В диполярной системе координат, привязанной к точечному диполю, каждая точка пространства определяется тремя числами. При этом при фиксации одной из координат получается эквипотенциальная поверхность, а при фиксации двух других — силовая линия. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Диполярная система координат имеет вращательную (аксиальную) симметрию относительно оси диполя.
Точное рассчитанное изображение силовых (красных) и эквипотенциальных (зеленых) линий диполя на плоскости, проходящей через его ось
На рисунке справа (который рассчитан на компьютере) на плоскости, проходящей через ось диполя, показаны его силовые линии (красные), а также сечения эквипотенциальных поверхностей этой плоскостью (зеленые). Сам диполь находится в центре рисунка. Рисунок имеет две оси симметрии, горизонтальную и вертикальную, показанные прямыми линиями. Вертикальная прямая на рисунке является осью диполя. Силовые линии нарисованы красным цветом, они более вытянуты, расположены слева и справа от диполя, а линии зеленого цвета, более округлые, расположенные сверху и снизу диполя, суть сечения эквипотенциальных поверхностей («эквипотенциальные линии»). Координатные линии диполярной системы координат в трехмерном пространстве получаются вращением этого рисунка вокруг вертикальной оси.
Диполярная система координат широко используется при математическом моделировании дипольных систем. Причем обозначения координат, их порядок и направление не устоялись и могут меняться[1][2][3].
Определение диполярных координат через координаты других систем
Центры систем координат совпадают, также они соответственно ориентированы относительно друг друга: оси систем и долготы совпадают.
Сферическая система координат
Координатные составляющие диполярной системы, моделирующей магнитный диполь, определяются через сферические координаты так[1]:
В соответствии с терминологией сферической системы координат здесь — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), — зенитный, или полярный, угол, или наклонение, или коширота, — азимутальный угол. Уравнение определяет эквипотенциальную поверхность магнитного поля, а система уравнений — силовую линию.
Значения диполярных координат имеют следующие ограничения:
, , ,
причем координаты и (а также и ) не определены при , а координата (и ) не определена еще и при и .
Переход от компонент некоторого вектора в сферических координатах к компонентам в диполярной системе осуществляется по формулам[1]
где
Пусть , , — координатные орты в этой диполярной системе координат. Тогда[1]
, , ,
т. е. так определенная диполярная система координат является, по правилу буравчика, левой.
Выразить однозначно через не удается, например, уравнения для определения такие[1]:
Иногда используют безразмерное расстояние , где — некоторое фиксированное расстояние, следующим образом[2]:
Тогда
, , ,
т. е. так определенная диполярная система координат является, по правилу буравчика, правой.
Декартова система координат
Координатные составляющие диполярной системы, моделирующей магнитный диполь, определяются через декартовы координаты и радиальное расстояние так[1]:
координата меняется перпендикулярно вектору магнитного поля Земли в плоскости геомагнитного меридиана;
координата меняется вдоль дипольной силовой линии, т. е. ее направление совпадает с направлением вектора ;
координата меняется в направлении, перпендикулярном первым двум.
Теоретически диполярная система координат может записываться и как левая система координат, когда координатный орт направлен от центра Земли, например, так[1]:
и как правая система координат, когда координатный орт направлен к центру Земли[2], например, так:
В соответствии с терминологией сферической системы координат здесь — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), — зенитный, или полярный, угол, или наклонение, или коширота, — азимутальный угол.
Координаты системы имеют следующий физический смысл[2]:
и — соответственно размерное (в м или км) и безразмерное (в радиусах Земли ) геоцентрическое расстояние до вершины силовой линии, — параметр Мак-Илвейна;
и — соответственно размерный и безразмерный геомагнитный потенциал;
↑ 12345678910111213141516Фаткуллин М. Н., Ситнов Ю. С. Диполярная система координат и ее некоторые особенности // Геомагнетизм и аэрономия. 1972. Т. 12, № 2. С. 333—335.
↑ 1234567Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 173—174. ISBN 5-02-000716-1
↑Кащенко Н. М., Мациевский С. В. Математической моделирование неустойчивостей экваториального F-слоя ионосферы // Вестник Калининградского государственного университета. 2003. Вып. 3. С. 59—68.