Гомоморфизм: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки Метки: отменено с мобильного устройства из мобильной версии |
Bezik (обсуждение | вклад) м откат правок 37.112.195.222 (обс.) к версии Ilia.maskov Метка: откат |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{distinguish|гомеоморфизм|гомеоморфизмом}} |
{{distinguish|гомеоморфизм|гомеоморфизмом}} |
||
''' |
'''Гомоморфизм''' (от {{lang-grc|ὁμός}} — равный, одинаковый и {{lang-grc2|μορφή}} — вид, форма) — это [[морфизм]] в категории [[алгебраическая система|алгебраических систем]], то есть — отображение алгебраической системы '''А''', сохраняющее основные операции и основные отношения. |
||
== Определение == |
== Определение == |
||
Отображение <math>f \colon G_1 \to G_2</math> называется гомоморфизмом [[группа (математика)|групп]] <math>(G_1,*)</math>, <math>(G_2,\times)</math>, если оно одну групповую операцию переводит в другую: <math>f(a*b)=f(a)\times f(b)</math>. |
Отображение <math>f \colon G_1 \to G_2</math> называется гомоморфизмом [[группа (математика)|групп]] <math>(G_1,*)</math>, <math>(G_2,\times)</math>, если оно одну групповую операцию переводит в другую: <math>f(a*b)=f(a)\times f(b)</math>. |
Версия от 01:22, 16 февраля 2021
Гомоморфизм (от др.-греч. ὁμός — равный, одинаковый и μορφή — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем, то есть — отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные отношения.
Определение
Отображение называется гомоморфизмом групп , , если оно одну групповую операцию переводит в другую: .
Понятие гомоморфизма, как соотношение между парой алгебраических систем, начало использоваться в работах немецкого математика Фробениуса, а обобщённое определение было сформулировано Эмми Нётер в 1929 году. Частными случаями гомоморфизма являются изоморфизм и автоморфизм[1]. Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма предложена известной группой французских математиков Николя Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава IV, § 2).
Связанные определения
- Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
- Ядро гомоморфизма
- для гомоморфизма абелевых групп (в частности для колец, векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля,
- для общих групп — прообраз единицы.
Свойства
Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).
Типы гомоморфизмов
- Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
- Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
- Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм
- Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
- Автоморфизм — изоморфизм на само множество
См. также
Примечания
Литература
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, с. 332 (1974, с. 373).
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |