Правильногранный многогранник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Многогранник Джонсона»)
Перейти к: навигация, поиск
Этот пример, имеющий 24 правильных треугольника в качестве граней, не является телом Джонсона, поскольку не является выпуклым. (Фактически это единственная звёздчатая форма, возможная для октаэдра.)
Этот пример, имеющий 24 квадратных грани, не является телом Джонсона, поскольку не является строго выпуклым (имеет двугранные углы 180°).

Правильногранный многогранник — это строго выпуклый многогранник, и каждая грань которого является правильным многоугольником. (Требования, чтобы каждая грань была тем же самым многоугольником, нет, как и нет требования, чтобы вершину окружали грани одного вида.)

Правильногранный многогранник называется телом Джонсона или многогранником Джонсона если он не является ни платоновым телом (правильным многогранником), ни архимедовым, ни призмой, ни антипризмой.

Примером тела Джонсона служит пирамида с квадратным основанием и сторонами в виде правильных треугольников (J12)[en]). Эта пирамида имеет 1 квадратную грань и 4 треугольные грани.

Как и во всяком строго выпуклом теле, у этих многогранников к каждой вершине примыкает по меньшей мере три грани и сумма их углов (прилегающих к вершине) меньше 360º. Поскольку правильные многоугольники имеют углы по меньшей мере в 60 º, максимум пять граней могут прилегать к вершине. Пятиугольная пирамида[en] (J2) является примером, в котором имеется вершина пятого порядка (т.е. с пятью гранями).

Хотя нет явного ограничения на правильные многоугольники, которые могут служить гранями тел Джонсона, на самом деле грани могут иметь только 3, 4, 5, 6, 8 или 10 сторон.

Из тел Джонсона удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол (J37), который называют также псевдоромбокубооктаэдром [1], единственный обладает свойством локальной вершинной однородности — в каждой вершине находятся 4 грани и их расположение одинаково — 3 квадрата и 1 треугольник. Однако тело вершинно транзитивным не является, поскольку обладает различной изометрией в различных вершинах, что и делает его телом Джонсона, а не архимедовым телом.

Содержание

История[править | править вики-текст]

В 1966 Норман Джонсон[en] опубликовал список, в котором присутствовали все 92 тела, и дал им названия и номера. Он высказал гипотезу, что их только 92, то есть других нет.

Ранее, в 1946 г. Л. Н. Есаулова прислала А. Д. Александрову письмо, в котором доказала, что правильногранных многогранников (кроме 5 правильных многогранников, 13 полуправильных и двух бесконечных серий (призмы и антипризм) может существовать лишь конечное число других правильногранных многогранников. В 1961 году Александров передал это письмо В.А. Залгаллеру, возможно из-за заметки Джонсона 1960 года. [2] В 1967 году Виктор Залгаллер опубликовал доказательство того, что список Джонсона полон. К решению была привлечена группа школьников школы № 239. Полное доказательство заняло около 4 лет с привлечением компьютерной техники. В доказательстве также существенно использовалась теорема Александрова о выпуклых многогранниках.

Терминология[править | править вики-текст]

Названия тел Джонсона имеют большую описательную способность. Большинство этих тел можно построить из нескольких тел (пирамид, куполов и ротонд), добавляя платоновы и архимедовы тела, призмы и антипризмы.

  • Би- означает, что две копии тел соединены по основаниям. Для куполов и ротонд они могут быть соединены по граням одного типа (прямые) или по разным (повёрнутые). Октаэдр, например, является квадратной бипирамидой, кубооктаэдрповёрнутым треугольным бикуполом, а икосододекаэдрповёрнутым пятиугольным бикуполом.
  • Удлинённый означает, что к телу присоединена призма или она вставлена между двумя частями тела. Ромбокубооктаэдр, например, является удлинённым квадратным прямым куполом.
  • Скрученно удлинённый означает, что к телу присоединена антипризма или она вставлена между двумя частями тела. Икосаэдр, например, является скрученно удлинённой пятиугольной бипирамидой.
  • Наращённый означает, что пирамида или купол присоединён к грани тела.
  • Отсечённый означает, что пирамида или купол отрезан от тела.
  • Скрученный означает, что купол, принадлежащий многограннику, повёрнут таким же образом, как в повёрнутых бикуполах.

