Линейное отображение: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
стояло слово "поворот" в то время, как пример показывал отражение (масштабирование с отрицательным коэффициентом) |
м →Формальное определение: стилевые правки |
||
Строка 3: | Строка 3: | ||
== Формальное определение == |
== Формальное определение == |
||
'''Лине́йным отображе́нием''' [[Линейное пространство|векторного пространства]] <math>L_K</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>K</math> в векторное пространство <math>M_K</math> ('''лине́йным опера́тором''' из <math>L_K</math> в <math>M_K</math>) |
'''Лине́йным отображе́нием''' [[Линейное пространство|векторного пространства]] <math>L_K</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>K</math> в векторное пространство <math>M_K</math> над тем же полем <math>K</math> ('''лине́йным опера́тором''' из <math>L_K</math> в <math>M_K</math>) называется [[отображение]] |
||
: <math>f\colon L_K\to M_K</math>, |
: <math>f\colon L_K\to M_K</math>, |
Версия от 17:38, 20 августа 2015
Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.
Формальное определение
Лине́йным отображе́нием векторного пространства над полем в векторное пространство над тем же полем (лине́йным опера́тором из в ) называется отображение
- ,
удовлетворяющее условию линейности
- ,
- .
для всех и .
Пространство линейных отображений
Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля как
множество всех линейных отображений из в превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как
Ограниченные линейные операторы. Норма оператора
Если векторные пространства и являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что . Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:
Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство — банахово, то и пространство линейных операторов тоже банахово.
Обратный оператор
Оператор называется обратным линейному оператору , если выполняется соотношение:
Оператор , обратный линейному оператору , также является линейным непрерывным оператором. В случае если линейный оператор действует из банахового пространства в другое банахово пространство, то по теореме Банаха обратный оператор существует.
Матрица линейного оператора
Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.
Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.
Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:
- ,
где — координаты вектора в выбранном базисе.
Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.
Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим
- .
Вектора также разложим в выбранном базисе, получим
- ,
где — -я координата -го вектора из .
Подставим разложение в предыдущую формулу, получим
- .
Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.
Шаблон:Коментарий Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.
Пример преобразования
Рассмотрим в качестве примера матрицу размера 2×2 следующего вида
может быть рассмотрена как матрица преобразования единичного квадрата в параллелограмм с вершинами (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), и (c, d). Параллелограмм, показанный на рисунке справа получается путем умножения матрицы A на каждый вектор-столбец и . Эти векторы соответствуют вершинам единичного квадрата.
В следующей таблице приведены примеры матриц 2 × 2 над вещественными числами с соответствующими им линейными преобразованиями R2. Синим цветом обозначена исходная координатная сетка, а зеленым — трансформированная. Начало координат (0,0) обозначено черной точкой.
Горизонтальный сдвиг (m=1.25) | Горизонтальное отражение | Сжатие (r=3/2) | Масштабирование (3/2) | Поворот (π/6R = 30°) |
Важные частные случаи
- Линейная форма — линейный оператор, для которого :
- Эндоморфизм — линейный оператор, для которого :
- Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор , отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
- Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент в нулевой элемент .
- Проектор — оператор сопоставляющий каждому его проекцию на подпространство.
- Сопряжённый оператор к оператору — оператор на , заданный соотношением .
- Самосопряженный — оператор, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
- Эрмитов или симметрический — такой оператор , что для всех пар из области определения . Для всюду определённых операторов совпадает с самосопряжённым.
- Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение , в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора ; оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором ; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным;
- Положительно определённый оператор. Пусть — гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительно определённым, если .
Связанные понятия
- Образом подмножества[1] относительно линейного отображения A называется множество .
- Ядром линейного отображения называется подмножество , которое отображается в нуль:
- Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .
- Образом линейного отображения называется следующее подмножество :
- Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .
- Отображение прямого произведения линейных пространств и в линейное пространство называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.
- Оператор называется линейным неоднородным (или аффинным), если он имеет вид
- где — линейный оператор, а — вектор.
- Пусть . Подпространство называется инвариантным относительно линейного отображения, если [2].
- Критерий инвариантности. Пусть — подпространство,такое что разлагается в прямую сумму: . Тогда инвариантно относительно линейного отображения тогда и только тогда, когда , где - проектор на подпространство .
- Фактор-операторы[3]. Пусть — линейный оператор и пусть — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем фактор-пространство по подпространству . Тогда фактор-оператором называется оператор действующий на по правилу: , где — класс из фактор-пространства, содержащий .
Примеры
Примеры линейных однородных операторов:
- оператор дифференцирования: ;
- оператор интегрирования: ;
- оператор умножения на определённую функцию ;
- оператор интегрирования с заданным «весом»
- оператор взятия значения функции в конкретной точке : [4];
- оператор умножения вектора на матрицу: ;
- оператор поворота вектора.
Примеры линейных неоднородных операторов:
- Любое аффинное преобразование;
- ;
- ;
- ;
где , , — вполне определённые функции, а — преобразуемая оператором функция.