Параболические координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Двумерные параболические координаты[править | править вики-текст]

Parabolic coords.svg

Двумерные параболические координаты определяются выражениями

Поверхности постоянной являются конфокальными параболами

расширяющимися вверх (вдоль луча ), а поверхности постоянной  — это конфокальные параболы

расширяющиеся вниз (вдоль луча ). Фокусы всех парабол расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики двумерных координат[править | править вики-текст]

Коэффициенты Ламэ для параболических координат равны

Таким образом, элемент площади равен

а лапласиан равен

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты[править | править вики-текст]

Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует , синий параболоид соответствует , а жёлтая полуплоскость соответствует . Три поверхности пересекаются в точке (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно .

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость вдоль оси и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

Ось параболоидов совпадает с осью , так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол определяется как

Поверхности постоянной являются конфокальными параболоидами

направленными вверх (вдоль луча ), а поверхности постоянной  — это конфокальные параболоиды

направленные вниз (вдоль луча ). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат[править | править вики-текст]

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

Как видно, коэффициенты и совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

а лапласиан равен

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Символы Кристоффеля второго рода:

Остальные символы равны нулю.



Обратные преобразования[править | править вики-текст]

Переход от декартовых координат к параболическим осуществляется по формулам:

при этом

При получаем ограничение координат на плоскость :

Линия уровня :

Это парабола, фокус которой при любом расположен в начале координат.

Аналогично при получаем

Координатные параболы пересекаются в точке

Пара парабол пересекается в двух точках, но при точка оказывается заключена в полуплоскости , так как соответствует .

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке :

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара определяет координаты в полуплоскости. При изменении от 0 до полуплоскость вращается вокруг оси , в качестве координатных поверхностей получаются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

Внешние ссылки[править | править вики-текст]

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.