Последние три операции — наращение, отсечение и поворот — могут быть осуществлены более одного раза на достаточно больших многогранниках. Для операций, осуществлённых два раза, добавляется дважды. (дважды скрученное тело имеет два повёрнутых купола.) Для операций, осуществлённых три раза, добавляется трижды. (У трижды отсечённого тела удалены три пирамиды или купола.)

Иногда слова дважды недостаточно. Нам необходимо отличать тела, в которых изменены две противоположные грани от тел, в которых изменены другие грани. Когда изменённые грани параллельны, в название добавляется противоположно. (Дважды противоположно наращённое тело имеет две параллельные грани (противоположные) с добавленными телами.) Если же изменения касаются граней, не являющихся противоположными, в название добавляется, косо. (Дважды косо наращённое тело имеет две грани с добавленными телами, но грани не противоположны.)

Несколько названий происходят от многоугольников, из которых собрано тело Джонсона.

Если определить месяц как группу из двух треугольников, присоединённых к квадрату, слово клинокорона соответствует клиновидной короноподобной группе, образованной двумя месяцами. Слово двуклиноид или двуклинник означает две таких группы.

В данной статье используются названия из статьи Залгаллера [3]. Вместе с номерами многогранников, данными Джонсоном, в скобках приводится составной номер из статьи Залгаллера. В этом составном номере

Пn обозначает призму с n-угольным основанием.
Аn обозначает антипризму с n-угольным основанием.
Мn обозначает тело с индесом n (т.е. в этом случае тело строится на основе другого тела).
Подчёркивание означает поворот тела

Замечание: Мn не совпадает с Jn. Так, квадратная пирамида J12) имеет индекс 1 у Джонсона и индекс 2 у Залгаллера.

Список[править | править вики-текст]

Подробное рассмотрение темы: Список многогранников Джонсона

Пирамиды[править | править вики-текст]

Первые два тела Джонсона, J1 и J2, являются пирамидами. Треугольная пирамида является правильным тетраэдром, так что не является телом Джонсона.

Пирамиды
Правильные J12) J23)
Треугольная пирамида
(Тетраэдр)
Квадратная пирамида Пятиугольная пирамида[en]
Tetrahedron.png Square pyramid.png Pentagonal pyramid.png
Tetrahedron flat.svg Johnson solid 1 net.png Johnson solid 2 net.png

Куполы и ротонды[править | править вики-текст]

Следующие четыре многогранника являются тремя куполами и одной ротондой.

Куполы Ротонды
Однородные J34) J45) J56) J69)
Треугольная призма Трёхскатный купол[en] Четырёхскатный купол Пятискатный купол[en] Пятискатная ротонда[en]
Triangular prism wedge.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png Pentagonal rotunda.png
Johnson solid 3 net.png Johnson solid 4 net.png Johnson solid 5 net.png Johnson solid 6 net.png
Связанные однородные многогранники
Кубооктаэдр Ромбокубооктаэдр Ромбоикосододекаэдр Икосододекаэдр
Cuboctahedron.png Small rhombicuboctahedron.png Small rhombicosidodecahedron.png Icosidodecahedron.png

Удлинённые и скрученно удлинённые пирамиды[править | править вики-текст]

Следующие пять многогранников Джонсона являются удлинёнными и скручено удлинёнными пирамидами. Они представляют собой склеивание двух многогранников. В случае скрученно удлинённой треугольной пирамиды три пары смежных треугольников копланарны, так что тело не является многогранником Джонсона.

Удлинённые пирамиды[en]
(или наращённые призмы)
Скрученно удлинённые пирамиды[en]
(или наращённые антипризмы)
J713) J824) J935) Копланарная J1024) J1135)
Удлинённая треугольная пирамида[en] Удлинённая четырёхугольная пирамида Удлинённая пятиугольная пирамида[en] Скрученно удлинённая треугольная пирамида Скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида[en]
Наращённая треугольная призма Наращённый куб Наращённая пятиугольная призма Наращённый октаэдр Наращённая квадратная антипризма Наращённая пятиугольная антипризма
Elongated triangular pyramid.png Elongated square pyramid.png Elongated pentagonal pyramid.png Augmented octahedron.png Gyroelongated square pyramid.png Gyroelongated pentagonal pyramid.png
Johnson solid 7 net.png Johnson solid 8 net.png Johnson solid 9 net.png Augmented octahedgon net.png Johnson solid 10 net.png Johnson solid 11 net.png
Получено из многогранников
тетраэдр
Треугольная призма
Квадратная пирамида
куб
Пятиугольная пирамида[en]
пятиугольная призма
тетраэдр
октаэдр
Квадратная пирамида
квадратная антипризма[en]
пятиугольная пирамида[en]
пятиугольная антипризма
Tetrahedron.png Triangular prism.png Square pyramid.png Hexahedron.png Pentagonal pyramid.png Pentagonal prism.png Tetrahedron.png Octahedron.png Square pyramid.png Square antiprism.png Pentagonal pyramid.png Pentagonal antiprism.png

Бипирамиды[править | править вики-текст]

Следующими многогранниками Джонсона являются бипирамиды, удлинённые бипирамиды[en] и скрученно удлинённые бипирамиды[en]:

Бипирамиды Удлинённые бипирамиды[en] Скрученно удлинённые бипирамиды[en]
J12(2М1) Правильная J13(2М3) J14131) J15242) J16353) Копланарная J17242) Правильные
Треугольная бипирамида[en] квадратная бипирамида
(октаэдр)
Пятиугольная бипирамида Удлинённая треугольная бипирамида[en] Удлинённая четырёхугольная бипирамида Удлинённая пятиугольная бипирамида[en] Скрученно удлинённая треугольная бипирамида
(Ромбоэдр)
Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида Скрученно удлинённая пятиугольная бипирамида
(икосаэдр)
Triangular dipyramid.png Octahedron.png Pentagonal dipyramid.png Elongated triangular dipyramid.png Elongated square dipyramid.png Elongated pentagonal dipyramid.png Gyroelongated triangular bipyramid.png Gyroelongated square dipyramid.png Pentagonal gyroelongated bipyramid.png
Johnson solid 12 net.png Octahedron flat.svg Johnson solid 13 net.png Johnson solid 14 net.png Johnson solid 15 net.png Johnson solid 16 net.png Johnson solid 17 net.png Icosahedron flat.svg
Получено из многогранников
тетраэдр Квадратная пирамида Пятиугольная пирамида[en] тетраэдр
Треугольная призма
Квадратная пирамида
куб
Пятиугольная пирамида[en]
пятиугольная призма
тетраэдр
октаэдр
Квадратная пирамида
Четырёхугольная антипризма[en]
Пятиугольная пирамида[en]
Пятиугольная антипризма
Tetrahedron.png Square pyramid.png Pentagonal pyramid.png Tetrahedron.pngTriangular prism.png Square pyramid.pngHexahedron.png Pentagonal pyramid.pngPentagonal prism.png Tetrahedron.pngOctahedron.png Square pyramid.pngSquare antiprism.png Pentagonal pyramid.pngPentagonal antiprism.png

Удлинённые куполы и ротонды[править | править вики-текст]

Удлинённые куполы[en] Удлинённая ротонда Скрученно удлинённые куполы[en] Скрученно удлинённая ротонда
Копланареые J1846) J1958) J20610) J21910) Вогнутые J2246) J2358) J24610) J25910)
Удлинённый двускатный купол Удлинённый трёхскатный купол[en] Удлинённый четырёхскатный купол[en] Удлинённый пятискатный купол[en] Удлинённая пятискатная ротонда[en] Скрученно удлинённый двускатный купол Скрученно удлинённый трёхскатный купол[en] Скрученно удлинённый четырёхскатный купол[en] Скрученно удлинённый пятискатный купол[en] Скрученно удлинённая пятискатная ротонда[en]
Elongated digonal cupola.png Elongated triangular cupola.png Elongated square cupola.png Elongated pentagonal cupola.svg Elongated pentagonal rotunda.png Gyroelongated digonal cupola.png Gyroelongated triangular cupola.png Gyroelongated square cupola.png Gyroelongated pentagonal cupola.png Gyroelongated pentagonal rotunda.png
Johnson solid 18 net.png Johnson solid 19 net.png Johnson solid 20 net.png Johnson solid 21 net.png Johnson solid 22 net.png Johnson solid 23 net.png Johnson solid 24 net.png Johnson solid 25 net.png
Получены из многогранников
Квадратная призма
Треугольная призма
Шестиугольная призма
Трёхскатный купол[en]
Восьмиугольная призма
Четырёхскатный купол
Десятиугольная призма
Пятискатный купол[en]
Десятиугольная призма
Пятискатная ротонда[en]
Четырёхугольная антипризма[en]
Треугольная призма
Шестиугольная антипризма
Трёхскатный купол[en]
Восьмиугольная антипризма[en]
Четырёхскатный купол
Десятиугольная антипризма[en]
Пятискатный купол[en]
Десятиугольная антипризма[en]
Пятискатная ротонда[en]
Tetragonal prism.pngTriangular prism.png Hexagonal prism.pngTriangular cupola.png Octagonal prism.pngSquare cupola.png Decagonal prism.pngPentagonal cupola.png Decagonal prism.pngPentagonal rotunda.png Square antiprism.pngTriangular prism.png Hexagonal antiprism.pngTriangular cupola.png Octagonal antiprism.pngSquare cupola.png Decagonal antiprism.pngPentagonal cupola.png Decagonal antiprism.pngPentagonal rotunda.png

Бикуполы[править | править вики-текст]

Повёрнутые треугольные бикуполы являются полуправильными многогранниками (в данном случае — архимедовыми телами), так что они не принадлежат классу многогранников Джонсона.

Прямые куполы Прямые куполы
Копланарный J27(2М4) J28(2М5) J30(2М6) J263+П3) Полуправильный J295+М5) J316+М6)
Двускатный прямой бикупол Трёхскатный прямой бикупол[en] Четырёхскатный прямой бикупол[en] Пятискатный прямой бикупол[en] Двускатный повёрнутый бикупол
(гиробифастигиум)
Треугольный повёрнутый бикупол
(кубооктаэдр)
Четырёхскатный повёрнутый бикупол Пятискатный повёрнутый бикупол[en]
Digonal orthobicupola.png Triangular orthobicupola.png Square orthobicupola.png Pentagonal orthobicupola.png Gyrobifastigium.png Cuboctahedron.png Square gyrobicupola.png Pentagonal gyrobicupola.png
Johnson solid 27 net.png Johnson solid 28 net.png Johnson solid 30 net.png Johnson solid 26 net.png Cuboctahedron flat.svg Johnson solid 29 net.png Johnson solid 31 net.png
Получены из многогранников
Triangular prism.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png Triangular prism.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png

Куполоротонды и биротонды[править | править вики-текст]

Куполоротонды Биротонды
J3269) J336+М9) J34(2М9) Полуправильная
Пятискатная прямая куполоротонда[en] Пятискатная повёрнутая куполоротонда[en] Пятискатная прямая биротонда[en] Пятискатная повёрнутая биротонда
икосододекаэдр
Pentagonal orthocupolarotunda.png Pentagonal gyrocupolarotunda.png Pentagonal orthobirotunda.png Icosidodecahedron.png
Johnson solid 32 net.png Johnson solid 33 net.png Johnson solid 34 net.png Icosidodecahedron flat.svg
Получены из многогранников
Пятискатный купол[en]
Пятискатная ротонда[en]
Пятискатная ротонда[en]
Pentagonal cupola.pngPentagonal rotunda.png Pentagonal rotunda.png

Удлинённые бикуполы[править | править вики-текст]

Удлинённые прямые бикуполы[en] Удлинённые повёрнутые бикуполы[en]
Копланарный J35464) Полуправильный J386106) Копланарный J3646+М4) J3758+М5) J39610+М6)
Удлинённый двускатный прямой бикупол Удлинённый трёхскатный прямой бикупол[en] Удлинённый квадратный прямой бикупол
(ромбокубооктаэдр)
Удлинённый пятискатный прямой бикупол[en] Удлинённый двухскатный повёрнутый бикупол Удлинённый трёхскатный повёрнутый бикупол[en] Удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол Удлинённый пятискатный повёрнутый бикупол[en]
Elongated digonal orthobicupola.png Elongated triangular orthobicupola.png Small rhombicuboctahedron.png Elongated pentagonal orthobicupola.png Elongated digonal gyrobicupola.png Elongated triangular gyrobicupola.png Elongated square gyrobicupola.png Elongated pentagonal gyrobicupola.png
Johnson solid 35 net.png Rhombicuboctahedron flat.png Johnson solid 38 net.png Johnson solid 36 net.png Johnson solid 37 net.png Johnson solid 39 net.png

Удлинённые куполы и биротонды[править | править вики-текст]

Удлинённые куполы Удлинённые биротонды
J406+ П109) J416+ П10+М9) J429+ П109) J439+ П10+М9)
Удлинённая пятискатная прямая куполоротонда[en] Удлинённая пятискатная повёрнутая куполоротонда[en] Удлинённая пятискатная прямая биротонда[en] Удлинённая пятискатная повёрнутая биротонда[en]
Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png Elongated pentagonal orthobirotunda.png Elongated pentagonal gyrobirotunda.png
Johnson solid 40 net.png Johnson solid 41 net.png Johnson solid 42 net.png Johnson solid 43 net.png

Скрученно удлинённые бикуполы, куполоротонды и биротонды[править | править вики-текст]

Следующие тела Джонсона имеют две хиральные формы.

Скрученно удлинённые бикуполы[en] Скрученно удлинённая куполоротонда Скрученно удлинённая биротонда
Невыпуклый J44464) J45585) J466106) J476109) J489109)
Скрученно удлинённый двускатный бикупол Скрученно удлинённый трёхскатный бикупол[en] Скрученно удлинённый четырёхскатный бикупол[en] Скрученно удлинённый пятискатный бикупол[en] Скрученно удлинённая пятискатная куполоротонда[en] Скрученно удлинённая пятискатная биротонда[en]
Gyroelongated digonal bicupola.png Gyroelongated triangular bicupola.png Gyroelongated square bicupola.png Gyroelongated pentagonal bicupola.png Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png Gyroelongated pentagonal birotunda.png
Johnson solid 44 net.png Johnson solid 45 net.png Johnson solid 46 net.png Johnson solid 47 net.png Johnson solid 48 net.png
Получены из многогранников
Треугольная призма
Четырёхугольная антипризма[en]
Трёхскатный купол[en]
Шестиугольная антипризма
Четырёхскатный купол
Восьмиугольная антипризма[en]
Пятискатный купол[en]
Десятиугольная антипризма[en]
Пятискатный купол[en]
Пятискатная ротонда[en]
Десятиугольная антипризма[en]
Пятискатная ротонда[en]
Десятиугольная антипризма[en]
Triangular prism.pngSquare antiprism.png Triangular cupola.pngHexagonal antiprism.png Square cupola.pngOctagonal antiprism.png Pentagonal cupola.pngDecagonal antiprism.png Pentagonal cupola.pngPentagonal rotunda.pngDecagonal antiprism.png Pentagonal rotunda.pngDecagonal antiprism.png

Наращённые треугольные призмы[править | править вики-текст]

J71+ П3)
(повторно)
J4932) J503+2М2) J513+3М2)
Удлинённая треугольная пирамида[en] Наращённая треугольная призма Дважды наращённая треугольная призма Трижды наращённая треугольная призма
Elongated triangular pyramid.png Augmented triangular prism.png Biaugmented triangular prism.png Triaugmented triangular prism.png
Johnson solid 7 net.png Johnson solid 49 net.png Johnson solid 50 net.png Johnson solid 51 net.png
Получены из многогранников
Треугольная призма
тетраэдр
Треугольная призма
Квадратная пирамида
Triangular prism.png Tetrahedron.png Triangular prism.png Square pyramid.png

Наращённые пятиугольные и шестиугольные призмы[править | править вики-текст]

Наращённые пятиугольные призмы Наращённые шестиугольные призмы
J5252) J535+2М2) J5462) J55252) J566+2М2) J576+3М2)
Наращённая пятиугольная призма[en] Дважды наращённая пятиугольная призма[en] Наращённая шестиугольная призма[en] Дважды противоположно наращённая шестиугольная призма[en] Дважды косо наращённая шестиугольная призма[en] Трижды наращённая шестиугольная призма[en]
Augmented pentagonal prism.png Biaugmented pentagonal prism.png Augmented hexagonal prism.png Parabiaugmented hexagonal prism.png Metabiaugmented hexagonal prism.png Triaugmented hexagonal prism.png
Johnson solid 52 net.png Johnson solid 53 net.png Johnson solid 54 net.png Johnson solid 55 net.png Johnson solid 56 net.png Johnson solid 57 net.png
Получены из многогранников
Пятиугольная призма
Квадратная пирамида
Шестиугольная призма
Квадратная пирамида
Pentagonal prism.png Square pyramid.png Hexagonal prism.png Square pyramid.png

Наращённые додекаэдры[править | править вики-текст]

Правильный J58153) J593153) J6015+2М3) J6115+3М3)
Додекаэдр Наращённый додекаэдр[en] Дважды противоположно наращённый додекаэдр[en] Дважды косо наращённый додекаэдр[en] Трижды наращённый додекаэдр[en]
Dodecahedron.png Augmented dodecahedron.png Parabiaugmented dodecahedron.png Metabiaugmented dodecahedron.png Triaugmented dodecahedron.png
Dodecahedron flat.svg Johnson solid 58 net.png Johnson solid 59 net.png Johnson solid 60 net.png Johnson solid 61 net.png
Получены из многогранников
Додекаэдр и пятиугольная пирамида[en]
Dodecahedron.png Pentagonal pyramid.png

