явно :) — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
   2. «В матричном представлении…» — неужели нельзя написать полноценный раздел про матричное представление, где всё наглядно показать?
      1. Он не нужен, ИМХО. На самом деле, мы сэкономим время, основываясь на матрицах, а не на упорядоченных парах, но т.к. с парами работать более принято (так понятней, что алгебра двумерна :)), я их оставил, но упомянул эквивалентность подходов. Можно это переработать, я не против — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
3. Аналогично, подмножество чисел вида (0, y) (называемых чисто мнимыми числами) является подгруппой аддитивной группы поля C. В матричном представлении это кососимметричные матрицы.
   1. Хорошо, подгруппа, но что делать с этим дальше?
      1. Ничего :) — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
4. Кроме операций сложения и умножения на C также задана операция комплексного сопряжения (обозначается чертой сверху, иногда буквой σ), она определяется формулой (x, y) = (x, −y). В матричном представлении это транспонирование. Это единственный отличный от тождества автоморфизм поля C, также являющийся инволюцией (${\overline {\overline {z}}}=z$) и сохраняющий каждое вещественное число ((x, 0) = (x, 0) для любого x из R). Комплексное сопряжение обладает многими интересными свойствами и играет фундаментальную роль в алгебраических, геометрических и аналитических приложениях комплексных чисел.
   1. Яркий пример того, что получается, если собрать вместе несколько сведений: получается солянка. На читателя обрушивается поток терминов, без объяснения того, почему именно это, и почему это важно. --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Нужно описать важную операцию, которая будет далее использоваться везде. Как бы вы это сделали? — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)
   2. «Многими интересными свойствами» — не проще ли привести сами свойства. Что же в них интересного? --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Лучше описывать их по мере того, как мы вводим необходимые понятия и подготавливаем мотивацию, иначе получится "сборная солянка", как вы изволили выразиться.
   3. «Играет фундаментальную роль» — дотошный читатель захочет десь запросить источник и будет прав. Вот если он увидит рассуждения об удобстве представления, например, модуля или R-линейных функций, то это будет уже кое-что. --OZH 19:13, 15 февраля 2011 (UTC)
      1. Фундаментальная роль:
         1. это единственная нетождественная инволюция, совместимая со структурой поля и оставляющая на месте $\mathbb {R}$ (алгебра)
         2. комплексификация алгебры Ли разлагается на подалгебры-собственные подпространства комплексной структуры, различающиеся на сопряжение, причем такая подалгебра полностью определяет комплексную структуру; также сопряжение используется для введение эрмитовой формы (и, соответственно, играет фундаментальную роль в эрмитовой и кэлеровой геометриях) (геометрия)
         3. $\mathbb {C}$-дифференцирумеость функции $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ эквивалентна занулению ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} {\overline {z}}}}$ (анализ). Обо всем этом нужно рассказать сразу и немедленно? — Kallikanzarid_talk 07:29, 16 февраля 2011 (UTC)

Алгебраическая форма записи: Kallikanzarid

== Алгебраическая форма записи ==

Рассмотрим R² с обычной структурой векторного пространства. Легко показать, что эта структура совместима со структурой поля C (в данном случае важно, что это ассоциативное кольцо с единицей). Таким образом на C задаётся структура вещественной ассоциативной алгебры посредством отображения $\alpha \mapsto (\alpha ,0)$. Выберем в R² базис 1 = (1, 0), i = (0, 1). В этом базисе алгебра C задаётся таблицей умножения 1·1 = 1, 1·i = i·1 = i, i·i = −1.

Такая интерпретация C даёт естественную в алгебраических приложениях алгебраическую форму записи комплексных чисел: z = x + iy. В такой записи операции над комплексными числами выглядит особенно естественно:

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),

(a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i²bd = ac − bd + i(ad + bc),

x + iy = x − iy,

${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{x^{2}+y^{2}}},$ где z = x + iy.

Координаты комплексного числа z в базисе {1, i} обозначаются как (Re z, Im z); Re z называют вещественной частью z, а Im z — мнимой частью z. В частности,

Re(x + iy) = x, Im(x + iy) = y.

В алгебраической форме записи вещественные числа имеют вид x = x + 0i, а чисто мнимые — iy = 0 + iy.

