Изогональная фигура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В геометрии политоп (многогранник, многоугольник или замощение, например) изогонален или вершинно транзитивен, если, грубо говоря, все его вершины эквивалентны. Отсюда следует, что все вершины окружены одним и тем же видом граней[en]* в том же самом (или обратном) порядке и с теми же самыми углами между соответствующими гранями.

Формально, мы говорим, что для любых двух вершин существует симметрия политопа, отображающая первую вершину изометрично во вторую. Другой путь сказать то же самое — что группа автоморфизмов политопа транзитивна на его вершинах, или что вершины лежат внутри одной орбиты симметрии.

Все вершины конечной n-мерной изогональной фигуры существуют на (n-1)-сфере.

Термин изогональный давно использовался в контексте многогранников. Термин вершинно транзитивный является синонимом, позаимствованным из современных идей групп симметрии и теории графов.

Четырёхскатный повернутый купол[en]не являющийся изогональным — демонстрирует, что утверждение «все вершины выглядят одинаковыми» не столь ограничительно, как определение, приведённое выше, которое вовлекает группу изометрий, сохраняющую многогранник или мозаику.

Изогональные многоугольники и бесконечноугольники[править | править код]

Uniform apeirogon.png
Isogonal apeirogon linear.png
Изогональные бесконечноугольники
Isogonal apeirogon.png
Isogonal apeirogon2.png
Isogonal apeirogon2a.png
Isogonal apeirogon2b.png
Isogonal apeirogon2c.png
Isogonal apeirogon2d.png
Изогональные пространственные бесконечноугольники[en]

Все правильные многоугольники, бесконечноугольники и правильные звёздчатые многоугольники являются изогональными. Двойственная фигура для изогонального многоугольника — изотоксальный многоугольник[en].

Некоторые многоугольники с чётным числом сторон и бесконечноугольники, с попеременными двумя длинами сторон, например прямоугольник, являются изогональными.

Все плоские изогональные 2n-угольники имеют диэдральную симметрию (Dn, n=2,3,...) с осями симметрии через середины сторон.

D2 D3 D4 D7
Crossed rectangles.png
Изогональные прямоугольники и скрещ1нные прямоугольники[en] имеют одно и то же расположение вершин[en]
Regular truncation 3 0.75.svg
Изогональная гексаграмма с 6 идентичными вершинами и двумя длинами рёбер [1]
Vertex-transitive-octagon.svg
Изогональный выпуклый восьмиугольник с синими и красными радиальными осями симметрии
Regular polygon truncation 7 3.svg
Изогональный «звёздчатый» четырнадцатиугольник с одним типом вершин и двумя типами рёбер [2].

Изогональные 3-мерные многогранники и 2D-мозаики[править | править код]

Изогональные мозаики
Isogonal snub square tiling.png
Деформированная квадратная мозаика
Distorted truncated square tiling.png
Деформированная
усечённая квадратная мозаика

Изогональный многогранник (3D) и 2D-мозаика имеют единственный вид вершин. Изогональный многогранник с правильными гранями является также однородным многогранником[en] и может быть представлен нотацией вершинной конфигурации[en]*, путём последовательного перечисления граней вокруг каждой вершины. Геометрически деформированные варианты однородных многогранников и мозаик могут также быть заданы вершинной конфигурацией.

Изогональные (3D) многогранники
D3d, порядок 12 Th, порядок 24 Oh[en], порядок 48
4.4.6 3.4.4.4 4.6.8 3.8.8
Cantic snub hexagonal hosohedron2.png
Деформированная шестиугольная призма
Cantic snub octahedron.png
Деформированный ромбокубооктаэдр
Truncated rhombicuboctahedron nonuniform.png
Слегка усечённый кубооктаэдр
Cube truncation 1.50.png
Сверхусечённый куб

Изогональные 3D-многогранники и 2D-мозаики можно классифицировать далее

Размерность N(> 3) — изогональные многогранники и мозаики[править | править код]

Определения изогональных фигур могут быть распространены на многогранники более высоких размерностей и соты. В общем случае все однородные многогранники[en] являются изогональными, например, однородные 4-мерные многогранники[en] и выпуклые однородные соты[en].

Двойственный многогранник для изогонального многогранника является изотопическим[en], т.е. транзитивен по фасетам.

k-изогональные и k-однородные фигуры[править | править код]

Многогранник или соты называются k-изогональными, если его вершины образуют k классов транзитивности. Более ограничивающий термин, k-однородный определяется как k-изогональная фигура, состоящая только из правильных многоугольников. Они могут быть представлены визуально различными цветами однородной раскраски[en].

Truncated rhombic dodecahedron2.png
Этот усечённый робмододекаэдр[en] является 2-изогональным, поскольку он содержит два класса транзитивности вершин. Этот многогранник состоит из квадратов и сплюснутых шестиугольников.
2-uniform 11.png
Эта полуправильная мозаика является также 2-изогональной2-однородной). Эта мозаика состоит из правильных треугольных и правильных шестиугольных граней.
Enneagram 9-4 icosahedral.svg
2-изогональная 9/4 эннеаграмма

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Coxeter, 1931, p. 509—521.
  2. Grünbaum, 1996, p. Figure 1. Parameter t=2.0.

Литература[править | править код]

  • Grünbaum, Branko The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History / Ed. by Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. — The Mathematical Association of America, 1996. Figure 1. Parameter t=2.0
  • Coxeter H. S. M.  The densities of the regular polytopes, Part II // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1931. — P. 509—521.
  • Cromwell, Peter R.  Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — P. 369 Transitivity. — ISBN 0-521-55432-2.
  • Grünbaum B., Shephard G. C.  Tilings and Patterns. — W. H. Freeman and Company, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1. (p. 33 k-isogonal tiling; p. 65 k-uniform tilings)

Ссылки[править | править код]