Отсечённые икосаэды[править | править вики-текст]

J637) J6273) J1135)
(повторно)
Правильный J6471)
Трижды отсечённый икосаэдр Дважды косо отсёченный икосаэдр[en] Отсечённый икосаэдр
(Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида[en])
Икосаэдр Наращённый трижды отсечённый икосаэдр
Tridiminished icosahedron.png Metabidiminished icosahedron.png Gyroelongated pentagonal pyramid.png Icosahedron.png Augmented tridiminished icosahedron.png
Johnson solid 63 net.png Johnson solid 62 net.png Johnson solid 11 net.png Icosahedron flat.svg Johnson solid 64 net.png
Получены из многогранников
Трижды отсечённый икосаэдр, пятиугольная пирамида[en] и тетраэдр
Tridiminished icosahedron.pngPentagonal pyramid.pngTetrahedron.png

Наращённые усечённые тетраэдры и кубы[править | править вики-текст]

J65104) J66115) J675115)
Наращённый усечённый тетраэдр[en] Наращённый усечённый куб[en] Дважды наращённый усечённый куб[en]
Augmented truncated tetrahedron.png Augmented truncated cube.png Biaugmented truncated cube.png
Johnson solid 65 net.png Johnson solid 66 net.png Johnson solid 67 net.png
Получены из многогранников
Усечённый тетраэдр
Трёхскатный купол[en]
Усечённый куб
Четырёхскатный купол
Truncated tetrahedron.pngTriangular cupola.png Truncated hexahedron.pngSquare cupola.png

Наращённые усечённые додекаэдры[править | править вики-текст]

Полуправильный J68612) J696126) J7012+2М6) J7112+3М6)
Усечённый додекаэдр Наращённый усечённый додекаэдр[en] Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр[en] Дважды косо наращённый усечённый додекаэдр[en] Трижды наращённый усечённый додекаэдр[en]
Truncated dodecahedron.png Augmented truncated dodecahedron.png Parabiaugmented truncated dodecahedron.png Metabiaugmented truncated dodecahedron.png Triaugmented truncated dodecahedron.png
Truncated dodecahedron flat.png Johnson solid 68 net.png Johnson solid 69 net.png Johnson solid 70 net.png Johnson solid 71 net.png

Скрученные ромбоикосододекаэдры[править | править вики-текст]

J72(М6146=М613+2М6) J73(М614+М6) J74(2М6136) J75(3М613)
Скрученный ромбоикосододекаэдр[en] Дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр[en] Дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр[en] Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр[en]
Gyrate rhombicosidodecahedron.png Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png Trigyrate rhombicosidodecahedron.png
Johnson solid 72 net.png Johnson solid 73 net.png Johnson solid 74 net.png Johnson solid 75 net.png

Отсечённые ромбоикосододекаэдры[править | править вики-текст]

J76614=2М613) J7714+М6) J78136+М6) J7913+2М6)
Отсечённый ромбоикосододекаэдр[en] Противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр[en] Косо скрученный отсёченный ромбоикосододекаэдр[en] Дважды косо скрученный отсёченный ромбоикосододекаэдр[en]
Diminished rhombicosidodecahedron.png Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
Johnson solid 76 net.png Johnson solid 77 net.png Johnson solid 78 net.png Johnson solid 79 net.png
 
J8014) J81136) J8214+М6) J8313)
Дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр[en] Дважды косо отсечённый ромбоикосододекаэдр[en] Скрученный дважды отсечённый ромбоикосододекаэдр[en] Трижды отсечённый ромбоикосододекаэдр[en]
Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png Tridiminished rhombicosidodecahedron.png
Johnson solid 80 net.png Johnson solid 81 net.png Johnson solid 82 net.png Johnson solid 83 net.png

Плосконосые антипризмы[править | править вики-текст]

Плосконосые[en] антипризмы можно построить альтерованием усечённых антипризм. Два тела являются многогранниками Джонсона, одно тело правильное, а остальные нельзя построить с помощью правильных треугольников.

