Стрелочная нотация Кнута

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике стрелочная нота́ция Кну́та — это метод для записи больших чисел, предложенный Дональдом Кнутом в 1976 году[1].

Стрелочная нотация Кнута тесно связана с функцией Аккермана и особенно с последовательностью гипероператоров. Её идея основывается на том факте, что умножение может быть представлено как выполненное несколько раз сложение, а возведение в степень — как выполненное несколько раз умножение. В частности, итерационное возведение в степень (тетрация) обычно записывается с помощью стрелочной нотации Кнута:

Пентация в обозначениях Кнута:

В указанных обозначениях присутствует b операндов, каждый из которых равен a, соответственно операции повторяются b — 1 раз.

Введение[править | править вики-текст]

Обычные арифметические операции — сложение, умножение и возведение в степень — естественным образом могут быть расширены в последовательность гипероператоров следующим образом.

Умножение натуральных чисел может быть определено через повторно производимую операцию сложения («сложить b копий числа a»):

Например,

Возведение числа а в степень b может быть определено как повторно производимая операция умножения («перемножить b копий числа a»), и в обозначениях Кнута эта запись выглядит как одиночная стрелочка, указывающая вверх:

Например,

Такая одиночная стрелка вверх использовалась в качестве значка степени в языке программирования Алгол.

Продолжая далее последовательность операций за пределы возведения в степень, Дональд Кнут ввёл понятие оператора «двойная стрелочка» для записи тетрации (многократного возведения в степень).

Например,

Здесь и далее вычисление выражения всегда идёт справа налево, также и стрелочные операторы Кнута (как и операция возведение в степень) по определению обладают правой ассоциативностью (очерёдностью справа налево). Согласно данному определению,

и так далее.

Уже это приводит к довольно большим числам, но система обозначений на этом не заканчивается. Оператор «тройная стрелочка» используется для записи повторного возведения в степень оператора «двойная стрелочка» (также известного как «пентация»):

затем оператора «четверная стрелочка»:

и т. д. Общее правило оператор «n-я стрелочка», в соответствии с правой ассоциативностью, продолжается вправо в последовательную серию операторов «n-1 стрелочка». Символически это можно записать следующим образом,

Например:

Форма обозначения обычно используется для записи с n стрелочками.

Система обозначений[править | править вики-текст]

В таких выражениях как , обычно для обозначения возведения в степень пишут показатель степени как верхний индекс основания . Но многие другие среды — такие как языки программирования и e-mail — не поддерживают подобную двумерную конфигурацию. Поэтому пользователи должны использовать линейную форму записи для таких сред; стрелочка наверх предлагает возвести в степень степени. Если среди доступных символов нет стрелочки наверх, тогда вместо неё используется корректурный знак вставки «^». Верхний индекс записи сам по себе не приспособлен к обобщению, что объясняет, почему Дональд Кнут вместо такой формы записи выбрал линейную форму записи .


Обозначение «↑»[править | править вики-текст]

Попытка написать выражение , используя знакомую форму записи с показателями степени, порождает башню степеней. Например:

Если b является переменной величиной (или очень большое), башня степеней может быть записана, используя точки и с пометкой, показывающей высоту башни.

Используя такую форму записи, выражение может быть записано как набор (стек) таких степенных башен, каждая из которых показывает степень вышележащей:

И снова, если b является переменной величиной (или очень большое), набор таких степенных башен может быть записан, используя точки и с пометкой, показывающей их высоты.

Более того, выражение может быть записано, используя несколько колонок подобных степенных башен, где каждая колонна показывает число степенных башен в наборе слева:

В более общем случае:


Так можно писать неограниченно долго, чтобы представить как итерацию возведения в степень для любого a, n и b (хотя понятно, что и это становится достаточно громоздким).

Использование тетрации[править | править вики-текст]

Форма записи в виде тетрации позволяет упростить такие схемы, при этом продолжая использовать геометрическое представление (мы можем их назвать тетрационными башнями).

Наконец, в качестве примера, четвёртое число Аккермана может быть записано в виде:

Обобщение[править | править вики-текст]

Некоторые числа настолько большие, что даже запись стрелочками Кнута становится слишком громоздкой; в этом случае использование оператора n-стрелочка предпочтительней (и также для описания с изменяемым числом стрелочек), или эквивалентно, гипероператорам. Но некоторые числа настолько огромны, что даже подобная запись недостаточна. Например, число Грэма. Для его записи может быть использована цепочка Конвея: цепочка из трёх элементов эквивалентна другой системе записи, но цепочка из четырёх и более элементов является более мощной формой записи.

Общепринято использовать стрелочную форму записи Кнута для маленького размера чисел, а цепные стрелочки или гипероператоры для большого размера.

Определение[править | править вики-текст]

Обозначение стрелочка вверх формально определяется так

для всех целых где .

Все стрелочные операторы (включая обычное возведение в степень, ) обладают правой ассоциативностью, то есть, их вычисление осуществляется справа налево, если выражение содержит два и более подобных оператора. Например,

, но не ;
равно , но

Есть хорошая причина для подобного выбора направления вычисления справа налево. Если бы мы использовали способ вычисления слева направо, тогда было бы равно , и тогда в действительности не являлся бы новым оператором.

Правая ассоциативность также естественна по следующей причине. Мы можем переписать повторяемые стрелочные выражения которые появляются при расширении в виде , где всe a становятся левыми операндами стрелочных операторов. Это важно, так как стрелочные операторы не являются коммутативными.

Записывая как функциональный показатель степени b функции мы получим .

Определение можно продолжить ещё на один шаг, начиная с для n = 0, так как возведение в степень есть повторяемое умножение, начиная с 1. Экстраполировать ещё на один шаг, записывая умножение как повторяемое сложение, не совсем верно так как умножение есть повторяемое сложение, начиная с 0 вместо 1. «Экстраполируя» снова на один шаг, записывая добавочный n как повторяемое добавление 1, требует начинать с числа a. Это отличие также подчёркивается в определении гипероператора, где начальные значения для сложения и умножения задаются раздельно.

Таблица значений[править | править вики-текст]

Расчёт может быть переформулирован в терминах бесконечной таблицы. Мы размещаем числа в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 2. Для опеределения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.

Значения = hyper(2, m + 2, n) = 2 → n → m
m\n 1 2 3 4 5 6 Формула
1 2 4 8 16 32 64
2 2 4 16 65536
3 2 4 65536    
4 2 4      

Таблица такая же, как в статье функция Аккермана, за исключением сдвига в значениях и , и в добавке в размере 3 ко всем значениям.

Расчёт

Мы размещаем числа в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 3. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.

Values of = hyper(3, m + 2, n) = 3 → n → m
m\n 1 2 3 4 5 Формула
1 3 9 27 81 243
2 3 27 7,625,597,484,987  
3 3 7,625,597,484,987    
4 3      

Расчёт

Мы размещаем числа в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 10. Для опеределения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.

Values of = hyper(10, m + 2, n) = 10 → n → m
m\n 1 2 3 4 5 Формула
1 10 100 1,000 10,000 100,000
2 10 10,000,000,000
3 10  
4 10    

Для 2 ≤ n ≤ 9 численное расположение является лексикографическим порядком с m как наиболее значимым числом, так что порядок чисел этих 8 колонок есть просто линия-за-линией. То же самое применимо и для чисел в 97 колонках с 3 ≤ n ≤ 99, и мы начинаем с m = 1 даже для 3 ≤ n ≤ 9,999,999,999.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Knuth, Donald E. (1976). «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness». Science 194: 1235–1242. DOI:10.1126/science.194.4271.1235.

Ссылки[править | править вики-текст]