Рациональная функция: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
→Свойства: Множество рациональных функций с коэффициентами из поля является полем. |
+Частные случаи. |
||
Строка 12: | Строка 12: | ||
Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель <math>Q_m(x_1,\dots,x_m)</math> обращается в ноль. |
Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель <math>Q_m(x_1,\dots,x_m)</math> обращается в ноль. |
||
Частным случаем являются рациональные функции одной переменной: |
|||
: <math>R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}</math>, где <math>P(x)</math> и <math>Q(x)</math> — многочлены. |
|||
⚫ | |||
=== Рациональное выражение === |
=== Рациональное выражение === |
||
Строка 25: | Строка 20: | ||
Любое рациональное выражение может быть приведено к виду рациональной функции. |
Любое рациональное выражение может быть приведено к виду рациональной функции. |
||
== Частные случаи == |
|||
* '''Рациональной функцией от одной переменной''' называется функция вида <math>R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}</math>, где <math>P(x)</math> и <math>Q(x)</math> — [[Полиномиальная функция|полиномиальные функции]] от одной переменной. |
|||
* '''[[Целая рациональная функция|Целой рациональной функцией]]''' называется функция вида <math>\frac{P(x)}{1}</math>, где переменная <math>x</math> действительна. |
|||
* '''Дробно-рациональной функцией''' называется рациональная функция действительного аргумента, не являющаяся целой рациональной. |
|||
⚫ | |||
== Свойства == |
== Свойства == |
Версия от 20:21, 26 мая 2020
Рациональная функция — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение , то есть алгебраическое выражение, без радикалов.
Определения
Рациональной функцией называется функция вида
где , — многочлены от любого числа переменных.
Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль.
Рациональное выражение
Рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словами, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в целую степень и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида).
Например:
Любое рациональное выражение может быть приведено к виду рациональной функции.
Частные случаи
- Рациональной функцией от одной переменной называется функция вида , где и — полиномиальные функции от одной переменной.
- Целой рациональной функцией называется функция вида , где переменная действительна.
- Дробно-рациональной функцией называется рациональная функция действительного аргумента, не являющаяся целой рациональной.
- Отношение двух линейных функций называется дробно-линейной функцией.
Свойства
- Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
- Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.
- Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.
Правильные дроби
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ( — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[1].
См. также
- Целая рациональная функция
- Рациональное число
- Наипростейшая дробь
- Египетские дроби
- Список интегралов от рациональных функций
Примечания
- ↑ M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |