Изогональное сопряжение

Точки $P$ и $P^{*}$ изогонально сопряжены

Преобразование над точками внутри треугольника

Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного треугольника относительно биссектрис углов треугольника.

Определение

Точки $P$ и $P^{*}$ называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными) в треугольнике $\triangle ABC$, если $\angle ABP=\angle CBP^{*}$, $\angle BAP=\angle CAP^{*}$, $\angle BCP=\angle ACP^{*}$. Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.

Свойства

• Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
• Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
• Если точки $P_{a}$, $P_{b}$, $P_{c}$ симметричны точке $P$ относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности $P_{a}P_{b}P_{c}$ изогонально сопряжён точке $P$.
• Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.
• Проекции изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное). Центр этой окружности — середина отрезка между сопряжёнными точками. Частный случай — окружность девяти точек.
• Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха.
• Если коника $\alpha$ изогонально сопряжена прямой $l$, то трилинейные поляры всех точек на $\alpha$ будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу $l$.

Пары изогонально сопряжённых точек

• Центр описанной окружности и ортоцентр.
• Точка пересечения медиан и точка Лемуана.
• Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
• Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Две точки Брока́ра
• Точка Аполлония и точка Торричелли.
• Центр вписанной окружности (инцентр) изогонально сопряжён сам себе.

Координатная запись

В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как:

$(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac {c^{2}}{z}}\right)\,$,

где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму:

$(x:y:z)\ \mapsto ({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}})$,

поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.

Вариации и обобщения

Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.

Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению.

Следствия

• Из изогонального сопряжения можно вывести теорему Паскаля.