J8425) Правильный J8528) Неправильный
Тело Джонсона Правильный Тело Джонсона Вогнутый...
Snub digonal antiprism.png
Плосконосый двуклиноид
ss{2,4}
Snub triangular antiprism.png
икосаэдр
ss{2,6}
Snub square antiprism colored.png
Плосконосая квадратная антипризма[en]
ss{2,8}
Snub pentagonal antiprism.png
ss{2,10}...
Snub disphenoid net snubcoloring.png Snub triangular antiprism net.png Snub square antiprism net snubcoloring.png

Другие[править | править вики-текст]

J8622) J87223) J8823)
Клинокорона Наращённая клинокорона Большая клинокорона
Sphenocorona.png Augmented sphenocorona.png Sphenomegacorona.png
Johnson solid 86 net.png Johnson solid 87 net.png Johnson solid 88 net.png
J8921) J9024) J918) J9220)
Уплощённая большая клинокорона[en] Опоясанный двуклинник[en] Двойная серпоротонда[en] Уплощённая треугольная клиноротонда
Hebesphenomegacorona.png Disphenocingulum.png Bilunabirotunda.png Triangular hebesphenorotunda.png
Johnson solid 89 net.png Johnson solid 90 net.png Johnson solid 91 net.png Johnson solid 92 net.png

Классификация по типам граней[править | править вики-текст]

Треугольные грани[править | править вики-текст]

Пять многогранников Джонсона являются дельтаэдрами, то есть, все их грани — правильные треугольники:

J12(2М1) Треугольная бипирамида[en] Triangular dipyramid.png
J13(2М3) Пятиугольная бипирамида Pentagonal dipyramid.png
J17242) Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида Gyroelongated square dipyramid.png
J513+3М2) Трижды наращённая треугольная призма Triaugmented triangular prism.png
J8425) Плосконосый двуклиноид Snub disphenoid.png

Треугольные и квадратные грани[править | править вики-текст]

Двадцать четыре многогранника Джонсона имеют только треугольные и четырёхугольные грани:

J12)
Квадратная пирамида Square pyramid.png
J713)
Удлинённая треугольная пирамида[en] Elongated triangular pyramid.png
J824)
Удлинённая четырёхугольная пирамида Elongated square pyramid.png
J1024)
Скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида Gyroelongated square pyramid.png
J14131)
Удлинённая треугольная бипирамида[en] Elongated triangular dipyramid.png
J15242)
Удлинённая четырёхугольная бипирамида Elongated square dipyramid.png
J16353)
Удлинённая пятиугольная бипирамида[en] Elongated pentagonal dipyramid.png
J263+П3)
Двускатный повёрнутый бикупол (гиробифастигиум) Gyrobifastigium.png
J27 (2М4)
Трёхскатный прямой бикупол[en] Triangular orthobicupola.png
J28 (2М5)
Четырёхскатный прямой бикупол[en] Square orthobicupola.png
J295+М5)
Четырёхскатный повёрнутый бикупол Square gyrobicupola.png
J35464)
Удлинённый трёхскатный прямой бикупол[en] Elongated triangular orthobicupola.png
J3646+М4)
Удлинённый трёхскатный повёрнутый бикупол[en] Elongated triangular gyrobicupola.png
J3758+М5)
Удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол Elongated square gyrobicupola.png
J44464)
Скрученно удлинённый трёхскатный бикупол[en] Gyroelongated triangular bicupola.png
J45585)
Cкрученно удлинённый четырёхскатный бикупол[en] Gyroelongated square bicupola.png
J4932)
Наращённая треугольная призма Augmented triangular prism.png
J503+2М2)
Дважды наращённая треугольная призма Biaugmented triangular prism.png
J8528)
Плосконосая квадратная антипризма[en] Snub square antiprism.png
J8622)
Клинокорона Sphenocorona.png
J87223)
Наращённая клинокорона Augmented sphenocorona.png
J8823)
Большая клинокорона Sphenomegacorona.png
J8921)
Уплощённая большая клинокорона[en] Hebesphenomegacorona.png
J9024)
Опоясанный двуклинник[en] Disphenocingulum.png

Треугольные и пятиугольные грани[править | править вики-текст]

Одиннадцать тел Джонсона имеют только треугольные и пятиугольные грани:

