Прямоугольная система координат

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Связанные термины: декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названной так по имени Рене Декарта), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не обязательно прямоугольную).

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат $X'X$ и $Y'Y$. Оси координат пересекаются в точке $O$, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Рис. 1

Положение точки $A$ на плоскости определяется двумя координатами $x$ и $y$. Координата $x$ равна длине отрезка $OB$, координата $y$ — длине отрезка $OC$ в выбранных единицах измерения. Отрезки $OB$ и $OC$ определяются линиями, проведёнными из точки $A$ параллельно осям $Y'Y$ и $X'X$ соответственно.

При этом координате $x$ приписывается знак минус, если точка $B$ лежит на луче $OX'$ (а не на луче $OX$, как на рисунке). Координате $y$ приписывается знак минус, если точка $C$ лежит на луче $OY'$. Таким образом,$OX'$ и $OY'$ являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

Ось $X'X$ называется осью абсцисс (лат. abscissus — букв. «отрезанный, отделённый»), а ось $Y'Y$ - осью ординат (лат. ordinatus — букв. «упорядоченный, установленный в определённом порядке»). Координата $x$ называется абсцисса точки $A$, координата $y$ — ордината точки $A$.

Символически это записывают так:

$A(x,\;y)$

или

$A=(x,\;y)$

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

$x_{A},x_{B}$

и т. д.

• В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси $Y'Y$ вверх, ось $X'X$ смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).
• Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат $X'X$ и $Y'Y$, называются координатными углами, четвертями или квадрантами <плоскости> (см. рис. 1).
  • Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
  • Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
  • Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
  • Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат $OX$, $OY$ и $OZ$. Оси координат пересекаются в точке $O$, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. $OX$ — ось абсцисс, $OY$ — ось ординат, $OZ$ — ось аппликат.

Рис. 2

Положение точки $A$ в пространстве определяется тремя координатами $x$, $y$ и $z$. Координата $x$ равна длине отрезка $OB$, координата $y$ — длине отрезка $OC$, координата $z$ — длине отрезка $OD$ в выбранных единицах измерения. Отрезки $OB$, $OC$ и $OD$ определяются плоскостями, проведёнными из точки $A$ параллельно плоскостям $YOZ$, $XOZ$ и $XOY$ соответственно.

Координата $x$ называется абсциссой точки $A$,

координата $y$ — ординатой точки $A$,

координата $z$ — аппликата (лат. applicata — прилегающая) точки $A$.

Символически это записывают так:

$A(x,\;y,\;z)$

или

$A=(x,\;y,\;z)$

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

$x_{A},\;y_{A},\;z_{A}$

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, то есть имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка $B$ лежала не как на рисунке — на луче $OX$, а на его продолжении в обратную сторону от точки $O$ (на отрицательной части оси $OX$), то абсцисса $x$ точки $A$ была бы отрицательной (минус расстоянию $OB$). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении ещё и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси $OX$ против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси $OY$, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси $OZ$).

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями, называется октантом.

Прямоугольная система координат в многомерном пространстве

Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её $n$).

Для обозначения координат обычно применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

$x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n}.$

Для обозначения произвольной $i$-й координаты из этого набора используют буквенный индекс:

$x_{i},$

а нередко обозначение $x_{i},$ используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: $i=1,2,3,\dots n$.

В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет.

Обобщение понятий двумерного квадранта и трёхмерного октанта для $n$-мерного евклидова пространства — ортант или гипероктант.

Прямоугольные координаты вектора

Рис. 1

Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца.

• Таким образом, например, координаты $(x,y)$ на рис.1 являются координатами вектора ${\vec {OA}}$.

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

1. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесённого так, что его начало совпадает с началом координат, — это координаты его конца.
2. Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.

• Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

• Сложение и умножение на скаляр:

$\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\dots ,a_{n}+b_{n})$

или

$(\mathbf {a} +\mathbf {b} )_{i}=a_{i}+b_{i},$

$c\ \mathbf {a} =(c\ a_{1},c\ a_{2},c\ a_{3},\dots ,c\ a_{n})$

или

$(c\ \mathbf {a} )_{i}=c\ a_{i}.$

а отсюда и вычитание и деление на скаляр:

$\mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},\dots ,a_{n}-b_{n})$

или

$(\mathbf {a} -\mathbf {b} )_{i}=a_{i}-b_{i},$

${\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\Big (}{\frac {a_{1}}{\lambda }},{\frac {a_{2}}{\lambda }},{\frac {a_{3}}{\lambda }},\dots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}{\Big )}$

или

${\Big (}{\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}{\Big )}_{i}={\frac {a_{i}}{\lambda }}.$

(Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

• Скалярное произведение:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}$

или

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},$

(Только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

• Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора

$|\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$

и угол между векторами

$\angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}=\mathrm {arccos} {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |}}$

• Внешнее произведение:

$(\mathbf {a} \land \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}$

для любой размерности пространства,

• Векторное произведение (только для трехмерного же пространства, на котором оно и определено):

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{x}=a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}$

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{y}=a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}$

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{z}=a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}$

Очевидно, всё это позволяет, если надо, свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты составляют базис, притом ортонормированный.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются

$\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$ и $\mathbf {k}$

или

$\mathbf {e} _{x}$, $\mathbf {e} _{y}$ и $\mathbf {e} _{z}$.

Могут также применяться обозначения со стрелками (${\vec {i}}$, ${\vec {j}}$ и ${\vec {k}}$ или ${\vec {e}}_{x}$, ${\vec {e}}_{y}$ и ${\vec {e}}_{z}$) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

• $[\mathbf {i} \,,\mathbf {j} ]=\mathbf {k} ;$
• $[\mathbf {j} \,,\mathbf {k} ]=\mathbf {i} ;$
• $[\mathbf {k} \,,\mathbf {i} ]=\mathbf {j} .$

Для более высоких, чем 3, размерностей (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто это

$\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\dots \mathbf {e} _{n},$

где n - размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}$

или

$\mathbf {a} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {e} _{i},$

а для ортонормированного базиса координаты ещё и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

$a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}.$

История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Геометрия» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке. Использование ортов восходит, по-видимому, к Гамильтону и Максвеллу.

См. также

• Аффинные координаты
• Проективные координаты

Ссылки

• В. И. Гервидс. Модель декартовой системы координат (неопр.) (flash). НИЯУ МИФИ (10.03.2011). Дата обращения: 3 мая 2011.