Обобщения: Kallikanzarid

== Обобщения ==

Построение Кэли — Диксона: Kallikanzarid

=== Построение Кэли — Диксона ===

Основные статьи: Построение Кэли — Диксона, нормированная алгебра с делением, теорема Гурвица, кватернион и алгебра Кэли

Матричное представление комплексных чисел (или, эквивалентно, их формальное определение) являются примером построения Кэли — Диксона. Аналогичным образом получаются алгебра кватернионов ($\mathbb {H}$) и алгебра Кэли (алгебра октонионов, $\mathbb {O}$). Алгебры R, C, H и O — единственные (с точностью до изоморфизма) вещественные нормированные алгебры с делением (теорема Гурвица).

Следствием теоремы Гурвица является то, что векторное произведение возможно только в вещественных векторных пространствах размерностей 1, 3 и 7.

R и C — единственные (с точностью до изоморфизма) нормированные алгебры с делением, также являющиеся полями. Естественным следствием является то, что C — единственная (с точностью до изоморфизма) комплексная нормированная алгебра с делением, также являющаяся полем.

К созданию: OZH

Необходимо дать читателю возможность понять, как наиболее просто можно получить комплексные числа и как получается алгебраическая форма записи. И всё это — на элементарном уровне! --OZH 18:44, 21 февраля 2011 (UTC)

Формальный подход: OZH

==== Формальный подход ====

Можно изначально рассматривать алгебраическое представление комплексных чисел в качестве исходного.

Однако, в математике принято сначала вводить объекты и операции над ними (с заранее заданными свойствами), а уже потом переходить у привычной форме записи, имея, в результате, все формальные основания для её использования. Строго говоря, символ

$x+i\cdot y$

нельзя использовать, поскольку ещё нет никакого описания того, что такое $+$ и $\cdot$. Именно поэтому, комплексные числа сначала вводятся как упорядоченные пары (с несколько непривычным умножением), а уже потом доказывается правомочность перехода к алгебраической форме записи.

Комплексное число $z$ — это упорядоченная пара

$z=(x,\,y),$

или, что тоже самое, комплекс, состоящий из двух вещественных чисел $x$ и $y$.

В соответствии с этим, два комплексных числа $z_{1}=(x_{1},\,y_{1}),$ и $z_{2}=(x_{2},\,y_{2}),$ полагаются равными, если у них совпадают вещественные и комплексные части:

$x_{1}=x_{2}$ и $y_{1}=y_{2}$.

На множестве упорядоченных пар

$\mathbb {C} =\{(x,\,y)|x,y\in \mathbb {R} \}$

вводятся две операции:

• операция сложения

$(x_{1},\,y_{1})+(x_{2},\,y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}),$

• операция умножения

$(x_{1},\,y_{1})\cdot (x_{2},\,y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).$

Таким образом введённые операции задают в $\mathbb {C}$ структуру поля

$(\mathbb {C} ,+,\cdot ),$

которая и называется полем комплексных чисел. Упорядоченная пара $(1,\,0),$ играет роль единицы данного поля.

Упорядоченные пары вида $(x,\,0)$ образуют в $\mathbb {C}$ подмножество, изоморфное $\mathbb {R}$. Действительно, если отождествить каждую такую пару $(x,\,0)$ и вещественное число $x$:

$x=(x,\,0),$

то окажется, что операции сложения и умножения не выводят за пределы указанного подмножества, и это подмножество является полем.

Пара $(0,\,1),$ обладает следующим свойством: $(0,\,1)\cdot (x,\,y)=(0\cdot x-1\cdot y,\,0\cdot y+1\cdot x)=(-y,\,x),$ откуда непосредственно вытекает, что $i^{2}=(0,\,1)\cdot (0,\,1)=(-1,\,0)=-1.$

Поскольку

$(x,\,y)=(x,\,0)+(0,\,y)=x(1,\,0)+y(0,\,1)=x+y\cdot i,$

мы приходим к алгебраической форме записи комплексного числа, о которой говорилось в самом начале.

