Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра. Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра)
(
u
,
v
,
z
)
{\displaystyle (u,\;v,\;z)}
— система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты
z
{\displaystyle \ z}
аппликаты .
Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация, соответствующая
{
x
=
c
2
(
u
2
−
v
2
)
,
y
=
c
u
v
,
z
=
z
,
{\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}}
где
c
>
0
{\displaystyle c>0}
размерный множитель .
Поверхности уровня
u
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle u=\mathrm {const} }
v
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle v=\mathrm {const} }
параболические цилиндры , образующие которых параллельны оси
z
{\displaystyle z}
{
x
=
c
2
(
u
2
−
v
2
)
,
y
=
c
u
v
,
z
=
z
,
{\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}}
{
ρ
=
c
2
(
u
2
+
v
2
)
,
φ
=
a
r
c
t
g
(
2
u
v
u
2
−
v
2
)
,
z
=
z
.
{\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\dfrac {c}{2}}(u^{2}+v^{2}),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {2uv}{u^{2}-v^{2}}}\right),\\z=z.\end{cases}}}
Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:
{
H
u
=
c
u
2
+
v
2
,
H
v
=
c
u
2
+
v
2
,
H
z
=
1.
{\displaystyle {\begin{cases}H_{u}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{v}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{z}=1.\end{cases}}}
g
r
a
d
F
(
u
,
v
,
z
)
=
1
c
u
2
+
v
2
(
∂
F
∂
u
e
→
u
+
∂
F
∂
v
e
→
v
)
+
∂
F
∂
z
e
→
z
.
{\displaystyle \mathrm {grad} \,F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left({\frac {\partial F}{\partial u}}{\vec {e}}_{u}+{\frac {\partial F}{\partial v}}{\vec {e}}_{v}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.}
d
i
v
A
→
(
u
,
v
,
z
)
=
1
c
(
u
2
+
v
2
)
[
∂
∂
u
(
u
2
+
v
2
A
u
)
+
∂
∂
v
(
u
2
+
v
2
A
v
)
]
+
∂
A
z
∂
z
.
{\displaystyle \mathrm {div} {\vec {A}}(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}\right)\right]+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.}
r
o
t
A
→
=
1
c
u
2
+
v
2
[
∂
∂
v
A
z
−
∂
∂
z
(
c
u
2
+
v
2
A
v
)
]
e
→
u
+
1
c
u
2
+
v
2
[
∂
∂
z
(
c
u
2
+
v
2
A
u
)
−
∂
∂
u
A
z
]
e
→
v
+
{\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial v}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})\right]{\vec {e}}_{u}+{\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}A_{z}\right]{\vec {e}}_{v}+}
+
1
c
(
u
2
+
v
2
)
[
∂
∂
u
(
c
u
2
+
v
2
A
v
)
−
∂
∂
v
(
c
u
2
+
v
2
A
u
)
]
e
→
z
.
{\displaystyle +{\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})\right]{\vec {e}}_{z}.}
Δ
F
(
u
,
v
,
z
)
=
1
c
2
(
u
2
+
v
2
)
[
∂
2
F
∂
u
2
+
∂
2
F
∂
v
2
]
+
∂
2
F
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}
Название координат Типы систем координат Двумерные координаты Трёхмерные координаты
n
{\displaystyle n}
Физические координаты Связанные определения
![{\displaystyle \mathrm {div} {\vec {A}}(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}\right)\right]+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57deaef6a58d441691d307f091d7d923e9afc9c2)
![{\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial v}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})\right]{\vec {e}}_{u}+{\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}A_{z}\right]{\vec {e}}_{v}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd50f8c81a8df2c284fad6084e82d7266c58f73)
![{\displaystyle +{\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})\right]{\vec {e}}_{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5417e6775a7bb1febc07b1e3f4eca97a5a1874)
![{\displaystyle \Delta F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25a03f2376fbe7965926a6be4e9b70f737890dd)