J23)
пятиугольная пирамида[en] Pentagonal pyramid.png
J1135)
Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида[en] Gyroelongated pentagonal pyramid.png
J34(2М9)
Пятискатная прямая биротонда[en] Pentagonal orthobirotunda.png
J489109)
Скрученно удлинённая пятискатная биротонда[en] Gyroelongated pentagonal birotunda.png
J58153)
Наращённый додекаэдр[en] Augmented dodecahedron.png
J593153)
Дважды противоположно наращённый додекаэдр[en] Parabiaugmented dodecahedron.png
J6015+2М3)
Дважды косо наращённый додекаэдр[en] Metabiaugmented dodecahedron.png
J6115+2М3)
Трижды наращённый додекаэдр[en] Triaugmented dodecahedron.png
J6273)
Дважды косо отсечённый икосаэдр[en] Metabidiminished icosahedron.png
J637)
Трижды отсечённый икосаэдр Tridiminished icosahedron.png
J647)
Наращённый трижды отсечённый икосаэдр Augmented tridiminished icosahedron.png

Треугольные, квадратные и шестиугольные грани[править | править вики-текст]

Восемь многогранников Джонсона имеют только треугольные, квадратные и шестиугольные грани:

J34)
Трёхскатный купол[en] Triangular cupola.png
J1846)
Удлинённый трёхскатный купол[en] Elongated triangular cupola.png
J2246)
Скрученно удлинённый трёхскатный купол[en] Gyroelongated triangular cupola.png
J5462)
Наращённая шестиугольная призма[en] Augmented hexagonal prism.png
J55262)
Дважды противоположно наращённая шестиугольная призма[en] Parabiaugmented hexagonal prism.png
J566+2М2)
Дважды косо наращённая шестиугольная призма[en] Metabiaugmented hexagonal prism.png
J576+3М2)
Трижды наращённая шестиугольная призма[en] Triaugmented hexagonal prism.png
J65104)
Наращённый усечённый тетраэдр[en] Augmented truncated tetrahedron.png

Треугольные, квадратные и восьмиугольные грани[править | править вики-текст]

Пять многогранников Джонсона имеют только треугольные, квадратные и восьмиугольные грани:

J45)
Четырёхскатный купол Square cupola.png
J195+ П8)
Удлинённый четырёхскатный купол[en] Elongated square cupola.png
J235+ А8)
Скрученно удлинённый четырёхскатный купол[en] Gyroelongated square cupola.png
J66115)
Наращённый усечённый куб[en] Augmented truncated cube.png
J675115)
Дважды наращённый усечённый куб[en] Biaugmented truncated cube.png

Вписываемые в сферу многогранники Джонсона[править | править вики-текст]

25 многогранников Джонсона имеют вершины, которые лежат на одной сфере: 1-6,11,19,27,34,37,62,63,72-83. Все эти многогранники можно получить из правильных или однородных многогранников путём поворота (купола) или отсечения (купола или пирамиды).[4]

Октаэдр Кубооктаэдр Ромбокубооктаэдр
J12)[en]
Square pyramid.png
J34)[en]
Triangular cupola.png
J27(2М4)[en]
Triangular orthobicupola.png
J45)
Square cupola.png
J1958)[en]
Elongated square cupola.png
J37585)[en]
Elongated square gyrobicupola.png
Икосаэдр Икосододекаэдр
J23)[en]
Pentagonal pyramid.png
J633)
Tridiminished icosahedron.png
J6273)[en]
Metabidiminished icosahedron.png
J1135)[en]
Gyroelongated pentagonal pyramid.png
J69)[en]
Pentagonal rotunda.png
J34(2М9)[en]
Pentagonal orthobirotunda.png
Ромбоикосододекаэдр (отсечённый)
J56)[en]
Pentagonal cupola.png
J76614)[en]
Diminished rhombicosidodecahedron.png
J8014)[en]
Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png
J81136)[en]
Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png
J8313)[en]
Tridiminished rhombicosidodecahedron.png
Ромбоикосододекаэдр (+поворот)
J72(М6146)[en]
Gyrate rhombicosidodecahedron.png
J73(М614+ М6)[en]
Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png
J74(2М6136)[en]
Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png
J75(3М613)[en]
Trigyrate rhombicosidodecahedron.png
J7714+U>М6)[en]
Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
J78136+М6)[en]
Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
J7913+2М6)[en]
Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
J8214+М6)[en]
Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Pseudo Rhombicuboctahedra
  2. N. W. Johnson Convex polyhedra with regular faces (preliminary report) // Notices Amer. Math. Soc.. — 1960. — С. 952.
  3. Залгаллер, 1967.
  4. Johnson solids et al

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]