Тригонометрическая форма записи: OZH

=== Тригонометрическая форма записи ===

Геометрическое представление комплексного числа

Поскольку каждое комплексное число — это упорядоченная пара вещественных чисел, то между множеством $\mathbb {C}$ и $\mathbb {R} ^{2}$ есть взаимнооднозначное соответствие. Это позволяет каждое комплексное число $z=x+iy$ изобразить на плоскости в виде точки с координатами $(x,y)$ или, что тоже самое, в виде радиус-вектора (с теми же координатами). Операциям над комплксными числам будут соответствовать операции над радиус-векторами. В частности, при сложении двух комплексных чисел происходит покомпонентное сложение радиус-векторов в полном соответствии с правилом параллелограмма (сложения радиус-векторов).

Любой радиус-вектор определяется своей длиной и углом, под которым данный радиус-вектор расположен по отношению к одной из осей:

• длина радиус-ветора называется модулем комплексного числа;
• а угол — аргументом комплексного числа.

Введение на плоскости полярных координат позволяет наиболее просто описать операцию умножения комплексных чисел:

• модуль произведения равен проиведению модулей сомножителей;
• аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Таким образом, в поле комплексных чисел естетсвенным образом вводится понятие степени комплексного числа и корня из комлексного числа.

Комплексная плоскость: OZH

==== Комплексная плоскость ====

Основная статья: Комплексная плоскость

Комплексная плоскость — это двумерное вещественное пространство $\mathbb {R} ^{2}$ (где введена прямоугольная система координат), каждая точка которого такого пространства — это упорядоченная пара вида $(x,y)$ является изображением комплексного числа

$z=x+iy,$

где

• $x$ — это проекция точки (комплексного числа $z$) на ось $Ox$;
• $y$ — это проекция точки (комплексного числа $z$) на ось $Oy$.

Числу $0=0+i0$ соответствует начало координат (точка $(0,0)$); при этом

• вещественные числа (комплексные числа вида $x=x+i0$) занимают всю горизонтальную ось (ось $Ox$), которая называется вещественной осью;
• чисто мнимые числа (комплексные числа вида $iy$, $y\neq 0$) занимают всю вертикальную ось (ось $Oy$ за исключением начала координат), которая называется мнимой осью.

Переход к противоположному числу $(-z)$ соответствует центральная симметрия комплексной плоскости (симметрия относительно начала координат). Переходу к комплексно сопряжённому числу ${\bar {z}}$ — симметрия относительно вещественной оси. В частности, числа $i$ и $(-i)$ являются комплексно сопряжёнными (а, также, и противоположными).

Модуль комплексного числа: OZH

==== Модуль комплексного числа ====

Модуль (абсолютная величина) комплексного числа $z=x+iy$ — это длина радиус-вектора с координатами $(x,y)$:

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Модуль комплексного числа — неотрицательное вещественное число и обладает теми же свойствами, что и модуль вещественного числа.

Модуль комплексного числа $z$ часто обозначается буквами $~r$ или $\rho$.

Если теперь рассмотреть два комплексных числа $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ и $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$, то можно ввести функцию расстояния между точками $z_{1}$ и $z_{2}$:

$\rho (z_{1},z_{2})=|z_{2}-z_{1}|,$

которая превращает комплексные числа в метрическое пространство. Это простарнство является полным метрическим пространством (в силу полносты изоморфного ему метрического пространства $\mathbb {R} ^{2}$).

Аргумент комплексного числа: OZH

==== Аргумент комплексного числа ====

Угол $\varphi$ (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу $z$, называется аргументом числа $z$ и обозначается $~\operatorname {Arg} (z)$.

• Из этого определения следует, что $\operatorname {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x}}$; $\cos \varphi ={\frac {x}{|z|}}$; $\sin \varphi ={\frac {y}{|z|}}$.
• Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2k\pi$, где $k$ — любое целое число.
• Главным значением аргумента называется такое значение $\varphi$, что $-\pi <\varphi \leqslant \pi$. Часто главное значение обозначается $~\operatorname {arg} (z)$. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: $~\operatorname {arg} ({\frac {1}{z}})=-\operatorname {arg} (z)$.

Примечания

К слиянию

Какие разделы надо слить?

К разделению

Какие разделы надо разделить?

К удалению

Какие разделы надо удалить?

Источники

Здесь собираются и комментируются (авторитетные) источники для данной статьи.

