Рациональная функция

Пример рациональной функции от одной переменной: $f(x)={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

Пример рациональной функции от двух переменных

Рациональная функция — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Определения

Рациональной функцией называется функция вида

${\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}$

где  $P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})$,  $Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})$ — многочлены от любого числа переменных.

Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель $Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})$ обращается в ноль.

Частным случаем являются рациональные функции одной переменной:

$R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Рациональное выражение

Рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словами, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в целую степень и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида). Например:

• $x+x^{-1}$
• ${\frac {x}{y-z^{-3}}}$

Любое рациональное выражение может быть приведено к виду рациональной функции.

Свойства

• Любое выражение, которое можно получить из переменных $x_{1},\dots ,x_{n}$ с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.
• Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.

Правильные дроби

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

${\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}=P'_{n-m}(x)+{\frac {P_{m-1}^{''}(x)}{Q_{m}(x)}}$

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения $(x-a)^{k}$ ($a$ — вещественный корень $Q(x)$) либо $(x^{2}+px+q)^{k}$ (где $x^{2}+px+q$ не имеет действительных корней), причём степени $k$ не больше кратности соответствующих корней в многочлене $Q(x)$. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также

• Целая рациональная функция
• Рациональное число
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций