Неравенство Йенсена обобщает утверждение, что хорда к графику выпуклой функции находится над графиком.
Нера́венство Йе́нсена — неравенство , введённое Иоганом Йенсеном и тесно связанное с определением выпуклой функции .
Формулировки
Конечный случай
Пусть функция
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
является выпуклой на некотором промежутке
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
и числа
q
1
,
q
2
,
…
,
q
n
{\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}
таковы, что
q
1
,
q
2
,
…
,
q
n
>
0
{\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0}
и
q
1
+
q
2
+
…
+
q
n
=
1
{\displaystyle \ q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1}
.
Тогда каковы бы ни были числа
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
из промежутка
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
, выполняется неравенство:
f
(
q
1
x
1
+
q
2
x
2
+
…
+
q
n
x
n
)
≤
q
1
f
(
x
1
)
+
q
2
f
(
x
2
)
+
…
+
q
n
f
(
x
n
)
{\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})}
или
f
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
≤
∑
i
=
1
n
q
i
f
(
x
i
)
{\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})}
.
Замечания:
Если функция
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно
f
(
x
1
+
x
2
2
)
≤
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
2
{\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}}
, оно отвечает случаю
q
1
=
q
2
=
1
2
{\displaystyle q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}}
.
Геометрическая интерпретация
Точка
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
;
∑
i
=
1
n
q
i
f
(
x
i
)
)
{\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}
является соответствующей выпуклой комбинацией точек
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
,
(
x
2
,
f
(
x
2
)
)
,
…
,
(
x
n
,
f
(
x
n
)
)
{\displaystyle (x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))}
. Из определения выпуклой функции очевидно, что выпуклая оболочка этого множества точек будет совпадать с самим множеством. Значит, из свойств выпуклой комбинации следует, что образованная точка будет лежать внутри многоугольника, построенного на перечисленных точках в указанном порядке (если соединить последнюю с первой).
Геометрически очевидно, что в этом случае точка
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
;
∑
i
=
1
n
q
i
f
(
x
i
)
)
{\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}
будет лежать выше одной из прямых вида
(
x
i
;
f
(
x
i
)
)
−
(
x
i
+
1
;
f
(
x
i
+
1
)
)
{\displaystyle (x_{i};f(x_{i}))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))}
. Но у выпуклой функции по определению такая прямая лежит выше графика функции. Значит, и точка
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
;
∑
i
=
1
n
q
i
f
(
x
i
)
)
{\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}
лежит выше этого графика, что и означает, что
f
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
≤
∑
i
=
1
n
q
i
f
(
x
i
)
{\displaystyle f(\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}})\leq \sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})}}
.
Интегральная формулировка
Для выпуклой функции
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi \left(x\right)}
и интегрируемой функции
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
выполняется неравенство
φ
(
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
≤
1
b
−
a
∫
a
b
φ
(
f
(
x
)
)
d
x
.
{\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.}
Вероятностная формулировка
Пусть
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
— вероятностное пространство , и
X
:
Ω
→
R
{\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }
— определённая на нём случайная величина .
Пусть также
φ
:
R
→
R
{\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
— выпуклая (вниз) борелевская функция .
Тогда если
X
,
φ
(
X
)
∈
L
1
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
, то
φ
(
E
[
X
]
)
⩽
E
[
φ
(
X
)
]
{\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)]}
,
где
E
[
⋅
]
{\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}
означает математическое ожидание .
Неравенство Йенсена для условного математического ожидания
Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше,
G
⊂
F
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}
— под-σ-алгебра событий . Тогда
φ
(
E
[
X
|
G
]
)
⩽
E
[
φ
(
X
)
|
G
]
{\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)|{\mathcal {G}}]}
,
где
E
[
⋅
|
G
]
{\displaystyle \mathbb {E} [\cdot |{\mathcal {G}}]}
обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
.
Частные случаи
Неравенство Гёльдера
Пусть
f
(
x
)
=
x
k
{\displaystyle \ f(x)=x^{k}}
, где
x
>
0
,
{\displaystyle \ x>0,}
k
>
1
{\displaystyle \ k>1}
(выпуклая функция). Имеем
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
k
≤
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
k
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}^{k}}}
,
q
1
,
…
,
q
n
>
0
{\displaystyle \ q_{1},\ldots ,q_{n}>0}
и
q
1
+
…
+
q
n
=
1
{\displaystyle \ q_{1}+\ldots +q_{n}=1}
Обозначим
q
i
=
p
i
p
1
+
…
+
p
n
{\displaystyle \ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}}
, где
p
1
,
…
,
p
n
{\displaystyle \ p_{1},\ldots ,p_{n}}
- произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде
(
∑
i
=
1
n
p
i
x
i
)
k
≤
(
∑
i
=
1
n
p
i
)
k
−
1
∑
i
=
1
n
p
i
x
i
k
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}}\right)^{k-1}\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}^{k}}}
.
Заменяя здесь
p
i
{\displaystyle \ p_{i}}
на
b
i
k
k
−
1
{\displaystyle \ b_{i}^{\frac {k}{k-1}}}
и
x
i
{\displaystyle \ x_{i}}
на
a
i
b
i
1
k
−
1
{\displaystyle {\frac {a_{i}}{b_{i}^{\frac {1}{k-1}}}}}
, получаем известное неравенство Гёльдера :
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
≤
(
∑
i
=
1
n
a
i
k
)
1
k
(
∑
i
=
1
n
b
i
k
k
−
1
)
k
−
1
k
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}\left(\sum _{i=1}^{n}{b_{i}}^{\frac {k}{k-1}}\right)^{\frac {k-1}{k}}}
.
Неравенство Коши
Пусть
f
(
x
)
=
ln
x
{\displaystyle \ f(x)=\ln x}
(вогнутая функция). Имеем
∑
i
=
1
n
q
i
ln
x
i
≤
ln
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)}
, или
ln
∏
i
=
1
n
x
i
q
i
≤
ln
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
{\displaystyle \ln \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \ln \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}
, потенцируя получаем
∏
i
=
1
n
x
i
q
i
≤
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}
.
В частности при
q
i
=
1
n
{\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}
получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического )
x
1
…
x
n
n
≤
x
1
+
…
+
x
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}
.
Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим
Пусть
f
(
x
)
=
x
ln
x
{\displaystyle \ f(x)=x\ln x}
(выпуклая функция). Имеем
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
ln
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
≤
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
ln
x
i
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}}
. Положив
q
i
=
1
x
i
∑
i
=
1
n
1
x
i
{\displaystyle q_{i}={\frac {\frac {1}{x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}
и потенцируя, получаем
n
1
x
1
+
…
+
1
x
n
≤
(
x
1
⋅
…
⋅
x
n
)
1
/
n
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}}
(среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического )
Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим
Пусть
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle \ f(x)={\frac {1}{x}}}
(выпуклая функция). Имеем
1
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
≤
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
{\displaystyle {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}
В частности при
q
i
=
1
n
{\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}
получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического :
n
1
x
1
+
…
+
1
x
n
≤
x
1
+
…
+
x
n
n
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}
См. также
Литература
Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М. : МЦНМО , 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5 .
Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0 .