Тороидальный многогранник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
расширенный кубооктаэдр[en] с удалёнными ромбовидными гранями как тороидальный многогранник рода 11. Все грани этого многогранники являются правильными многоугольниками.
Можно построить многоугольный тор для приближения к поверхности тора развёрткой с четырёхугольными гранями, как показано на этом примере.

В геометрии тороидальный многогранник — это многогранник, который является также тороидом (тор с g дырами), имеющий топологический род, g, равный 1 или выше.

Варианты определения[править | править код]

Тороидальные многогранники определяются как набор многоугольников, которые имеют общие вершины и рёбра, образуя многообразие. То есть, каждое ребро должно быть общим в точности для двух многоугольников, вершинная фигура каждой вершины должна быть одним циклом из многоугольников, которым данная вершина принадлежит. Для тороидальных многогранников это многообразие будет ориентированной поверхностью[1]. Некоторые авторы ограничивают понятие «тороидальный многогранник» до многогранников, топологически эквивалентных (рода 1) тору[2].

Здесь следует различать вложенные тороидальные многогранники, грани которых являются плоскими не пересекающими друг друга многоугольниками в трёхмерном евклидовом пространстве, от абстрактных многогранников[en], топологических поверхностей без определённой геометрической реализации[3]. Серединой между этими двумя крайностями можно считать погружённые тороидальные многогранники, то есть многогранники, образованные многоугольниками или звёздчатыми многоугольниками в евклидовом пространстве, которым разрешено пересекать друг друга.

Во всех этих случаях тороидальная природа многогранников может быть проверена ориентированностью и эйлеровой характеристикой, которая для этих многогранников не положительна.

Многогранники Часара и Силаши[править | править код]

Многогранник Силаши

Два самых простых возможных вложенных тороидальных многогранника — это многогранники Часара и Силаши.

Многогранник Часара — это тороидальный многогранник с семью вершинами, 21 ребром и 14 треугольными гранями[4]. Только этот многогранник и тетраэдр (из известных) обладают свойством, что любой отрезок, соединяющий вершины многогранника является ребром многогранника[5]. Двойственным многогранником является многогранник Силаши, который имеет 7 шестиугольных граней, каждая пара которых смежна друг другу[6], обеспечивая половину теоремы о том, что максимальное значение цветов для раскраски карты на торе (рода 1) равно семи[7].

Многогранник Часара имеет наименьшее возможное число вершин, которое может иметь вложенный тороидальный многогранник, а многогранник Силаши имеет наименьшее возможное число граней.

Тороиды Стюарта[править | править код]

Тороиды Стюарта
Stewart toroid 6-hexprisms.png Excavated truncated cube.png Toroidal polyhedron.gif
Шесть шестиугольных призм Четыре квадратных купола
8 тетраэдров
Восемь октаэдров

Специальная категория тороидальных многогранников строится исключительно с помощью правильных многоугольных граней без их пересечения с дополнительным ограничением, что смежные грани не лежат в одной плоскости. Эти многогранники называются тороидами Стюарта[8] по имени профессора Бонни Стюарта[en], который исследовал их существование[9]. Они аналогичны телам Джонсона в случае выпуклых многогранников, но, в отличие от них, существует бесконечно много тороидов Стюарта[10]. Эти многогранники включают также торотоидальные дельтаэдры, многогранники, грани которых являются равносторонними треугольниками.

Ограниченный класс тороидов Стюарта, также определённых Стюартом, — это квазивыпуклые тороидальные многогранники. Это тороиды Стюарта, которые включают все рёбра их выпуклых оболочек. У этих многогранников каждая грань выпуклой оболочки либо лежит на поверхности тороида, либо является многоугольником, рёбра которого лежат на поверхности тороида[11].

Погружённые многогранники[править | править код]

Octahemioctahedron.png
Октагемиоктаэдр[en]
Small cubicuboctahedron.png
Малый кубооктаэдр[en]
Great dodecahedron.png
Большой додекаэдр

Многогранник, образованный системой пересекающихся многоугольников в пространстве — это многогранное погружение абстрактного топологического многообразия, образованного его многоугольниками и его системой рёбер и вершин. Примеры включают октагемиоктаэдр[en] (род 1), малый кубооктаэдр[en] (род 3) и большой додекаэдр (род 4).

Пятиугольный стефаноид. Этот стефаноид имеет пятиугольную диэдральную симметрию и имеет те же самые вершины, что и однородная пятиугольная призма.

Корончатый многогранник (или стефаноид) — это тороидальный многогранник, который является благородным[en] многогранником, будучи как изогональным (одинаковые типы вершин), так и изоэдральным[en]* (одинаковые грани). Корончатый многогранник является самопересекающимся и топологически самодвойственным[12].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Whiteley (1979); Stewart (1980), стр. 15.
  2. Webber, 1997, с. 31—44.
  3. Whiteley, 1979, с. 46—58, 73.
  4. Császár, 1949, с. 140—142.
  5. Ziegler, 2008, с. 191—213.
  6. Szilassi, 1986, с. 69—80.
  7. Heawood, 1890, с. 322—339.
  8. Webb, 2000, с. 231—268.
  9. Stewart, 1980.
  10. Stewart, 1980, с. 15.
  11. Stewart (1980), «Quasi-convexity and weak quasi-convexity», стр. 76—79.
  12. Grünbaum, 1994, с. 43—70.

Литература[править | править код]

  • Branko Grünbaum. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. — Kluwer Academic Publishers, 1994. — Т. 440. — (NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series). — DOI:10.1007/978-94-011-0924-6_3.. См., в частности, стр. 60.
  • Robert Webb. Stella: polyhedron navigator // Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11, вып. 1—4.
  • B. M. Stewart. Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces. — 2nd. — B. M. Stewart, 1980. — ISBN 978-0-686-11936-4.
  • Lajos Szilassi. Regular toroids // Structural Topology. — 1986. — Т. 13. (недоступная ссылка)
  • P. J. Heawood. Map colouring theorems // Quarterly J. Math. Oxford Ser.. — 1890. — Т. 24.
  • A. Császár. A polyhedron without diagonals // Acta Sci. Math. Szeged. — 1949. — Т. 13.
  • Günter M. Ziegler. Discrete Differential Geometry / A. I. Bobenko, P. Schröder, J. M. Sullivan, G. M. Ziegler. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 38. — ISBN 978-3-7643-8620-7. — DOI:10.1007/978-3-7643-8621-4_10. — arXiv:math.MG/0412093.
  • Walter Whiteley. Realizability of polyhedra // Structural Topology. — 1979. — Вып. 1.
  • William T. Webber. Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids // Geometriae Dedicata. — 1997. — Т. 67, вып. 1. — DOI:10.1023/A:1004997029852.

Ссылки[править | править код]