Поток (математика)

Поток в фазовом пространстве, задаваемом дифференциальным уравнением маятника. На горизонтальной оси — положение маятника, а на вертикальной — его скорость.

Поток формализует идею движения частиц в жидкости. Потоки распространены повсеместно в науке, включая инженерию и физику. Понятие потока является базовым для изучения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек с течением времени. Более формально поток — это групповое действие вещественных чисел на множестве.

Идея векторного потока, то есть потока, определяемого векторным полем, встречается в областях дифференциальной топологии, римановой геометрии и групп Ли. Через поток обычно определяется производная Ли. Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток, гамильтонов поток, поток Риччи, поток средней кривизны, и потоки Аносова. Потоки также могут быть определены для систем случайных величин и случайных процессов, и встречаться при изучении эргодических динамических систем.

Определение

Поток на множестве X — это действие аддитивной группы вещественных чисел на X. Более явно поток — это отображение

\varphi :X\times \mathbb {R} \to X

такое, что для всех x ∈ X и всех действительных чисел s и t,

{\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}

Принято писать φ^t(x) вместо φ(x, t), так что приведённые выше уравнения можно выразить как $\varphi ^{0}={\text{Id}}$ (единичная функция) и $\varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}$ (групповой закон). Тогда для всех t ∈ $R$ , отображение φ^t $:X\to X$ является биекцией с обратным φ^-t $:X\to X$ . Это следует из приведённого выше определения, и действительный параметр t может быть принят как обобщенная функциональная мощность, как при итерации функции.

Обычно требуется, чтобы потоки были совместимы со структурами представленными на множестве X. В частности, если X имеет топологию, то обычно требуется, чтобы φ было непрерывным. Если X имеет дифференцируемую структуру, тогда требуется, чтобы φ было дифференцируемым. В этих случаях поток образует однопараметрическую группу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.

В определённых ситуациях можно также рассмотреть локальный поток, который определён только в некотором подмножестве. Областью потока из φ называется

\mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} .

Это часто имеет место с потоками векторных полей.

Альтернативные обозначения

Во многих областях, включая инженерию, физику и изучение дифференциальных уравнений, для потока очень распространено использование неявного обозначения. Таким образом, x(t) записывается как $\varphi ^{t}(x_{0})$ , и можно сказать, что переменная x зависит от времени t и начального условия x = x₀. Примеры приведены ниже.

В случае потока векторного поля V на гладком многообразии X, поток часто обозначается таким образом, что его генератор становится явным. Например^[1],

\Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).

Орбиты

Учитывая x в X, множество $\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}$ называется орбитой x при φ. Неофициально его можно рассматривать как траекторию частицы, которая изначально была расположена в точке x. Если поток генерируется векторным полем, то его орбиты являются изображениями его интегральных кривых.

Примеры

Алгебраическое уравнение

Пусть $f:\mathbb {R} \to X$ — зависящая от времени траектория, являющаяся биективной функцией. Тогда поток может быть определён с помощью

\varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ — независимое от времени векторное поле и ${\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ решение задачи при начальных условиях

{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.

Тогда $\varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t)={\boldsymbol {x}}(t)$ — это поток векторного поля F. Это чётко определённый локальный поток при условии, что векторное поле ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ является непрерывным по Липшицу. Тогда $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ также является непрерывным по Липшицу везде, где определено. В общем случае может быть трудно показать, что поток φ определён глобально, но один простой критерий заключается в том, что векторное поле F поддерживается на компакте.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, зависящие от времени

В случае векторных полей ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ , зависящих от времени, обозначается $\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})={\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),$ где ${\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ — решение

{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.

Тогда $\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})$ — это зависящий от времени поток F. Это не «поток» по приведённому выше определению, но его легко можно рассматривать как таковой, переставив его аргументы. А именно, отображение

\varphi \colon (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})

действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:

{\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}

Можно рассматривать зависящие от времени потоки векторных полей как частные случаи не зависящих от времени потоков с помощью следующего приема. Определить

{\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).

Тогда y(t) является решением задачи о «не зависящем от времени» начальном значении

{\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})

тогда и только тогда, когда x(t) является решением исходной задачи о начальных значениях, зависящих от времени. Кроме того, тогда отображение φ — это в точности поток «независимого от времени» векторного поля G.

Потоки векторных полей на многообразиях

Потоки не зависящих от времени векторных полей определяются на гладких многообразиях точно так же, как они определены в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ и их локальное поведение такое же. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом в дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров».

Формально: пусть ${\mathcal {M}}$ — дифференцируемое многообразие. $\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}$ обозначим касательное пространство точки $p\in {\mathcal {M}}.$ Пусть $\mathrm {T} {\mathcal {M}}$ будет полным касательным многообразием, то есть $\mathrm {T} {\mathcal {M}}=\cup _{p\in {\mathcal {M}}}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.$ Пусть $f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}$ — зависящее от времени векторное поле на ${\mathcal {M}}$ ; то есть f является гладкой картой, такой, что для каждого $t\in \mathbb {R}$ и $p\in {\mathcal {M}}$ , имеется $f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};$ , то есть карта $x\mapsto f(t,x)$ сопоставляет каждую точку элементу её собственного касательного пространства. Для подходящего интервала $I\subseteq \mathbb {R}$ , содержащего 0, поток f — это функция $\phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}$ , которая удовлетворяет ${\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}$