Основная теорема теории Галуа: различия между версиями
Danneks (обсуждение | вклад) ← Новая страница: «'''Основная теорема теории Галуа''' — теорема о расширение поля|…» |
(нет различий)
|
Версия от 16:40, 13 июля 2013
Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определенного вида.
Пусть — конечное расширение Галуа. Основная теорема утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством промежуточных полей K вида и множеством подгрупп группы Галуа данного расширения (более того, теорема явным образом задаёт это соответствие).
Описание соответствия
Для данного конечного расширения соответствие устроено следующим образом:
- Для любой подгруппы H группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое EH, — это множество тех элементов поля E, которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из H, с индуцированными из E операциями.
- Для любого промежуточного поля, соответствующая ему подгруппа состоит из тех автоморфизмов, которые действуют тождественно на этом промежуточном поле.
Например, поле E соответствует тривиальной подгруппе, а F — всей группе (так как все автоморфизмы из группы Галуа сохраняют меньшее поле, а для любого другого элемента существует автоморфизм, действующий на нём нетривиально).
Свойства соответствия
Данное соответствие обладает несколькими полезными свойствами.
- Оно обращает порядок по включению. Для подгрупп группы Галуа условие равносильно .
- Поле EH является нормальным расширением F (или, эквивалентно, расширением Галуа, так как каждое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно) тогда и только тогда, когда H — нормальная подгруппа группы Галуа. Факторгруппа по ней изоморфна группе Галуа расширения .
Пример
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Lattice_diagram_of_Q_adjoin_the_positive_square_roots_of_2_and_3%2C_its_subfields%2C_and_Galois_groups.svg/600px-Lattice_diagram_of_Q_adjoin_the_positive_square_roots_of_2_and_3%2C_its_subfields%2C_and_Galois_groups.svg.png)
Рассмотрим поле . Каждый его элемент можно записать в виде
где a, b, c, d — рациональные числа. Рассмотрим автоморфизмы расширения , легко видеть, что действие автоморфизма на элементе, записанном в приведенном выше виде, определяется образами и . Автоморфизмы любого расширения могут только переставлять местами корни неприводимого многочлена над меньшим полем, следовательно, в данном случае все возможные нетривиальные автоморфизмы — это перестановка и (обозначим его ), перестановка и () и их композиция . Более точно, эти преобразования задаются следующим образом:
Очевидно, что эти отображения действуют биективно и переводят сумму в сумму, следовательно, для проверки равенства достаточно проверить его на перах базисных элементов, что также тривиально. Таким образом, группа Галуа данного расширения — четверная группа Клейна:
Она имеет три нетривильные подгруппы:
- Автоморфизмы из подгруппы {1, f} сохраняют элементы промежуточного поля Q(√3).
- Автоморфизмы из {1, g} сохраняют Q(√2).
- Автоморфизмы из {1, fg} сохраняют Q(√6).
Приложения
Основная теорема сводит вопрос существования промежуточных полей к вопросу о существовании подгрупп некоторой конечной группы (так как порядок группы Галуа равен размерности расширения), многие задачи теории Галуа решаются простым применением основной теоремы.
Например, вопрос о разрешимости уравнения в радикалах обычно формулируют так: можно ли выразить корни данного многочлена через его коэффициенты, используя только арифметические операции и операцию взятия корня n-й степени. На языке теории полей этот вопрос можно сформулировать так: рассмотрим поле F, порождённое коэффициентами многочлена и поле E, полученное присоединением его корней. Спрашивается, существует ли такая цепочка промежуточных полей
такая, что , где — корень уравнения , причем поле содержит все корни уравнения . В этом случае можно доказать, что соответствующий ряд подгрупп группы Галуа обладает тем свойством, что факторгруппа существует и является циклической. Группы, для которых существует хотя бы один ряд с таким свойством, называются разрешимыми, таким образом, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.
Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основываются на фундаментальной теореме теории Галуа.
Примеччания
- Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
- P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3.
- Marcus, Daniel. Number Fields. — New York : Springer-Verlag, 1977. — ISBN 0-387-90279-1.