1. Фаддеев Д. К. Глава II. Комплексные числа // Лекции по алгебре: Учебное пособие. — 3-е изд., стер.. — СПб.: Лань, 2004. — С. 26-52. — 416 с. — ISBN 5-8114-0447-6.
2. Шабат Б. В. Часть I. Функции одного переменного. Глава I. Голоморфные функции. §1. Комплексная плоскость. // Введение в комплексный анализ. — 3-е изд., стер.. — М.: Наука, 1969. — 477 с. — ISBN 5-8114-0447-6.

Рецензирование

Здесь необходимо оценить качество статьи — степень её энциклопедичности.

Общее обсуждение

Действия нельзя обсуждать отдельно от определений. Как поле C имеет две основных операции, они должны быть определены для каждого варианта определения. Остальные важные операции можно обсуждать потом, без проблем. Только вот равенство - это не действие, это отношение, определять его явно неправильно, но можно отметить его критерий отдельно от операций. — Kallikanzarid_talk 12:41, 14 марта 2011 (UTC)

С первой частью согласен, но равенство, вообще говоря, должно определяться на общих основаниях. По крайней мере, если оно не сводится к тривиальной самотождественности. Например, для рациональных чисел необходимо сразу же, с самого начала, определить: одновременное умножение (или деление нацело) числителя и знаменателя дроби даёт дробь, равную исходной, то есть a/b = c/d, если после сокращения каждой дроби они становятся тождественны. LGB 16:36, 14 марта 2011 (UTC)

В данном случае $x+iy=u+iv\Leftrightarrow x=u\wedge y=v$, что элементарно сводится к равенству компонент. Не знаю, это можно написать как замечание, но ЕМНИП ничего нетривиального тут нет: мы взяли $\mathbb {R} ^{2}$ и в итоге с ним же и остались, просто ввели операции. — Kallikanzarid_talk 17:43, 14 марта 2011 (UTC)

Тот факт, что равенство КЧ сводится к равенству компонент, ниоткуда не следует, его надо явно оговорить как важную составную часть всей конструкции. Для особо любознательных можно в примечании вывести его из очевидного факта, что 1 и i как базисные элементы независимы. LGB 17:57, 14 марта 2011 (UTC)

• Если комплексные числа вводить как упорядоченные пары, то равенство компонент — это попросту аксиома. Если вводить как комплексы $x+iy$, то там ещё можно что-то вывести. Я считаю, что не нажо желеть слов в определении, поэтому в этом вопросе я больше понимаю участника Kallikanzarid. А рациональное число — это тоже упорядоченная пара чисел, точнее, класс эквивалентности упорядоченных пар. --OZH 18:31, 14 марта 2011 (UTC)

Введение рационального числа как класса эквивалентности как раз и означает, что равенство мы определяем нетривиально: 2/4 = 3/6. Всякая факторизация имеет конечной целью особое определение равенства (например, для классов вычетов в теории чисел или классов подобных фигур в проективной геометрии). Я как раз и предлагаю не жалеть слов и ясно объяснить, что понимается под равенством для КЧ, и почему так, а не иначе — лучше всего в разделе Определение. LGB 18:41, 14 марта 2011 (UTC)

• Тогда раздел «Определение» должен быть достаточно длинным, чтобы вместить несколько различных определений (см. вариант участника Kallikanzarid, только с упором на элементарное определение). А уже вопросы обоснования оставить на потом (раздел «Обоснование комплексных чисел»). --OZH 19:02, 14 марта 2011 (UTC)

В Определение разумно включить описание фундаментальных отличий КЧ от базового поля вещественных чисел: новые числа, новые операции, новые отношения (только равенство, без упорядоченности). На этом закончить и перейти к детальному рассмотрению всех этих и связанных понятий. По-моему, логично и удобно для читателей. LGB 11:57, 15 марта 2011 (UTC)

Как это не следует? У нас есть множество, мы ввели на нем операции поля. Множество от этого изменилось? Нет. Вы путаете эквивалентность и классы эквивалентности (которыми являются рациональные числа) с обычным равенством. — Kallikanzarid_talk 12:17, 15 марта 2011 (UTC)

Порядка ради надо объяснить читателю, что в поле КЧ ситуация не такая, как с рациональными числами, то есть числа совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их алгебраические записи. Даже в школьных учебниках этот важный факт непременно отмечают, а уж энциклопедия никак не может его обойти. LGB 13:20, 15 марта 2011 (UTC)